\documentclass[a4paper,french,12pt]{article}
\usepackage{amssymb}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[a4paper]{geometry}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{theorem}
\usepackage{multicol}
\usepackage{hyperref}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{tikz}
\usepackage[tikz]{bclogo}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{stmaryrd}

\setcounter{MaxMatrixCols}{10}
%TCIDATA{OutputFilter=LATEX.DLL}
%TCIDATA{Version=5.00.0.2552}
%TCIDATA{<META NAME="SaveForMode" CONTENT="1">}
%TCIDATA{Created=Monday, August 30, 2004 17:45:53}
%TCIDATA{LastRevised=Monday, August 30, 2004 21:23:05}
%TCIDATA{<META NAME="GraphicsSave" CONTENT="32">}
%TCIDATA{<META NAME="DocumentShell" CONTENT="abdellah\bech_exercice_paysage">}


\geometry{margin={1cm,2cm}}
 \pagestyle{fancy}
\lhead{ECE1}
\chead{DS n°6}
\rhead{2017-2018}
\lfoot{}
\cfoot{DS n°6}
\rfoot{M Leboucher}
\theoremstyle{break}
\newtheorem{theorem}{Théorème}
\theorembodyfont{\rmfamily}
\newtheorem{ex}[theorem]{Exercice}
\newtheorem{problem}[theorem]{Problème}
\newtheorem{remark}[theorem]{Remarque}
\newtheorem{solution}[theorem]{Solution}
\setlength{\columnseprule}{0.5pt}
%\input{tcilatex}

% Question multiple
\newenvironment{qmulti}[1]{
	\def\columnseprulecolor{\color{white}}
	\begin{multicols}{#1}
	\begin{enumerate}
	}{
	\end{enumerate}
	\end{multicols}
	\vspace{-1pt}}

\newcommand{\Rr}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Cc}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Zz}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\renewcommand{\P}{\mathrm{P}}

\newcommand{\intervalle}[4]{\mathopen{#1}#2\mathclose{}\mathpunct{},#3\mathclose{#4}}%
\newcommand{\intn}[2]{\intervalle{\llbracket}{#1}{#2}{\rrbracket}}%
\newcommand{\intoo}[2]{\ensuremath{\,\left]  #1 \,, #2  \right[\, }}%
\newcommand{\intof}[2]{\ensuremath{\,\left]  #1 \,, #2  \right]\, }}%
\newcommand{\intfo}[2]{\ensuremath{\,\left[  #1 \,, #2  \right[\, }}%
\newcommand{\intff}[2]{\ensuremath{\,\left[  #1 \,, #2  \right]\, }}%

\newcommand{\U}{$\mathcal{U}$}
\newcommand{\V}{$\mathcal{V}$}


% Divers
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}%
\renewcommand{\leq}{\leqslant}%
\renewcommand{\geq}{\geqslant}%

\newcommand{\mtext}[1]{\quad\text{#1}\quad}%
\newcommand{\et}{\mtext{et}}
\newcommand{\si}{\mtext{si}}

\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert}%
\newcommand{\itb}{\item[\textbullet]}

\newcommand{\guill}[1]{%
"{}#1{}}%

\newcommand{\dx}{\,\textrm{d}x}

\newcommand{\entier}[1]{\llbracket #1 \rrbracket}


\begin{document}

\noindent {\bfseries Durée:} 4 heures \hfill Mercredi 9 Mai 2018 \\
\textbf{Aucune sortie (même temporaire) autorisée pendant la première heures et le dernier quart d'heure}\\

\begin{center}
{\LARGE \textbf{DS n°5}}
\end{center}

\begin{center}
Aucun matériel ni documents autorisés. La présentation de la copie compte pour environ un point sur 20. \'Ecrivez dans un Français clair et précis. Encadrez les résultats. 

\paragraph{}
Les 3 exercices sont indépendants. Le sujet comporte
\end{center}
\hrule

%\begin{center}
%\begin{tabular}{|c|c|}
%\hline
%\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} Rappels des compétences  & Rigueur/Auto-correction et rédaction \\
%\hline
%\rule[-2.25ex]{0pt}{6ex} Ne pas écrire "d'horreur"& Essayez un maximum de question \\
%\hline
%\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} Pas d'erreur de calculs & Français / rédaction / présentation\\
%\hline
%\end{tabular}
%\end{center}



\newpage

\section*{Exercice 1A - ECRICOME ECT - 2013}

Dans cet exercice, on \'{e}tudie quelques situations probabilistes li\'{e}s
\`{a} un standard t\'{e}l\'{e}phonique d'un service apr\`{e}s-vente. Le standard de ce service apr\`{e}s-vente re\c{c}oit deux types d'appels :
Les appels concernant le petit \'{e}lectrom\'{e}nager et les appels
concernant les appareils audio et vid\'{e}o.
\\
\noindent Lors d'un appel, le probl\`{e}me est soit r\'{e}solu directement par t\'{e}l\'{e}phone, soit il n\'{e}cessite l'intervention d'un technicien. On consid\`{e}re les \'{e}v\'{e}nements suivants :\medskip

\begin{itemize}
\item  $E$ : " un appel concerne le petit \'{e}lectrom\'{e}nager "
\item  $A$ : " un appel concerne les appareils audio et vid\'{e}o"
\item $T$ : " le probl\`{e}me se r\'{e}sout directement par t\'{e}%
l\'{e}phone "
\end{itemize}





De plus des \'{e}tudes ont permis d'\'{e}tablir les r\'{e}sultats suivants :
\medskip

\ \ $\left( H_{1}\right) $ Le standard re\c{c}oit $20$ $\%$ d'appels
concernant le petit \'{e}lectrom\'{e}nager et $80$ $\%$ d'appels

\ \ \ \ \ \ \ \ concernant les appareils audio et vid\'{e}o.\medskip

\ \ $\left( H_{2}\right) $ Lorsqu'un appel concerne le petit \'{e}lectrom%
\'{e}nager, la probabiit\'{e} pour que le probl\`{e}me soit

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ r\'{e}solu par t\'{e}l\'{e}phone est de $0,5.\medskip $

\ \ $\left( H_{3}\right) $ Lorsqu'un appel concerne un appareil audio et vid%
\'{e}o, la probabiit\'{e} pour que le probl\`{e}me

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ soit r\'{e}solu par t\'{e}l\'{e}phone est de $%
0,375.\medskip $

