\input{../preambules/preDM.tex}

\begin{document}

\chead{Devoir maison n°11(bis)}
\lfoot{}
\cfoot{Suites, \'Etude de fonctions}

\begin{center}
\fbox{ \Large A rendre pour le 20 Février 2019}
\end{center}

\section*{Exercice 1 - \'Etude de fonction et suites} %EMLyon 2011

On souhaite déterminer le nombre de solutions de $(E) : x^3 -3x +1 = 0$ ainsi que la valeur approchée d'une des racines.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $(E)$ admet 3 solutions réelles $\alpha, \beta$ et $\gamma$ telles que $\alpha < -1 < \beta < 1 < \gamma$. 
\item On veut obtenir une approximation de $\beta$. On introduit $\forall x\in \R$, $g(x) =\dfrac{x^3 +1}{3}$ et la suite $u$ définie par $u_0 = 0$ et $\forall n \in \N$, $u_{n+1} = g(u_n)$. 
\begin{enumerate}
\item Justifier que $\beta \in [0,1/2]$ et montrer que $\beta$ est solution de l'équation $g(x) = x$. 
\item Montrer que $[0, 1/2]$ est stable par $g$ et que $\forall x \in [0,1/2]$, $|g'(x)| \leq \dfrac{1}{4}$. 
\item Montrer que $\forall n \in \N$, $u_n \in [0,1/2]$. 
\item Justifier que $\forall n \in \N$, $|u_{n+1} - \beta| \leqslant \dfrac{1}{4}|u_n - \beta|$ puis que $|u_n - \beta| \leqslant \dfrac{1}{4^n}\times \dfrac{1}{2}$. 
\item Pour quelles valeurs de $n$ a-t-on $|u_n - \beta| \leqslant 10^{-9}$ ? 
\item \'Ecrire un programme Scilab qui renvoie une valeur approchée de $\beta$ à $10^{-9}$ près.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 - \'Etude de fonction et suites}

Soit $a\in]0,+\infty[$. Soit de plus $(u_n)_{n\in\N}$ la suite définie par $u_0\in]0,+\infty[$ et, pour tout $n\in\N$,
$$u_{n+1}=\frac12\left(u_n+\frac a{u_n}\right).$$
\begin{enumerate}
\item Soit $n\in\N$. Montrer que $u_n$ existe bien et est strictement positif.
\item Soit l'application $f:]0,+\infty[\to\R$, $x\mapsto\ds\frac12\left(x+\frac ax\right)$. Montrer que pour tout $x\in]0,+\infty[$, on a $f(x)\geq\sqrt{a}$.
\item\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $n\in\N^\star$, $u_n\geq\sqrt{a}$.
\item Montrer que la suite $(u_n)_{n\in\N}$ est monotone à partir du rang 1.
\item En déduire que la suite $(u_n)_{n\in\N}$ converge vers $\ell\in[\sqrt{a},+\infty[$.
\item Déterminer $\ell$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Soit $n\in\N$. Montrer que $\ds\frac{u_{n+1}-\sqrt{a}}{u_{n+1}+\sqrt{a}}=\left(\frac{u_n-\sqrt{a}}{u_n+\sqrt{a}}\right)^2.$
\item Soit $n\in\N$. Montrer que $\ds\frac{u_{n}-\sqrt{a}}{u_{n}+\sqrt{a}}=\left(\frac{u_0-\sqrt{a}}{u_0+\sqrt{a}}\right)^{2^n}.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3 - Probabilités} %ESSEC 2008


\begin{minipage}{0.48\linewidth}
Deux personnes $P_{1}$ et $P_{2}$ ont rendez-vous dans un 
complexe form\'{e} de cinq sites $S_{1}$, $S_{2}$, $S_{3}$, $S_{4}$ et $S_{5}
$, 
dispos\'{e}s en pentagone et reli\'{e}s par des routes, comme 
l'illustre le sch\'{e}ma ci-contre.

