\input{../preambules/preDM.tex}

\begin{document}

\chead{Devoir maison n°10}
\lfoot{}
\cfoot{Polynômes, suites}

\begin{center}
\fbox{ \Large A rendre pour le 6 Février 2019}
\end{center}
\vspace{30pt}

\section*{Exercice 1 Polynôme}


Soit $P(x) = ax^2 +bx + c$ un polynôme de degré 2 possédant 2 racines réelles $\alpha_1$ et $\alpha_2$. 
\begin{enumerate}
\item En utilisant la forme factorisée du polynôme $P$, puis en développant l'expression obtenue, exprimer $\alpha_1 + \alpha_2$ et $\alpha_1 \alpha_2$ en fonction de a,b et c. 
\item Réciproquement, soient $\alpha_1$ et $\alpha_2$ deux nombres réels. Montrer que $\alpha_1$ et $\alpha_2$ sont les racines du polynôme $P(x) = x^2 -sx + p$ où $s =\alpha_1 + \alpha_2$ et $p =\alpha_1 \alpha_2$. 
\end{enumerate}
On considère alors l'équation $2x^2 - 5x +3 = 0$
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
\item Trouver une solution évidente. 
\item Combien vaut la somme et le produit des solutions ?
\item En déduire l'autre solution.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 - Probabilité}

On lance $n$ fois une pi\`{e}ce de monnaie donnant \textquotedblleft
~pile~\textquotedblright\ avec la probabilit\'{e} $p$ (avec $0<p<1$) et
\textquotedblleft ~face~\textquotedblright\ avec la probabilit\'{e} $q=1-p$.
On appelle $k$-cha\^{\i}ne de \textquotedblleft ~pile~\textquotedblright\
une suite de $k$ lancers cons\'{e}cutifs ayant tous donn\'{e}s
\textquotedblleft ~pile~\textquotedblright , cette suite devant \^{e}tre pr%
\'{e}c\`{e}d\'{e}e d'un \textquotedblright face\textquotedblright\ ou d\'{e}%
buter le tirage, et suivie d'un \textquotedblleft ~face~\textquotedblright\
ou \^{e}tre la derni\`{e}re suite du tirage.\newline
Pour tout $k$ de $\entier{1,n} $ on note $Y_{{\ k}}$ la
variable al\'{e}atoire \'{e}gale au nombre total de $k$-cha\^{\i}nes de
\textquotedblleft ~pile~\textquotedblright\ obtenues au cours des $n$
lancers.\newline
Pour tout $k$ de$\entier{1,n} $, on pourra noter $P_{{\ k%
}}$ l'\'{e}v\'{e}nement \textquotedblleft ~on obtient \textquotedblleft
~pile~\textquotedblright\ au $k^{eme}$ lancer~\textquotedblright .\newline
Par exemple, avec $n=11$, si l'on a obtenu les r\'{e}sultats $P_{{1}}P_{{2}%
}F_{{3}}F_{{4}}P_{{5}}P_{{6}}P_{{7}}F_{{8}}P_{{9}}F_{{1}{0}}P_{{1}{1}}$
alors $Y_{{\ 1}}=2$, $Y_{{\ 2}}=1$ et $Y_{{\ 3}}=1$.\newline
Le but de cet exercice est de d\'{e}terminer, pour tout $k$ de $\entier{1,n} $ l'esp\'{e}rance de $Y_{{\ k}}$, not\'{e}e $E(Y_{{\ k}}$%
).

\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer la loi de $Y_{{n}}$ et donner $E(Y_{{n}}$).

\item Montrer que $P(Y_{n-1}=1)=2qp^{n-1}$. et donner $E(Y_{n-1})$.

\item Dans cette question, $k$ d\'{e}signe un entier de$\entier{1,n-2} $

Pour tout $i$ de $\entier{1,n} $ on note $X_{i,k}$ la
variable al\'{e}atoire qui vaut 1 si une $k$-cha\^{\i}ne de ``~pile~''
commence au $i^{eme}$ lancer et qui vaut $0$ sinon.

\begin{enumerate}
\item Calculer $P(X_{1,k}=1)$.

\item Soit $i\in \entier{2,n-k} .$ Montrer que $%
P(X_{i,k}=1)=q^{2}p^{k}$.

\item Montrer que $P(X_{n-k+1,k}=1)=qp^{k}$.

\item Exprimer $Y_{k}$ en fonction des variables $X_{i,k}$, puis d\'{e}%
terminer $E(Y_{k})$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\section*{Exercice 3 - Suites } %ESCP 2002 revu et adapté

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on d\'{e}finit la fonction $f_n$ par: 
\[
\forall x\in \mathbb{R},\ f_{n}\left( x\right) =\dfrac{1}{1+e^{x}}+n~x . \]


\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer, pour tout r\'{e}el $x$, $f_{n}^{\prime }\left(
x\right) $ et $f_n^{\prime \prime }\left( x\right) $.

\item En d\'{e}duire que la fonction $f_{n}$ est strictement croissante sur $%
\mathbb{R}$
\end{enumerate}

\item  Calculer $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f_{n}\left( x\right) $ ainsi que 
$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f_{n}\left( x\right) $.

\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'\'{e}quation $f_{n}\left( x\right) =0$ poss\`{e}de une
seule solution sur $\mathbb{R}$, not\'{e}e $u_{n}$.

\item Montrer que l'on a : $\forall n\in \mathbb{N}^{\ast },\quad \dfrac{-1}{%
n}<u_{n}<0$.

\item En d\'{e}duire la limite de la suite $\left( u_{n}\right) $

\item En revenant \`{a} la d\'{e}finition de $u_{n}$, montrer que $\lim\limits_{n \to ++\infty} -2n \times u_{n} = 1$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}



\end{document}