On supposera enfin les appels ind\'{e}pendants les uns des autres.\bigskip

\subsection*{\textbf{PARTIE I}}

\begin{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item Traduire en terme de probabilit\'{e} les donn\'{e}%
es $\left( H_{1}\right) ,\left( H_{2}\right) $ et \ $\left( H_{3}\right)
.\medskip $
\item Montrer que $P\left( T\right) =0,4\medskip $
\item On suppose qu'une personne appelant le standard a vu son probl\`{e}me r\'{e}solu directement par t\'{e}l\'{e}phone, calculer la probabilit%
\'{e} pour que le probl\`{e}me pos\'{e} concerne un petit \'{e}lectrom\'{e}%
nager.
\end{enumerate}
\item Un standardiste re\c{c}oit 10 appels dans l'heure, on note $X$ la
variable al\'{e}atoire repr\'{e}sentant le nombre d'appels concernant le petit \'{e}lectrom\'{e} nager.
\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer la loi de $X$ : on donnera les valeurs prises par $X$ ainsi que, pour chacune d'elles, la probabilit\'{e} correspondante.
\item Donner les valeurs de l'esp\'{e}rance et de la variance de $X.\medskip $
\end{enumerate}
\item Pendant une p\'{e}riode de 10 jours, un standardiste re\c{c}oit 600
appels. On note $Y$ la variable
al\'{e}atoire repr\'{e}sentant \ le nombre d'appels r\'{e}solus
directement par t\'{e}l\'{e}phone.\medskip
\begin{enumerate}
\item Donner la loi de $Y.\medskip $
\item On admet dans la suite de cette partie que l'on peut approcher la
loi de $Y$ par une loi normale.D\'{e}terminer les param\`{e}tres de cette
loi.
\item En utilisant cette approximation, d\'{e}%
terminer une valeur approch\'{e}e de la probabilit\'{e} $P\left( Y\leq 252\right) .$ (\textit{On utilisera la table
de loi normale ci-jointe)}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{\textbf{PARTIE II.\protect\bigskip }}

On consid\`{e}re la fonction $f$ d\'{e}finie par : \medskip

\begin{center}
$\left\{
\begin{array}{c}
f(x)=0\text{ \ \ \ si }x<0 \\
f(x)=xe^{-x}\text{ si }x\geq 0%
\end{array}%
\right. \medskip $
\end{center}

\begin{enumerate}
\item A l'aide d'une int\'{e}gration par
parties, montrer que l'intégrale impropre $\underset{A\rightarrow +\infty }{\lim }%
\int_{0}^{A}xe^{-x}dx.\medskip $ est convergente et donner sa valeur.
\item Montrer que $f$ est une densité d'une variable aléatoire.
\item On suppose que lors d'un appel au standard, le temps de celui-ci en minutes est une variable al\'{e}atoire $M$ \`{a} densit\'{e} dont une densit\'{e} est $f.\medskip $.
\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer $F$ la fonction de r\'{e} partition de la variable $M.\medskip $
\item Calculer les probabilit\'{e}s suivantes :
$P\left( M\leq 4\right) ,$\ $ \;P\left(
2\leq M\leq 4\right) ,$\ $ \;P_{\left( M\geq 2\right)
}\left( M\leq 4\right) \medskip $
\end{enumerate}
\item Montrer que la variable al\'{e}atoire $M$ admet une esp\'{e}rance et
que cette esp\'{e}rance vaut $2.\medskip $
\item  On suppose que le prix pay\'{e} par le client en euro pour un appel est
une variable al\'{e}atoire $Z$ qui est calcul\'{e}e de la fa\c{c}on suivante : $Z=1+0,2$ $M.$ Quel est le co\^{u}t moyen d'un appel pour un client ?
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2A - ECRICOME ECT - 2013}

Une entreprise fabrique des appareils électriques en grande quantité.

\subsection*{I. Probabilités conditionnelles}

On admet que 5 \% des appareils présentent un défaut. On contrôle les appareils d'un lot. Ce contrôle refuse 90 \% des appareils avec défaut et accepte 80\% des appareils sans défaut. On prélève un appareil au hasard dans le lot.  

On considère les évènements suivants :
\begin{itemize}
\item $D$ : " L'appareil a un défaut".
\item $A$ : " L'appareil est accepté à l'issue du contrôle".
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Donner la valeur des probabilités et probabilités conditionnelles suivantes :
$$
P(D), \quad P(\bar{D}), \quad P_D(\bar{A}), \quad P_D(A), \quad P_{\bar{D}}(A)
$$
\item Calculer à $0,001$ près les probabilités suivantes :
$$
P(A \cap D), \quad P(A \cap \bar{D})
$$
\item En déduire la probabilité de $P(A)$ à 0,001 près. 
\item Calculer à 0,001 près la probabilité qu'un appareil soit défectueux sachant qu'il a été accepté par le contrôle. 
\end{enumerate}

\subsection*{II. Loi discrète}

On prélève au hasard 10 appareils électriques d'une livraison pour vérification. La livraison étant suffisamment importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise des appareils. On rappelle que 5\% des appareils présentent un défaut.

On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 10 appareils, associe le nombre d'appareils sans défaut de ce prélèvement. 

\begin{enumerate}
\item Déterminer $X(\Omega)$, la loi de $X$, son espérance et pour tout $k \in X(\Omega)$, donner la valeur de $P(X=k)$. 
\item Donner la probabilité que, dans un tel prélèvement, tous les appareils soient sans défaut.
\item Donner la probabilité que, dans un tel prélèvement, au moins un appareil ait un défaut.
\end{enumerate}

\subsection*{III.Une variable à densité}

On considère la fonction $f$ de la variable réelle définie par :

\begin{center}
$\left\{
\begin{array}{c}
f(t)=0\text{ \ \ \ si }t\leq 0 \\
f(t)=2 e^{-t} - 2 e^{-2t} \text{ si }t > 0%
\end{array}%
\right. \medskip $
\end{center}

La durée de vie des appareils électriques, exprimée en centaine d'heures, est une variable aléatoire à densité notée $T$, dont une densité est la fonction $f$. 

