\input{../preambules/preDM.tex}

\begin{document}

\chead{Devoir maison n°11}
\lfoot{}
\cfoot{Suites, \'Etude de fonctions}

\begin{center}
\fbox{ \Large A rendre pour le 20 Février 2019}
\end{center}
\vspace{30pt}

\section*{Exercice 1 - \'Etude de fonction et suites} %EMLyon 2011


On considère la suite $(u_n)_{n \in \N}$ définie par :
\begin{center}
$u_0 = a$ et pour tout entier $n$, $u_{n+1} = u_n(2-u_n)$, 
\end{center}
où $a$ est un réel tel que $0 < a <1$. 
\begin{enumerate}
\item \'Etudier les variations de la fonction $f : x \to x(2-x)$.
\item \begin{enumerate}
\item Montrer par récurrence que , pour tout entier $n$, $0 < u_n < 1$.
\item Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante. 
\item En déduire que la suite est convergente. Déterminer sa limite. 
\end{enumerate}
\item On considère la suite numérique $(v_n)_{n \in \N}$ définie sur $\N$ par :
\[ v_n = 1 - u_n \]
\begin{enumerate}
\item Exprimer pour tout entier $n$, $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.
\item En déduire (par récurrence), que pour tout $n \in \N$, on a $v_n = (1-a)^{2^n}.$
\item Déterminer la limite de la suite $(v_n)$. Retrouver la limite de la suite $(u_n)$. 
\end{enumerate}
\item On considère le temps de vie d'une machine à café. En sortant de l'usine (au temps $t=0$), la machine à café à une probabilité $a$ d'être cassé ($0 < a < 1$). On notera $A_n$ l'événement "la machine est cassé au temps $t=n$" et $p_n = p(A_n)$. Si la machine est cassé au temps $t= n$ elle reste cassé au temps $t = n+1$. Si la machine est en état de marche au temps $t=n$, elle a la probabilité $p_n$ d'être cassé au temps $t = n+1$. 
\begin{enumerate}
\item Calculez $p_1$.
\item \'Ecrire $p_{n+1}$ en fonction de $p_n$ (en justifiant votre résultat). 
\item En déduire $p_n$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} p_n$. Que pensez vous de ce résultat ?
\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 - \'Etude de fonction et suites}


On consid\`{e}re l'application définie sur $]0; +\infty[$, $
f:x\longmapsto f\left(
x\right) =\left( x+\ln x\right) e^{x-1}. $

\begin{enumerate}
\item Pour tout $x\in \left] 0;+\infty \right[ ,$ calculer $f^{\prime}\left(
x\right) .$

\item \'{E}tablir : $\forall x\in \left] 0,+\infty \right[ ,\quad \ln x+\frac{1}{x}>0 $
\item En d\'{e}duire : $
\forall x\in \left] 0;+\infty \right[ ,\quad x+\ln x+1+\frac{1}{x}>0. 
$ et le sens de variation de $f$


\item Dresser le tableau de variation de $f$. Calculer $f\left( 1\right) $ et $f^{\prime}\left( 1\right) .$

\item \sout{Pr\'{e}ciser la nature des branches infinies de la courbe repr\'{e}%
sentative $C$ de $f$.}

\item Tracer l'allure de $C$. On pr\'{e}cisera la tangente au point
d'abscisse $1.$

On consid\`{e}re la suite r\'{e}elle $\left( u_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}$
d\'{e}finie par $u_{0}=2$ et, $\forall n\in \mathbb{N},$ $u_{n+1}=f\left(
u_{n}\right) .$

\item Montrer que, pour tout $n\in \mathbb{N},$ $u_{n}$ existe et $u_{n}\geq2
$.

\item \'{E}tablir, par r\'{e}currence :\qquad$\forall n\in \mathbb{N},\quad
u_{n}\geq e^{n}$.

Quelle est la limite de $u_{n}$ lorsque l'entier $n$ tend vers l'infini ?

\item \'{E}crire un programme en Scilab qui calcule et affiche le plus
petit entier naturel $n$ tel que $u_{n}\geq10^{20}.$
\end{enumerate}


\section*{Exercice 3 - \'Etude de fonctions et suites}

On considère la fonction $f : x \to e^{-\frac{x^2}{2}}$. On définit la suite $(u_n)$ par
$$
u_0 \in [0,1], \qquad \forall n \in \N, u_{n+1} = f(u_n)
$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'équation $f(x) = x$ admet une unique solution dans $[0,1]$ que l'on notera $\alpha$.
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que l'intervalle $[0,1]$ est stable par $f$. (c'est à dire que $\forall x \in [0,1], f(x) \in [0,1]$ ou encore, $f([0,1]) \subset [0,1]$.
\item En déduire que $\forall n \in \N,\; u_n \in [0,1]$. 
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Monter que $\forall x \in [0,1], |f'(x)| \leq \dfrac{1}{\sqrt{e}}$
\item En déduire que : $\forall n \in \N$, $|u_{n+1} - \alpha| \leq \dfrac{1}{\sqrt{e}} |u_n - \alpha |$. 
\item Puis que : $\forall n \in \N,\; |u_n - \alpha| \leq \left( \dfrac{1}{\sqrt{e}} \right)^n$.
\item En déduire que $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}