\input{../preambules/preDM.tex}

\begin{document}

\chead{Devoir maison n°13}
\rhead{2018-2019}
\lfoot{}
\cfoot{Suites, intégrales.}

\begin{center}
\fbox{ \Large A rendre pour le Mercredi 27 Mars 2019}
\end{center}
\vspace{10pt}

\section*{Exercice 1}
On considère la fonction définie par $F(x) = \ds \int_0^x \dfrac{dt}{1+t^2}.$ 
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble de définition de $F$, et préciser son signe.
\item \'Etudier la parité de $F$. (Penser à un changement de variable)
\item Justifier que $F$ est $C^1$ sur $\R$, puis donner son sens de variation. 
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item En justifiant que $\forall t \in \R^+$, $\dfrac{1}{1+t^2} \leq \dfrac{2}{(1+t)^2}$, montrer que $\forall x \geq 0, \; F(x) \leq 2$. 
\item En déduire que la fonction $F$ admet une limite $L$ en $+\infty$ et que $L \leq 2$. 
\end{enumerate}
\item Montrer que $\forall x \geq 0$, $F(x) \geq \ds \int_0^x \dfrac{dt}{(1+t)^2}$ et en déduire que $L \geq 1$. 
\item Montrer que l'équation $F(x) = \dfrac{1}{2}$ admet une et une seule solution sur $[0, + \infty[$.
\item On pose $G(x) = F(x) + F \left(\dfrac{1}{x}\right)$. 
\begin{enumerate}
\item Justifier que $G$ est dérivable sur $\R_+^*$ et calculer $G'$. 
\item En déduire que $\forall x \in \R$, $G(x) = 2 F(1)$. 
\item En faisant tendre $x$ vers $+\infty$ dans $G$, montrer que $L = 2 F(1)$. 
\end{enumerate}  
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2}
On note $(u_n)_{n \in \N^*}$ la suite définie pour tout entier $n$ strictement positif par :
$$
u_n = \int_0^1 \dfrac{x^{n-1}}{1+x} dx
$$
\begin{enumerate}
\item Calculer le premier terme $u_1$ de la suite.
\item Montrer que $(u_n)_{n \in \N^*}$  est une suite de réels positifs.
\item Montrer que $(u_n)_{n \in \N^*}$  est une suite décroissante.
\item Montrer que l'on a, pour tout entier $n$ strictement positif : $ u_{n+1} + u_n = \dfrac{1}{n}$. 
\item En déduire une fonction Scilab qui prend un entier $n$ strictement positif et qui renvoie $u_n$, le $n$-ième terme de la suite $(u_n)_{n \in \N^*}$.
\item \'Etablir, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 2, la double inégalité :
$$
\dfrac{1}{n} \leq 2 u_n \leq \dfrac{1}{n-1}
$$
En déduire la limite de la suite $(u_n)_{n \in \N^*}$.
\item À l'aide de l'inégalité précédente, déterminer $\li_{n\to +\infty} n u_n$. 
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3}

On note $f:\left] 1,+\infty \right[ \rightarrow \mathbb{R}$ l'application d%
\'{e}finie par : 
\begin{equation*}
\forall x\in \left] 1,+\infty \right[ ,\;f\left( x\right) =\frac{1}{x\ln
\left( x\right) }
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item \'{E}tudier les variations de $f$ et tracer sa courbe repr\'{e}%
sentative.

\item Montrer, pour tout entier $k$ tel que $k\ge 3$ : 
\begin{equation*}
f\left( k\right) \le \int_{k-1}^{k}f\left( x\right) dx\le f\left( k-1\right)
\end{equation*}

\hspace{-1cm}Pour tout $n\in \mathbb{N}$ tel que $n\geq 2$, on note $S_{n}=%
\displaystyle \sum_{k=2}^{n}f\left( k\right) $

\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer, pour tout $n\in \mathbb{N}$ tel que $n\ge 2:$

\begin{equation*}
S_{n}-\frac{1}{2\ln \left( 2\right) }\le \int_{2}^{n}f\left( x\right) dx\le
S_{n}-\frac{1}{n\ln \left( n\right) }
\end{equation*}

\item En d\'{e}duire, pour tout $n\in \mathbb{N}$ tel que $n\ge 2$ :

\begin{equation*}
\ln \left( \ln \left( n\right) \right) -\ln \left( \ln \left( 2\right)
\right) \le S_{n}\le \ln \left( \ln \left( n\right) \right) -\ln \left( \ln
\left( 2\right) \right) +\frac{1}{2\ln \left( 2\right) }
\end{equation*}

\item \'{E}tablir : $ \li_{n \to +\infty} \dfrac{S_n}{\ln ( \ln(n))} = 1$
\end{enumerate}

\hspace{-1cm}Pour tout $n\in \mathbb{N}$ tel que $n\ge 2$, on note 
\begin{equation*}
u_{n}=S_{n}-\ln \left( \ln \left( n+1\right) \right) \; \text{et}%
\;v_{n}=S_{n}-\ln \left( \ln \left( n\right) \right)
\end{equation*}

\item En utilisant le r\'{e}sultat de la question 2., montrer que les suites 
$\left( u_{n}\right) _{n\ge 2}$ et $\left( v_{n}\right) _{n\ge 2}$ sont
adjacentes. On note $\ell $ leur limite commune.

\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer, pour tout $n\in \mathbb{N}$ tel que $n\ge 2$ : 
\begin{equation*}
0\le v_{n}-\ell \le \frac{1}{n\ln \left( n\right) }
\end{equation*}

\item En d\'{e}duire une valeur approch\'{e}e de $\ell $ \`{a} $10^{-2}$ pr%
\`{e}s et donner le script Scilab permettant d'obtenir cette valeur.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}