La probabilité qu'un appareil électrique fonctionne au moins jusqu'à la date $x$ est donc donnée par la probabilité de l'évènement $(T>x)$

On note $F$ la fonction de répartition de $T$. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est une densité de probabilité d'une variable aléatoire $T$.
\item Montrer que : $\forall x \in \R_+, \; F(x) = (1 - e^{-x})^2$.
\item Calculer la durée médiane de fonctionnement des appareils, c'est-à-dire le temps $x$ tel que $F(x) = \dfrac{1}{2}$.
\item Déterminer la durée moyenne de fonctionnement des appareils, c'est-à-dire $E(T)$. 
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3A - ECRICOME 2007}

Soucieux de mieux connaitre sa clientèle, un gérant de magasin a réalisé une étude
:
Après enquête, on estime que le temps d'attente en caisse, exprimé en unités de
temps, est une variable aléatoire $T$
dont une densité de probabilité est donnée par la fonction $f$
définie par :

\begin{center}
$\left\{
\begin{array}{c}
f(x)=0\text{ \ \ \ si }x < 0 \\
f(x)= \dfrac{2}{(x+1)^3} \text{ si } x \geq 0%
\end{array}%
\right. \medskip $
\end{center}

On suppose que les temps d'attente successifs d'une même personne lors des différents passages en caisse sont indépendants.

\begin{enumerate}
\item Vérifier que $f$ est bien une densité de probabilité. 
\item On note $F_T$ la fonction de répartition de la variable $T$. Déterminer $F_T$. 
\item Vérifier que la probabilité que le temps d'attente en caisse soit supérieur à quatre unités (de temps) est égale à $\dfrac{1}{25}$. 
\item Quelle est la probabilité que le temps d'attente en caisse soit supérieur à cinq unités sachant qu'il est supérieur à quatre unités ?
\item Pendant $125$ jours une même personne se présente à la caisse. On note $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de fois où ? cette personne attend plus de quatre unités à la caisse.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de $X$.
\item Donner la valeur de l'espérance et de la variance de $X$.
\end{enumerate}
\item Plus impatient, un autre client décide de passer à la concurrence le jour où il attend plus de quatre unités à la caisse. On note $Y$ la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de fois où ce client s'est présenté à la caisse de ce magasin avant de passer à la concurrence, si cet évènement se produit.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de $Y$.
\item Donner la valeur de l'espérance et de la variance de $Y$. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 1B - EDHEC 2005}


Dans cet exercice, $a$ d\'{e}signe un r\'{e}el strictement positif.

\begin{enumerate}
\item On consid\`{e}re la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ par : $f\left(
t\right) =\left\{ 
\begin{array}{cc}
a\left( 1-t\right) ^{a-1} & \text{si }t\in \left[ 0,1\right[ \\ 
0 & \text{si }t\notin \left[ 0,1\right[%
\end{array}
\right. $

\begin{enumerate}
\item Pour tout $x$ de $\left[ 0,1\right[ ,$ calculer $\displaystyle
\int_{0}^{x}f\left( t\right) \,dt$

\item En d\'{e}duire que $\displaystyle
\int_{0}^{1}f\left( t\right) \,dt$ est une int\'{e}grale convergente et
donner sa valeur.

\item Montrer que $f$ peut \^{e}tre consid\'{e}r\'{e}e comme une fonction
densit\'{e} de probabilit\'{e}.

\hspace{-1cm}On consid\`{e}re maintenant une variable al\'{e}atoire $X$
admettant $f$ comme densit\'{e} et on note $F$ sa fonction de r\'{e}%
partition.
\end{enumerate}

\item Expliciter $F(x)$ pour tout r\'{e}el $x$.

\hspace{-1cm}On se propose de d\'{e}terminer l'esp\'{e}rance $E\left(
X\right) $et la variance $V\left( X\right) $ de la variable al\'{e}atoire $X$%
. Pour ce faire, on pose $Y=-\ln \left( 1-X\right) $ et on admet que $Y$ est
une variable al\'{e}atoire \`{a} densit\'{e}. On note alors $G$ sa fonction
de r\'{e}partition.

\item 
\begin{enumerate}
\item Pour tout r\'{e}el $x$ positif, exprimer $G\left( x\right) $ en
fonction de $x$

\item En d\'{e}duire que $Y$ suit la loi exponentielle de param\`{e}tre $a$.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Pour tout r\'{e}el $\lambda >0$, donner la valeur de $\displaystyle
\int_{0}^{+\infty }e^{-\lambda \,x}dx$.

\item En d\'{e}duire que la variable al\'{e}atoire $e^{-Y}$ poss\`{e}de une
esp\'{e}rance et donner sa valeur en fonction de $a$.

\item Exprimer $X$ en fonction de $Y$, puis en d\'{e}duire que $X$ poss\`{e}%
de une esp\'{e}rance dont on donnera l'expression en fonction de $a$.

\item Montrer que la variable al\'{e}atoire $e^{-2Y}$ poss\`{e}de une esp%
\'{e}rance et que $\displaystyle E\left( e^{-2Y}\right) =\frac{a}{a+2}$

En d\'{e}duire la variance de $e^{-Y}$ puis la variance de $X$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2B - EML 2007}


\begin{enumerate}
\item On consid\`{e}re l'application $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ \ d%
\'{e}finie pour tout nombre r\'{e}el $x$ par : 
\begin{equation*}
\left \{ 
\begin{array}{cc}
f\left( x\right) =e^{-x} & \text{si }x>0 \\ 
f\left( x\right) =0 & \text{si }x\leq 0%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%
Montrer que $f$ est une densit\'{e} de probabilit\'{e}.

\hspace{-1cm}On consid\`{e}re une variable al\'{e}atoire $X$ admettant $f$
pour densit\'{e}.

\item On d\'{e}finit la variable al\'{e}atoire discr\`{e}te $Y$ \`{a}
valeurs dans $\mathbb{N}$ de la fa\c{c}on suivante :

\begin{itemize}
\item[$\star $] l'\'{e}v\'{e}nement $\left( Y=0\right) $ est \'{e}gal l'\'{e}%
v\'{e}nement $\left( X<1\right) $

\item[$\star $] pour tout nombre entier strictement positif $n$, l'\'{e}v%
\'{e}nement $\left( Y=n\right) $ est \'{e}gal \`{a} l'\'{e}v\'{e}nement $%
\left( n\leq X<n+1\right) $.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Montrer, pour tout entier naturel $n:\mathrm{P}\left( Y=n\right)
=\left( 1-\dfrac{1}{e}\right) e^{-n}$

\item Montrer que la variable al\'{e}atoire $Y+1$ suit une loi g\'{e}om\'{e}%
trique dont on pr\'{e}cisera le param\`{e}tre.

En d\'{e}duire l'esp\'{e}rance et la variance de $Y$.

\item Recopier et compl\'{e}ter le programme ci-dessous pour qu'il simule la
variable al\'{e}atoire $Y$\newline
\begin{verbatim}
u = rand()
y = ............
    while .......... do
    ...................
    end
disp(y, 'y vaut')
\end{verbatim}
\end{enumerate}

\item Soit $U$ une variable de Bernoulli telle que $\mathrm{P}\left(
U=1\right) =P\left( U=0\right) =\frac{1}{2}$.

