\input{../preambules/preDM.tex}

\begin{document}

\chead{Devoir maison n°12}
\rhead{2018-2019}
\lfoot{}
\cfoot{\'Etude de fonctions, suites, intégrales.}

\begin{center}
\fbox{ \Large A rendre pour le Mercredi 13 Mars 2019}
\end{center}
\vspace{10pt}


Soient $f$ la fonction num\'{e}rique de la variable r\'{e}elle d\'{e}finie
par : 
\[
\forall x\in \Bbb{R},\Bbb{\quad }f\left( x\right) =\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} 
\]
et $\left( u_{n}\right) $ la suite de nombres r\'{e}els d\'{e}termin\'{e}e
par :

\[
\left\{ 
\begin{array}{c}
u_{0}= \ds \int_{0}^{1}f\left( x\right) dx \\ 
\forall n\in \Bbb{N}^{*},\quad u_{n}= \ds \int_{0}^{1}x^{n}f\left( x\right) dx
\end{array}
\right. 
\]

On note $\mathcal{C}_{f}$ la repr\'{e}sentation graphique de $f,$
relativement \`{a} un rep\`{e}re orthonormal $\left( O,\vec{i},\vec{j}%
\right) .$

\subsection*{1) Etude de $f.$}

\begin{enumerate}
\item  Montrer que la fonction $f$ est paire sur $\Bbb{R}$

\item  \'Etudier les variations de $f$ sur l'intervalle $\left[ 0,+\infty
\right[ $

\item  D\'{e}terminer la limite de $f$ lorsque $x$ tend vers $+\infty .$

\item  Montrer que $f$ est born\'{e}e sur $\Bbb{R}$

\item  Donner l'allure de $\mathcal{C}_{f}$

\item  Montrer que $f$ r\'{e}alise une bijection de l'intervalle $\left[
0,+\infty \right[ $ sur un intervalle $J$ \`{a} pr\'{e}ciser.

\item  Pour tout $y$ de l'intervalle $\left] 0,1\right] ,$ d\'{e}terminer
l'unqiue r\'{e}el $x$ appartenant \`{a} l'intervalle $\left[ 0,+\infty
\right[ \ $tel que : 
\[
f\left( x\right) =y
\]

\item  D\'{e}terminer alors la bijection r\'{e}ciproque $f^{-1}$
\end{enumerate}

\subsection*{2) Calcul d'aire}

On consid\`{e}re la fonction num\'{e}rique $F$ de la variable r\'{e}elle $x$
d\'{e}finie par : 
\[
F\left( x\right) =\ln \left( x+\sqrt{x^{2}+1}\right) 
\]

Pour tout r\'{e}el $\lambda $ strictement positif, on note $\mathcal{A}%
\left( \lambda \right) $ l'aire (exprim\'{e}e en unit\'{e} d'aire) du
domaine constitu\'{e} par l'ensemble des points $M\left( x,y\right) $ tels
que : 
\[
\lambda \le x\le 2\lambda \quad \text{et\quad }0\le y\le f\left( x\right) 
\]
ainsi 
\[
\mathcal{A}\left( \lambda \right) =\int_{\lambda }^{2\lambda }f\left(
x\right) dx 
\]

\begin{enumerate}
\item  Montrer que : 
\[
\forall x\in \Bbb{R},\quad x+\sqrt{x^{2}+1}>0
\]

En d\'{e}duire l'ensemble de d\'{e}finition de $F.$

\item  Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $\Bbb{R}$

\item  Montrer que $F$ est impaire sur son ensemble de d\'{e}finition.

\item  D\'{e}terminer la limite de $F$ lorsque $x$ tend vers $+\infty .$ En
d\'{e}duire la limite de $F$ quand $x$ tend vers $-\infty $

\item  Exprimer $\mathcal{A}\left( \lambda \right) $ en fonction de $\lambda 
$ et calculer la limite de $\mathcal{A}\left( \lambda \right) $ lorsque $%
\lambda $ tend vers $+\infty .$
\end{enumerate}

\subsection*{3) Etude de la suite $\left( u_{n}\right) .$}

\begin{enumerate}
\item  Calculer $u_{0}$ et $u_{1}.$

\item  Effectuer une int\'{e}grationpar parties et calculer $u_{3}.$

(On pourra remarquer que $\displaystyle
\frac{x^{3}}{\sqrt{1+x^{2}}}=x^{2}\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}$ )

\item  D\'{e}terminer le sens de variations de la suite $\left( u_{n}\right)
.$

\item  Montrer que la suite $\left( u_{n}\right) $ est convergente. (On ne
cherchera pas sa limite dans cette question)

\item  Justifier l'encadrement suivant : 
\[
\forall x\in \left[ 0,1\right] ,\;\forall n\in \Bbb{N},\Bbb{\quad }0\Bbb{\le 
}\frac{x^{n}}{\sqrt{1+x^{2}}}\le x^{n}
\]
en d\'{e}duire que : 
\[
\forall n\in \Bbb{N}^{*},\quad 0\le u_{n}\le \frac{1}{n+1}
\]

\item  D\'{e}terminer alors la limite de la suite $\left( u_{n}\right) $
\end{enumerate}


\end{document}