\input{../preambules/preDM.tex}

\begin{document}

\chead{Devoir maison n°14}
\rhead{2018-2019}
\lfoot{}
\cfoot{Espaces Vectoriel, Somme.}

\begin{center}
\fbox{ \Large A rendre pour le Vendredi 5 Avril 2019}
\end{center}
\vspace{10pt}

\section*{Exercice 1}
On se propose d'étudier la suite $(u_n)_{n \in \N}$ définie par $u_0 = 0$ et par la relation de récurrence :
$$
\forall n \in \N, u_{n+1} = \dfrac{u_n^2 +1}{2}.
$$
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $n \in \N$, on a : $0 \leq u_n \leq 1$. 
\item \'Etudier les variations de la suite $(u_n)_{n \in \N}$. 
\item En déduire que la suite $(u_n)_{n \in \N}$ converge et donner sa limite. 
\end{enumerate}
\item Pour tout $n \in \N$, on pose $v_n = 1 - u_n$. 
\begin{enumerate}
\item Pour tout $k \in \N$, exprimer $v_k - v_{k+1}$ en fonction de $v_k$. 
\item Simplifier, pour tout $n \in \N$, la somme $\ds \sum_{k=0}^n (v_k - v_{k+1})$. 
\item Donner pour finir la nature de la série de terme général $v_n^2$ ainsi que la valeur de $\ds \sum_{n=0}^{+\infty} v_n^2$. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
  
\section*{Exercice 2}{Espaces Vectoriels}
\begin{enumerate}
\item Dans $\M_{3,1}(\R)$, le vecteur $\vect{4}{-1}{1}$ est-il une combinaison linéaire des vecteurs $\left( \vect{0}{1}{1} , \vect{2}{0}{-1}, \vect{2}{1}{1} \right)$
\item Montrer que $F = \left\{ \vect{x}{y}{z} \in \M_{3,1}(\R) | -x + 2y +z=0 \; \text{et} \; y + 3z = 2x \right\}$ est un espace vectoriel. 
\item Dans $M_{3,1} (\R)$ on considère les vecteurs : $u = \vect{0}{1}{1}$, $v = \vect{2}{0}{-1}$ et $w = \vect{2}{1}{1}$. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $(u,v,w)$ est une base de $\M_{3,1}(\R)$. 
\item Quelles sont, dans cette base, les coordonnées de $\vect{4}{-1}{1}$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3}
On va remontrer dans cet exercice que $\ds \sum_{n \geq 1} \dfrac{1}{\sqrt{n}}$ est divergente sans utiliser les séries de Riemann. 
\begin{enumerate}
\item Montrer en utilisant l'inégalité des accroissements finis que 
$$
\forall k \geq 1, \quad 2 (\sqrt{k+1} - \sqrt{k} ) \leq \dfrac{1}{\sqrt{k}}
$$
\item En déduire que $\ds \forall n \geq 1, 2(\sqrt{n+1} - 1)  \leq \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{k}}$
\item Que peut-on dire de la convergence de la série $\ds \sum_{n \geq 1} \dfrac{1}{\sqrt{n}}$ et de la limite de son terme général ? 
\end{enumerate}

\section*{Exercice 4}
Justifier la convergence des séries suivantes et calculer leur somme (pour $k \in \N$ fixé et $x \in \R$):
\begin{qmulti}{3}
\item $\displaystyle a = \sum\limits_{n \geqslant 1} \dfrac{n(n-1)}{6^n}.$
\item $\displaystyle b = \sum\limits_{n \geqslant 1} \dfrac{(-1)^n}{2^n}.$
\item $\displaystyle c = \sum\limits_{n \geqslant 2} n(-1)^n x^{n-2}.$
\end{qmulti}



\end{document}