On suppose que les variables al\'{e}atoires $U$ et $Y$ sont ind\'{e}%
pendantes.

Soit la variable al\'{e}atoire $T=\left( 2U-1\right) Y$, produit des
variables al\'{e}atoires $2U-1$ et $Y$.

Ainsi, $T$ est une variable al\'{e}atoire discr\`{e}te \`{a} valeurs dans $%
\mathbb{Z}$, l'ensemble des entiers relatifs.

\begin{enumerate}
\item Montrer que la variable al\'{e}atoire $T$ admet une esp\'{e}rance $%
E\left( T\right) $ et calculer $E\left( T\right) $

\item V\'{e}rifier que $T^{2}=Y^{2}$

En d\'{e}duire que la variable al\'{e}atoire $T$ admet une variance $V\left(
T\right) $ et calculer $V\left( T\right) $

\item Pour tout nombre entier relatif $n$, calculer la probabilit\'{e} $%
\mathrm{P}\left( T=n\right) $.
\end{enumerate}

\item Soit la variable al\'{e}atoire $D=X-Y$. On note $F_{D}$ la fonction de
r\'{e}partition de $D$.

\begin{enumerate}
\item Justifier : $\forall t\in \left] -\infty ;0\right[ ,\ F_{D}\left(
t\right) =0$\hspace{5mm} et :\hspace{5mm} $\forall t\in \left[ 1;+\infty %
\right[ ,\ F_{D}\left( t\right) =1$.

\item Soit $t\in \left[ 0;1\right[ $. Exprimer l'\'{e}v\'{e}nement $\left(
D\leq t\right) $ \`{a} l'aide des \'{e}v\'{e}nements $\left( n\leq X\leq
n+t\right) $, $n\in \mathbb{N}$

\item Pour tout nombre r\'{e}el $t\in \left[ 0;1\right[ $ et pour tout
nombre entier naturel $n$, calculer la probabilit\'{e} $\mathrm{P}\left(
n\leq X\leq n+t\right) .$

\item Montrer : $\forall t\in \left[ 0;1\right[ ,\ F_{D}\left( t\right) =%
\dfrac{1-e^{-t}}{1-e^{-1}}$

\item Montrer que $D$ est une variable al\'{e}atoire \`{a} densit\'{e}. D%
\'{e}terminer une densit\'{e} de $D$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3B - ECRICOME 2009}

\subsection*{Liminaire.}

Soient $x$ un r\'{e}el dans l'intervalle $\left[ 0,1\right[ $, $n$ un entier
naturel non nul et $S_{n}$ la fonction d\'{e}finie par :%
\begin{equation*}
S_{n}\left( x\right) =\sum_{k=0}^{n}x^{k}
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item Calculer la somme $S_{n}\left( x\right) $.

\item D\'{e}river l'\'{e}galit\'{e} obtenue et montrer que :%
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{n}kx^{k-1}=\frac{nx^{n+1}-\left( n+1\right) x^{n}+1}{\left(
1-x\right) ^{2}}
\end{equation*}
\end{enumerate}

Une municipalit\'{e} a lanc\'{e} une \'{e}tude concernant les probl\`{e}mes
li\'{e}s au transport.

\subsection*{Partie 1.}

Sur une ligne de bus, une enqu\^{e}te a permis de r\'{e}v\'{e}ler que le
retard (ou l'avance) sur l'horaire officiel du bus \`{a} une station donn%
\'{e}e, peut \^{e}tre repr\'{e}sent\'{e}(e) par une variable al\'{e}atoire r%
\'{e}elle, not\'{e}e $X$, exprim\'{e}e en minutes, qui suit une loi normale $%
\mathcal{N}\left( m,\sigma ^{2}\right) $.

On admet de plus que la probabilit\'{e} que le retard soit inf\'{e}rieur 
\`{a} $7$ minutes est \'{e}gale \`{a} $p=0.8413$ et que l'esp\'{e}rance de $%
X $ est de $5$ minutes.

\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer la valeur de $\sigma $ en utilisant la table jointe en
annexe.

\item Quelle est la probabilit\'{e} que le retard soit sup\'{e}rieur \`{a} $%
9 $ minutes ?

\item Sachant que le retard est sup\'{e}rieur \`{a} $3$ minutes, quelle est
la probabilit\'{e} que le retard soit inf\'{e}rieur \`{a} $7$ minutes ? (On
exprimera cette probabilit\'{e} \`{a} l'aide de la fonction de r\'{e}%
partition de la loi normale centr\'{e}e r\'{e}duite, puis on utilisera la
table jointe en annexe).

\item Monsieur Thierex fr\'{e}quente cette ligne de bus tous les jours
pendant 10 jours. On suppose que les retards journaliers sont ind\'{e}%
pendants.

\begin{enumerate}
\item On d\'{e}signe par $Y$ la variable al\'{e}atoire r\'{e}elle \'{e}gale
au nombre de jours o\`{u} Monsieur Thierex a attendu moins de 7 minutes.%
\newline
D\'{e}terminer la loi de $Y$, donner sans calcul, son esp\'{e}rance et sa
variance.

\item On d\'{e}finit par $Z$ la variable al\'{e}atoire discr\`{e}te r\'{e}%
elle indiquant le rang $k$ du jour o\`{u} pour la premi\`{e}re fois Monsieur
Thierex attend plus de 7 minutes si cet \'{e}v\'{e}nement se produit. Dans
le cas contraire si le temps d'attente est inf\'{e}rieur \`{a} 7 minutes
pendant les dix jours, $Z$ prend la valeur $0$.\newline
D\'{e}terminer en fonction de $p$ la probabilit\'{e} des \'{e}v\'{e}nements $%
\left[ Z=0\right] $, puis $\left[ Z=k\right] $ pour $1\leq k\leq 10$.\newline
Utiliser le liminaire pour calculer l'esp\'{e}rance de $Z$ en fonction de $p$%
.
\end{enumerate}

\item Lass\'{e} des retards de son bus, Monsieur Thurman d\'{e}cide de
prendre le bus ou le m\'{e}tro selon le protocole suivant :

\begin{itemize}
\item Le premier jour, il prend le bus.

\item Si le jour $n$ $\left( n\in \mathbb{N}^{\ast }\right) $ il attend plus
de 7 minutes pour prendre le bus, le jour $n+1$ il prend le m\'{e}tro, sinon
il prend de nouveau le bus.

