\input{../preambules/preDM.tex}

\begin{document}

\chead{Devoir maison n°1}
\lfoot{}
\cfoot{Généralités sur les fonctions.}

\begin{center}
\fbox{ \Large A rendre pour le 21 Septembre 2018}
\end{center}
\vspace{30pt}


\section*{Exercice 1}

Soit $g$ la fonction définie par $g:x \to \ln(1+x^2)$.
\begin{enumerate}
\item
Déterminer son ensemble de définition puis son signe. 
\item Calculer les limites de $g$ en $+ \infty$ et $- \infty$.
\item Déterminer la parité de la fonction $g$. 
\item
Dresser alors son tableau de variations. 
\item
On fixe $y\in\R$. Résoudre l'équation d'inconnue $x$, $g(x)=y$ (on distinguera différents cas suivant la valeur de $y$).
\item
En étudiant une fonction annexe, 
déterminer la position relative de la courbe représentative de $g$ et de la droite d'équation $y=x$. 
\item Donner l'allure de la courbe représentative de la fonction $g$ en faisant figurer la droite $y =x$.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2} %Ecricome ECT 2015 - Exercice 2

On considère la fonction $f$ définie par :
$$
f(x) = \dfrac{x}{\ln(x)}.
$$
\begin{enumerate}
\item Déterminer le domaine de définition $D$ de $f$.
\item Calculer les limites suivantes : $\li_{x \tos 0} f(x)$, $\li_{x \toi 1} f(x)$ et  $\li_{x \tos 1} f(x)$. ({\it On admettra pour la suite que $\li_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$})
\item Dresser le tableau de variation de $f$ sur $D$ en le complétant par les limites de $f$ aux bornes de $D$. 
\item Résoudre l'équation $f(x) = x$ d'inconnue $x$, pour $x  \in D$. 
\item Montrer que :
$$
\forall x \in [e; + \infty[, \quad f'(x) = \frac{1}{4} - \frac{1}{4}\left( 1 - \frac{2}{\ln(x)}\right)^2 . 
$$
\item En déduire que : 
$$
\forall x \in [e; +\infty[, \quad |f'(x)| \leq \dfrac{1}{4}
$$
\end{enumerate}

\newpage
\section*{Exercice 3} % Ecricome ECT 2004

Le but de l'exercice est d'étudier la fonction $f$ définie sur $\R$ par 
$$
f(x) = e^{-x}\ln(1+e^x)
$$

\subsection*{Partie 1 : \'Etude d'une fonction $g$ intermédiaire}

On considère la fonction définie sur $\R^+$ par :
$$
\forall t \geq 0, \quad g(t) = \dfrac{t}{t+1} - \ln(1+t)
$$
\begin{enumerate}
\item Déterminer le domaine de définition de la fonction $g$.
\item Déterminer la fonction dérivée $g'$ de $g$ et en donner son signe.
\item En déduire les variations de la fonction $g$ et montrer que : $\forall t \geq 0, \quad g(t) \leq 0$. 
\end{enumerate}

\subsection*{Partie 2 : \'Etude de la fonction $f$}
\begin{enumerate}
\item Démontrer que l'on a, pour tout $x$ réel : $f'(x) = e^{-x} g(e^x)$.
\item \'Etudier alors les variations de la fonction $f$.
\item Sachant que $\ln 2 \simeq 0.69$ et que $\dfrac{\ln(1+e)}{e} \simeq 0.48$, montrer que l'on a, pour tout $x$ de l'intervalle $[0;1]$:
$$
0 \leq f(x) \leq 1.
$$
\item Justifier que pour tout $x$ de $[0,1]$ :
$$
|f'(x)| \leq |g(e)|.
$$
\end{enumerate}

\subsection*{Partie 3 : \'Etude de la fonction $f(x) -x$}
On considère la fonction $h$ définie sur $[0,1]$ par : $h(x) = f(x) - x$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $h$ est une fonction strictement décroissante sur $[0,1]$.
\item Prouver que l'équation $h(x) = 0$ admet une unique solution dans l'intervalle $[0,1]$.
\item En déduire que l'équation $f(x) = x$ admet une unique solution sur $[0,1]$.  
\end{enumerate}

\end{document}