 
Ils arrivent au rendez-vous \`{a} I'heure pr\'{e}vue, mais suite 
\`{a} un malentendu, $P_{1}$ se pr\'{e}sente au site $S_{1}$ et $P_{2}$ au
site $S_{2}$.%
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.1]{graph1.png}
\end{center}

\end{minipage}



Ils d\'{e}cident alors de partir \`{a} la recherche I'un de l'autre. Ils
empruntent les diff\'{e}rentes routes du complexe, avec les r\`{e}gles
suivantes : .

\begin{itemize}
\item \`{a} partir d'un site, chacun choisit de se rendre sur l'un des deux
sites voisins, les deux possibilit\'{e}s \'{e}tant \'{e}quiprobables;

\item les d\'{e}placements des deux personnes se font simultan\'{e}ment;

\item tous les choix de d\'{e}placement se font ind\'{e}pendamment les uns
des autres.
\end{itemize}

Ils continuent \`{a} se d\'{e}placer ainsi jusqu'\`{a} se retrouver \'{e}%
ventuellement sur un m\^{e}me site (ils ne se rencontrent pas le long des
routes). Une fois retrouv\'{e}s, ils ne se d\'{e}placent plus.{\Large %
\medskip }

\textbf{A. Mod\'{e}lisatlon du probl\`{e}me}

Pour tout entier naturel n, on d\'{e}finit les trois \'{e}v\'{e}nements $%
A_{n}$, $B_{n}$, $C_{n}$ :

\begin{itemize}
\item $A_{n}$ : $\ll $ les deux personnes sont sur le m\^{e}me site apr%
\`{e}s le $n$-i\`{e}me d\'{e}placement$\gg $

\item $B_{n}$ : $\ll $ les deux personnes sont sur des sites adjacents apr%
\`{e}s le $n$-i\`{e}me d\'{e}placement$\gg $

\item $C_{n}$ : $\ll $ les deux personnes sont \`{a} deux routes de distance
apr\`{e}s le $n$-i\`{e}me d\'{e}placement$\gg $
\end{itemize}

\begin{center}
On note $a_{n}$, $b_{n}$, $c_{n}$ les probabilit\'{e}s des \'{e}v\'{e}%
nements $A_{n}$, $B_{n}$, $C_{n}$.
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Justifier que $A_{n}$, $B_{n}$, $C_{n}$.forment un syst\`{e}me complet
d'\'{e}v\'{e}nements.

\item D\'{e}terminer les valeurs de $a_{0}$, $b_{0}$ et $c_{0}$.

\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer : $\forall n\in \mathbb{N}$, $P\left( A_{n+1}|C_{n}\right) =\frac{%
1}{4}$. \\
{\footnotesize Indication : Cette notation signifie $P(A_{n+1})$ sachant $C_n$}
\item  Justifier $P\left( A_{n+1} |A_{n}\right) =1$ \\
\item D\'{e}terminer toutes les probabilit\'{e}s conditionnelles 
analogues. On repr\'{e}sentera les r\'{e}sultats en reproduisant 
et compl\'{e}tant le sch\'{e}ma ci-dessous%
\end{enumerate}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.1]{graph2.png}
\end{center}


\item Etablir les relations suivantes pour tout entier $n\in \mathbb{N}$ : $%
\left \{ 
\begin{array}{c}
a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{4}c_{n} \\ 
b_{n+1}=\frac{3}{4}b_{n}+\frac{1}{4}c_{n} \\ 
c_{n+1}=\frac{1}{4}b_{n}+\frac{1}{2}c_{n}%
\end{array}
\right. $

\item \thinspace

\begin{enumerate}
\item Exprimer $b_{n+2}$ \`{a} l'aide de $b_{n+1}$, $b_{n}$ et $c_{n}$ puis
exprimer $c_{n}$ en fonction de $b_{n+1}$ et $b_{n}$ pour obtenir enfin une
relation entre $b_{n+2}$, $b_{n+1}$ et $b_{n}$

\item En d\'{e}duire une expression de $b_{n}$ en fonction de $n$.\newline
on fera intervenir les nombres $\alpha =\frac{5-\sqrt{5}}{8}$ et $\beta =%
\frac{5+\sqrt{5}}{8}$

\item Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $c_{n}=\frac{\sqrt{5}}{5}%
\left( \beta ^{n}-\alpha ^{n}\right) $.
\end{enumerate}

\item \thinspace

\begin{enumerate}
\item Exprimer $a_{n}$ en fonction de $n$, $\alpha $ et $\beta $. (on pourra
s'int\'{e}resser \`{a} la somme $a_{n}+b_{n}+c_{n}$).

\item D\'{e}terminer la limite de la suite $\left( a_{n}\right) _{n\in 
\mathbb{N}}$.

\item Quelle est la probabilit\'{e} que les deux personnes ne se retrouvent
jamais ?{\Large \medskip }
\end{enumerate}
\end{enumerate}



\end{document}