\item Si le jour $n$ il prend le m\'{e}tro, le jour $n+1$ il prend le m\'{e}%
tro ou le bus de fa\c{c}on \'{e}quiprobable.
\end{itemize}

On note $p_{n}$ la probabilit\'{e} de l'\'{e}v\'{e}nement $A_{n}=$" Monsieur
Thurman prend le bus le jour $n$"

\begin{enumerate}
\item Justifier que pour tout entier naturel $n$ non nul :%
\begin{equation*}
p_{n+1}=\left( p-\frac{1}{2}\right) p_{n}+\frac{1}{2}
\end{equation*}

\item Soit $\alpha $ le r\'{e}el v\'{e}rifiant :%
\begin{equation*}
\alpha =\left( p-\frac{1}{2}\right) \alpha +\frac{1}{2}
\end{equation*}%
D\'{e}terminer $\alpha $ en fonction de $p$, puis montrer que, pour tout
entier naturel $n$ non nul :%
\begin{equation*}
p_{n}=\left( p-\frac{1}{2}\right) ^{n-1}\left( 1-\alpha \right) +\alpha
\end{equation*}

\item La suite $\left( p_{n}\right) $ est-elle convergente ? Si oui quelle
est sa limite ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Partie 2.}

\begin{enumerate}
\item Le nombre d'appels re\c{c}us par le standard d'une soci\'{e}t\'{e} de
taxis pendant une p\'{e}riode de dur\'{e}e $t$ suit une loi de Poisson $%
Y_{t} $ de param\`{e}tre $\lambda t$, $\lambda $ \'{e}tant une constante
strictement positive. Une origine de temps \'{e}tant choisie, on note $T$ la
variable al\'{e}atoire r\'{e}elle repr\'{e}sentant le temps d'attente du
premier appel vers ce standard. Par convention $\mathrm{P}\left( T\leq
t\right) =0$ pour $t<0$.

\begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $k$, rappeler la valeur de la probabilit\'{e}
de l'\'{e}v\'{e}nement $\left[ Yt=k\right] $ , ainsi que l'esp\'{e}rance et
la variance de $Y_{t}$.

\item Que peut-on dire des \'{e}v\'{e}nements $\left[ Y_{t}=0\right] $] et $%
\left[ T>t\right] $ pour $t>0$. En d\'{e}duire la probabilit\'{e} des \'{e}v%
\'{e}nements $\left[ T>t\right] $ et $\left[ T\leq t\right] $] pour $t>0$.

\item Expliciter la fonction de r\'{e}partition $F_{T}$ de $T$. Reconna\^{\i}%
tre la loi de $T$ et donner son esp\'{e}rance et sa variance.
\end{enumerate}

\item La dur\'{e}e, exprim\'{e}e en heures, du transport d'un client par la
soci\'{e}t\'{e} est une variable al\'{e}atoire $U$ \`{a} densit\'{e} dont
une densit\'{e} est donn\'{e}e par :%
\begin{equation*}
\left \{ 
\begin{array}{cc}
g\left( t\right) =t~e^{-t} & \text{ si }t\geq 0 \\ 
g\left( t\right) =0 & \text{si }t<0%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item V\'{e}rifier que $g$ est bien une densit\'{e} de probabilit\'{e}.

\item Montrer que $U$ admet une esp\'{e}rance que l'on d\'{e}terminera. Que
repr\'{e}sente cette esp\'{e}rance ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Table}

\rule{17cm}{0.05cm}

La table ci-dessous comporte les valeurs de la fonction de r\'{e}partition
de la loi normale centr\'{e}e r\'{e}duite, \`{a} savoir les valeurs de :%
\begin{equation*}
\Phi \left( x\right) =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty }^{x}\exp \left( -%
\frac{t^{2}}{2}\right) dt
\end{equation*}

par exemple $\Phi \left( 0,67\right) =0,7486\medskip $

\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|}
\hline
$x$ & \textbf{0,00} & \textbf{0,01} & \textbf{0,02} & \textbf{0,03} & 
\textbf{0,04} & \textbf{0,05} & \textbf{0,06} & \textbf{0,07} & \textbf{0,08}
& \textbf{0,09} \\ \hline
\textbf{0,0} & 0,5000 & 0,5040 & 0,5080 & 0,5120 & 0,5160 & 0,5199 & 0,5239
& 0,5279 & 0,5319 & 0,5359 \\ \hline
\textbf{0,1} & 0,5398 & 0,5438 & 0,5478 & 0,5517 & 0,5557 & 0,5596 & 0,5636
& 0,5675 & 0,5714 & 0,5753 \\ \hline
\textbf{0,2} & 0,5793 & 0,5832 & 0,5871 & 0,5910 & 0,5948 & 0,5987 & 0,6026
& 0,6064 & 0,6103 & 0,6141 \\ \hline
\textbf{0,3} & 0,6179 & 0,6217 & 0,6255 & 0,6293 & 0,6331 & 0,6368 & 0,6406
& 0,6443 & 0,6480 & 0,6517 \\ \hline
\textbf{0,4} & 0,6554 & 0,6591 & 0,6628 & 0,6664 & 0,6700 & 0,6736 & 0,6772
& 0,6808 & 0,6844 & 0,6879 \\ \hline
\textbf{0,5} & 0,6915 & 0,6950 & 0,6985 & 0,7019 & 0,7054 & 0,7088 & 0,7123
& 0,7157 & 0,7190 & 0,7224 \\ \hline
\textbf{0,6} & 0,7257 & 0,7291 & 0,7324 & 0,7357 & 0,7389 & 0,7422 & 0,7454
& 0,7486 & 0,7517 & 0,7549 \\ \hline
\textbf{0,7} & 0,758 & 0,7611 & 0,7642 & 0,7673 & 0,7704 & 0,7734 & 0,7764 & 
0,7794 & 0,7823 & 0,7852 \\ \hline
\textbf{0,8} & 0,7881 & 0,7910 & 0,7939 & 0,7967 & 0,7995 & 0,8023 & 0,8051
& 0,8078 & 0,8106 & 0,8133 \\ \hline
\textbf{0,9} & 0,8159 & 0,8186 & 0,8212 & 0,8238 & 0,8264 & 0,8289 & 0,8315
& 0,8340 & 0,8365 & 0,8389 \\ \hline
\textbf{1,0} & 0,8413 & 0,8438 & 0,8461 & 0,8485 & 0,8508 & 0,8531 & 0,8554
& 0,8577 & 0,8599 & 0,8621 \\ \hline
\textbf{1,1} & 0,8643 & 0,8665 & 0,8686 & 0,8708 & 0,8729 & 0,8749 & 0,8770
& 0,8790 & 0,8810 & 0,8830 \\ \hline
\textbf{1,2} & 0,8849 & 0,8869 & 0,8888 & 0,8907 & 0,8925 & 0,8944 & 0,8962
& 0,8980 & 0,8997 & 0,9015 \\ \hline
\textbf{1,3} & 0,9032 & 0,9049 & 0,9066 & 0,9082 & 0,9099 & 0,9115 & 0,9131
& 0,9147 & 0,9162 & 0,9177 \\ \hline
\textbf{1,4} & 0,9192 & 0,9207 & 0,9222 & 0,9236 & 0,9251 & 0,9265 & 0,9279
& 0,9292 & 0,9306 & 0,9319 \\ \hline
\textbf{1,5} & 0,9332 & 0,9345 & 0,9357 & 0,9370 & 0,9382 & 0,9394 & 0,9406
& 0,9418 & 0,9429 & 0,9441 \\ \hline
\textbf{1,6} & 0,9452 & 0,9463 & 0,9474 & 0,9484 & 0,9495 & 0,9505 & 0,9515
& 0,9525 & 0,9535 & 0,9545 \\ \hline
\textbf{1,7} & 0,9554 & 0,9564 & 0,9573 & 0,9582 & 0,9591 & 0,9599 & 0,9608
& 0,9616 & 0,9625 & 0,9633 \\ \hline
\textbf{1,8} & 0,9641 & 0,9649 & 0,9656 & 0,9664 & 0,9671 & 0,9678 & 0,9686
& 0,9693 & 0,9699 & 0,9706 \\ \hline
\textbf{1,9} & 0,9713 & 0,9719 & 0,9726 & 0,9732 & 0,9738 & 0,9744 & 0,975 & 
0,9756 & 0,9761 & 0,9767 \\ \hline
\textbf{2,0} & 0,9772 & 0,9778 & 0,9783 & 0,9788 & 0,9793 & 0,9798 & 0,9803
& 0,9808 & 0,9812 & 0,9817 \\ \hline
\end{tabular}

\section*{Exercice 1C - ECRICOME 2011}


Un syst\`eme est constitu\'e de $n$ composants. On suppose que les variables
al\'eatoires $T_1, T_2,\ldots ,T_n$ mesurant le temps de bon fonctionnement
de chacun des $n$ composants sont ind\'ependantes, de m\^eme loi, la loi
exponentielle de param\`etre $\lambda>0$.

\begin{itemize}
\item[\textbf{1.}] \textbf{Calcul du nombre moyen de composants d\'{e}%
faillants entre les instants $0$ et $t$.}

On note $N_{t}$ la variable al\'{e}atoire \'{e}gale au nombre de composants d%
\'{e}faillants entre les instants $0$ et $t$ avec $t\geqslant 0$.

\begin{enumerate}
\item Pour tous les entiers $i$ de $\{1,2,\ldots ,n\}$, calculer la
probabilit\'{e} de l'\'{e}v\'{e}nement $\{T_{i}<t\}$.

\item Montrer que $N_{t}$ suit une loi binomiale. Pr\'{e}ciser ses param\`{e}%
tres et son esp\'{e}rance $E(N_{t})$.

\item \`{A} partir de quel instant $t_{0}$ le nombre moyen de composants d%
\'{e}faillants d\'{e}passe-t-il la moiti\'{e} du nombre de composants~?
\end{enumerate}

\item[\textbf{2.}] \textbf{Montage en s\'{e}rie.}

On suppose que le syst\`{e}me fonctionne correctement si tous les composants
eux-m\^{e}mes fonctionnent correctement et note $S_{n}$ la variable al\'{e}%
atoire mesurant le temps de bon fonctionnement du syst\`{e}me.

\begin{enumerate}
\item Pour $t\in \mathbb{R}$, exprimer l'\'{e}v\'{e}nement $\{S_{n}>t\}$ en
fonction des \'{e}v\'{e}nements~: 
\[
\{T_{1}>t\},\;\{T_{2}>t\},\;\ldots \;\{T_{n}>t\}. 
\]

\item D\'{e}terminer alors la fonction de r\'{e}partition $F_{n}$, de $S_{n} 
$, puis d\'{e}finir sa densit\'{e} $f_{n}$.

\item Reconna\^{\i}tre la loi de $S_{n}$ et donner sans calcul l'esp\'{e}%
rance $E(S_{n})$ et la variance $V(S_{n})$ de $S_{n}$.
\end{enumerate}

\item[\textbf{3.}] \textbf{Montage en parall\`{e}le.}

On suppose maintenant que le syst\`{e}me fonctionne correctement si l'un au
moins des composants fonctionne correctement et note $U_{n}$ la variable al%
\'{e}atoire mesurant le temps de bon fonctionnement du syst\`{e}me.

\begin{enumerate}
\item Exprimer $\{U_{n}<t\}$ en fonction des \'{e}v\'{e}nements $%
\{T_{1}<t\},\;\{T_{2}<t\},\;\ldots \;\{T_{n}<t\}$.

\item D\'{e}terminer alors la fonction de r\'{e}partition $G_{n}$ de $U_{n}$
puis montrer que sa densit\'{e} $g_{n}$ est d\'{e}finie par~: 
\[
\begin{cases}
g_n(t)=n\lambda \left(1-e^{-\lambda t}\right)^{n-1}e^{-\lambda t}, & t\geqslant 0\\ 
g_n(t)=0, & t<0
\end{cases}
\]

\item Montrer l'existence de l'esp\'{e}rance $E(U_{n})$ de $U_{n}$ et
prouver que~: 
\[
E(U_{n})=\frac{1}{\lambda }\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(-1)^{k}}{k+1}C_{n}^{k+1} 
\]

puis, que pour tous entiers naturels $n$, 
\[
E(U_{n+1})-E(U_{n})=\frac{1}{\lambda (n+1)} 
\]

\item (Bonus) Par sommation de la relation pr\'{e}c\'{e}dente, et en utilisant l'%
\'{e}quivalent simple~: 
\[
\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\underset{n\rightarrow +\infty }{\sim }\ln n 
\]
donner un \'{e}quivalent simple de $E(U_{n})$ lorsque $n$ tend vers $+\infty 
$.
\end{enumerate}
\end{itemize}

\section*{Exercice 2C - ESSEC 2004}


On consid\`{e}re une urne compos\'{e}e de boules blanches et de boules
rouges, mais dont la composition exacte est inconnue. Supposons qu'apr\`{e}s
avoir effectu\'{e} $n $ tirages au hasard avec remise dans cette urne, soit
obtenu un total de $r $ boules rouges. Il semble alors raisonnable de penser
que la proportion initiale de boules rouges est proche de $\dfrac{r}{n}$.%
\newline
Le probl\`{e}me qui suit propose une \'{e}tude de cette situation.

\subsection*{I. Etude d'une loi de probabilit\'{e} conditionnelle}

Dans cette partie, $N$, $n$ et $r$ d\'{e}signent des entiers tels que : $%
N\geqslant 2$, $n\geqslant 1$, $0\leqslant r\leqslant n$.\newline
On consid\`{e}re $N+1$ urnes not\'{e}es $U_{0},U_{1},...,U_{N}$ telles que,
pour tout entier $k$ compris au sens large entre $0$ et $N$, l'urne $U_{k}$
soit compos\'{e}e de $k$ boule(s) rouge(s) et de $N-k$ boule(s) blanche(s).
On choisit une urne au hasard dans laquelle on effectue alors $n$ tirages
successifs avec remise de la boule dans cette m\^{e}me urne. On note $U$ la
variable al\'{e}atoire \'{e}gale au num\'{e}ro de l'urne choisie et R la
variable al\'{e}atoire \'{e}gale au nombre de boules rouges obtenues au
cours des n tirages.

\begin{enumerate}
\item \thinspace

\begin{enumerate}
\item Soit $k$ un entier compris au sens large entre $0$ et $N$.\newline
Quelle est la loi de $R$ conditionn\'{e}e par l'\'{e}v\'{e}nement $(U=k)$ ?

\item \`{A} l'aide de la formule des probabilit\'{e}s totales, en d\'{e}%
duire l'\'{e}galit\'{e} :%
\begin{equation*}
P(R=r)=\dfrac{\binom{n}{r}}{N+1}\sum\limits_{k=0}^{N}\left( \dfrac{k}{N}%
\right) ^{r}\left( 1-\dfrac{k}{N}\right) ^{n-r}.
\end{equation*}
\end{enumerate}

\item Soit $i$ un entier compris au sens large entre $0$ et $N$.\newline
D\'{e}montrer :%
\begin{equation*}
P_{R=r}(U=i)=\dfrac{\left( \dfrac{i}{N}\right) ^{r}\left( 1-\dfrac{i}{N}%
\right) ^{n-r}}{\sum\limits_{k=0}^{N}\left( \dfrac{k}{N}\right) ^{r}\left( 1-%
\dfrac{k}{N}\right) ^{n-r}}.
\end{equation*}

\item Soient $p$ un r\'{e}el de $[0\,;\,1]$ tel que $pN$ soit un entier
naturel et $Y_{N}$ la variable al\'{e}atoire \'{e}gale \`{a} la proportion
de boules rouges dans l'urne choisie initialement parmi les $N+1$ urnes.

\begin{enumerate}
\item \'{E}crire l'\'{e}v\'{e}nement $(Y_{N}\leqslant p)$ \`{a} l'aide de la
variable al\'{e}atoire $U$.\newline
D\'{e}terminer alors l'expression de $P(Y_{N}\leqslant p/R=r)$ en fonction
de $N$, $n$, $r$ et $p$.

\item En d\'{e}duire, \`{a} l'aide du th\'{e}or\`{e}me sur les sommes de
Riemann :%
\begin{equation*}
\lim\limits_{\substack{ N\rightarrow +\infty  \\ pN\text{ entier}\,\text{%
naturel}}}P_{R=r}(Y_{n}\leqslant p)=\dfrac{\int%
\limits_{0}^{p}t^{r}(1-t)^{n-r}dt}{\int\limits_{0}^{1}\,t^{r}(1-t)^{n-r}dt}
\end{equation*}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{II. Loi de probabilit\'{e} b\^{e}ta}

Dans toute cette partie, $a$ et $b$ d\'{e}signent des r\'{e}els sup\'{e}%
rieurs ou \'{e}gaux \`{a} 1.

\begin{enumerate}
\item Justifier l'existence de l'int\'{e}grale $\int\limits_{0}^{1}%
\,x^{a-1}(1-x)^{b-1}\,dx$. On notera dor\'{e}navant $B(a,b)$cette int\'{e}%
grale.

\item \thinspace

\begin{enumerate}
\item \thinspace

\begin{itemize}
\item D\'{e}montrer l'\'{e}galit\'{e} :$B(a+1,b)+B(a,b+1)=B(a,b).$

\item A l'aide d'une int\'{e}gration par parties, prouver : $B(a,b+1)=\dfrac{%
b}{a}B(a+1,b).$

\item Des deux relations pr\'{e}c\'{e}dentes, d\'{e}duire la formule : $%
B(a+1,b)=\dfrac{a}{a+b}B(a,b)$.
\end{itemize}

\item Calculer $B\left( 1,\,b\right) $, puis exprimer explicitement $B(a,b)$
en fonction de $a$ et $b$ dans le cas o\`{u} $a$ et $b$ sont entiers.

\item \'{E}crire un programme en langage Pascal permettant de calculer et
d'afficher la valeur de $B(a,b)$, les entiers naturels non nuls $a$ et $b$ 
\'{e}tant saisis au clavier par l'utilisateur.
\end{enumerate}

\item On revient au cas g\'{e}n\'{e}ral o\`{u} $a$ et $b$ sont des r\'{e}els
sup\'{e}rieurs ou \'{e}gaux \`{a} 1, non n\'{e}cessairement entiers.\newline
$C$ d\'{e}signant un nombre r\'{e}el, on consid\`{e}re la fonction $f$ d\'{e}%
finie sur $\mathbb{R}$ par :%
\begin{equation*}
\left\{ 
\begin{array}{ll}
\,f(x)=Cx^{a-1}(1-x)^{b-1} & \text{si }0<x<1 \\ 
\,f(x)=0 & \text{si }x\leqslant 0\text{ ou }x\geqslant 1.%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item D\'{e}montrer que, pour une certaine valeur de la constante $C$ \`{a} d%
\'{e}terminer, la fonction $f$ est une densit\'{e} de probabilit\'{e}

(c'est \`{a} dire $\int_{-\infty }^{+\infty }f=1$). On supposera dor\'{e}%
navant $C$ ainsi fix\'{e}e.\newline
On dit alors qu'une variable al\'{e}atoire de densit\'{e} $f$ suit la loi de
probabilit\'{e} b\^{e}ta de param\`{e}tres $a$ et $b$.

\item \thinspace

\begin{itemize}
\item D\'{e}terminer $f^{\prime }(x)$ pour tout r\'{e}el $x$ de $]0,\,1[$.%
\newline
Justifier que, si $a$ et $b$ sont distincts de 1, alors, sur $]0,\,1[$, $%
f^{\prime }$ s'annule en un r\'{e}el et un seul.

\item \'{E}tudier la continuit\'{e} et la d\'{e}rivabilit\'{e} de $f$ en $0$
en discutant selon la valeur de $a$.

\item Tracer l'allure de la courbe repr\'{e}sentative de $f$ dans chacun des
deux cas 
\begin{equation*}
\left\{ 
\begin{array}{l}
\,1<a<2 \\ 
\,b>2%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%
et%
\begin{equation*}
\left\{ 
\begin{array}{l}
\,a>2 \\ 
\,b=2.%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}
\end{itemize}

\item Soit $X$ une variable al\'{e}atoire d\'{e}finie sur un espace
probabilis\'{e} et admettant pour densit\'{e} $f$.

\begin{itemize}
\item D\'{e}terminer l'esp\'{e}rance de la variable al\'{e}atoire $X$.

\item D\'{e}montrer que $X$ admet une variance \'{e}gale \`{a} $\dfrac{ab}{%
(a+b)^{2}(a+b+1)}$.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3C - HEC 2004}


\begin{enumerate}
\item \textbf{\'{E}tude d'une suite et programmation}\newline
On note $(c_{n})_{\,n\in \mathbb{N}^{\times }}$ la suite r\'{e}elle d\'{e}%
finie pour tout entier $n$ strictement positif par : 
\begin{equation*}
c_{n}=\int\limits_{0}^{1}\frac{x^{n-1}}{1+x}dx 
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item Montrer que $(c_{n})_{\,n\in \mathbb{N}^{\times }}$ est une suite d%
\'{e}croissante de r\'{e}els positifs.

\item Montrer que, pour tout entier $n$ strictement positif, l'on a :\quad $%
c_{n+1}+c_{n}=\dfrac{1}{n}$

\item \'{E}tablir, pour tout entier $n$ sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} $2$,
la double in\'{e}galit\'{e} : 
\begin{equation*}
\dfrac{1}{n}\leqslant 2c_{n}\leqslant \dfrac{1}{n-1} 
\end{equation*}
En d\'{e}duire un \'{e}quivalent simple de $c_{n}$ quand $n$ tend vers
l'infini.

\item Calculer $c_{1}$ et prouver, pour tout entier $n$ sup\'{e}rieur ou 
\'{e}gal \`{a} $2$, l'\'{e}galit\'{e} : 
\begin{equation*}
c_{n}=(-1)^{n}\left( \sum\limits_{k=1}^{n-1}\dfrac{(-1)^{k+1}}{k}-\ln
2\right) 
\end{equation*}

\item \'{E}crire un programme en Turbo-Pascal qui, pour une valeur d'un
entier $n$ strictement positif entr\'{e}e par l'utilisateur, calcule et
affiche la valeur de $c_{n}$.
\end{enumerate}

\item \textbf{\'{E}tude d'une suite de variables al\'{e}atoires \`{a} densit%
\'{e}}\newline
Pour tout entier $n$ strictement positif, on note $f_{n}$ l'application de $%
\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ d\'{e}finie par : 
\begin{equation*}
f_{n}(t)=\left\{ 
\begin{matrix}
0 & \text{si} & t<1 \\ 
\dfrac{1}{c_{n}\,t^{n}(1+t)} & \text{si} & t\geqslant 1%
\end{matrix}%
\right. 
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item \`{A} l'aide d'un changement de variable, \'{e}tablir pour tout entier 
$n$ strictement positif et pour tout r\'{e}el $x$ sup\'{e}rieur ou \'{e}gal 
\`{a} $1$, l'\'{e}galit\'{e} : 
\begin{equation*}
\int\limits_{1}^{x}\dfrac{1}{t^{n}(1+t)}\,dt=\int\limits_{1/x}^{1}\dfrac{%
u^{n-1}}{1+u}\,du 
\end{equation*}

\item En d\'{e}duire que, pour tout entier $n$ strictement positif, $f_{n}$
est une densit\'{e} de probabilit\'{e}. Dans la suite de l'exercice, on
suppose que $(X_{n})_{\,n\in \mathbb{N}^{\times }}$ est une suite de
variables al\'{e}atoires d\'{e}finies sur le m\^{e}me espace probabilis\'{e} 
$\left( \Omega ,\mathcal{A},\mathbf{P}\right) $, telle que, pour tout entier 
$n$ strictement positif, $X_{n}$ prend ses valeurs dans $[1,+\infty [$ et
admet $f_{n}$ comme densit\'{e}. On note $F_{n}$ la fonction de r\'{e}%
partition de $X_{n}$.

\item Pour quelles valeurs de $n$ la variable al\'{e}atoire $X_{n}$
admet-elle une esp\'{e}rance? Dans le cas o\`{u} l'esp\'{e}rance de $X_{n}$
existe, calculer cette esp\'{e}rance en fonction de $c_{n}$ et de $c_{n-1}$.

\item Dans cette question, exclusivement, on suppose que $n$ est \'{e}gal 
\`{a} $1$. Pr\'{e}ciser la fonction $F_{1}$.\newline
En d\'{e}duire l'ensemble des r\'{e}els $y$ v\'{e}rifiant $\mathbf{P}%
([X_{1}\leqslant y])\geqslant \dfrac{1}{2}$ D\'{e}terminer une densit\'{e}
de la variable al\'{e}atoire $Z=\ln (X_{1})$.

\item Soit $x$ un r\'{e}el strictrement sup\'{e}rieur \`{a} $1$.\newline
Justifier l'encadrement : 
\begin{equation*}
0\leqslant \int\limits_{1/x}^{1}\dfrac{u^{n}}{(1+u)^{2}}du\leqslant \dfrac{1%
}{n+1} 
\end{equation*}
En d\'{e}duire la limite suivante : 
\begin{equation*}
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\left( \int\limits_{1/x}^{1}\dfrac{u^{n}}{%
(1+u)^{2}}du\right) . 
\end{equation*}

Transformer, pour tout entier naturel $n$ non nul, $F_{n}(x)$ \`{a} l'aide
d'une int\'{e}gration par parties et en d\'{e}duire l'\'{e}galit\'{e}
suivante : 
\begin{equation*}
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }F_{n}(x)=1. 
\end{equation*}

\item Que vaut $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }F_{n}(x)$ si $x$ est un r%
\'{e}el inf\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} $1$ ? \newline
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}