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\rhead{2017-2018}
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\rfoot{M Leboucher}
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% Question multiple
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	\begin{multicols}{#1}
	\begin{enumerate}
	}{
	\end{enumerate}
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\newcommand{\Rr}{\mathbb{R}}
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\newcommand{\U}{$\mathcal{U}$}
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% Divers
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\newcommand{\mtext}[1]{\quad\text{#1}\quad}%
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\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert}%
\newcommand{\itb}{\item[\textbullet]}

\newcommand{\guill}[1]{%
"{}#1{}}%

\newcommand{\dx}{\,\textrm{d}x}

\newcommand{\entier}[1]{\llbracket #1 \rrbracket}


\begin{document}

\noindent {\bfseries Durée:} 4 heures \hfill Lundi 12 Mars 2018 \\
\textbf{Aucune sortie (même temporaire) autorisée pendant la première heures et le dernier quart d'heure}\\

\begin{center}
{\LARGE \textbf{DS n°5}}
\end{center}

\begin{center}
Aucun matériel ni documents autorisés. N'oubliez pas vos objectifs personnels. Relisez vos réponses et encadrez vos résultats. {Le sujet comporte 6 pages !}\\
\end{center}
\hrule

%\begin{center}
%\begin{tabular}{|c|c|}
%\hline
%\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} Rappels des compétences  & Rigueur/Auto-correction et rédaction \\
%\hline
%\rule[-2.25ex]{0pt}{6ex} Ne pas écrire "d'horreur"& Essayez un maximum de question \\
%\hline
%\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} Pas d'erreur de calculs & Français / rédaction / présentation\\
%\hline
%\end{tabular}
%\end{center}
\paragraph{}
La présentation de la copie compte pour environ un point sur 20. \'Ecrivez dans un Français clair et précis. Encadrez les résultats. 


\paragraph{}
Rappel des règles: Ce sujet est double. Vous devez à chaque fois choisir entre 2 exercices, c'est à dire que vous {\bf ne devez pas} faire deux exercices portant le même numéro (le second exercice ne sera pas corrigé). Enfin, chaque exercice possède un niveau de difficulté (*, **, ***). Les exercices plus difficiles seront notés sur plus de points. Selon vos résultats lors du précédent SIGMA, vous devez choisir des exercices pour un nombre {\bf minimum} d'étoiles. Voici un récapitulatif des exercices :

\begin{itemize}
\item Exercice 1 - Calculs obligatoires pour tout le monde \\
\item Exercice 2A - Probabilité - (*) ou Exercice 2B - Probabilité - (**) \\
\item Exercice 3A - Fonctions et suites - (*) ou Exercice 3B - Fonctions et suite - (**) \\
\item Exercice 4A - Probabilités - (**) ou Exercice 4B - Probabilités - (***)
\end{itemize}

Rappel du nombre d'étoiles minimum à choisir par élève :

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} 7 * minimum  & Corentin et Bela \\
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} 6 * minimum  & Ugo, Martin, Adrien, Mathilde G., Arnaud, Lola \\
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} 5 * minimum  & Justine, Illona, Zacharie, Mathilde C., Flora,  \\
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} 4* minimum  &  Les autres\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\newpage

\section*{Exercice 1 - Calculs - Exercice Obligatoire}

\begin{enumerate}
\item On considère une variable aléatoire $X$ dont la loi de probabilité est donnée par 
\[
X(\Omega) = \N^*,  \quad \forall k \in \N, \; P(X=k) = a \dfrac{ 2^k}{3^{2k+1}}
\]
\begin{enumerate}
\item Déterminer $a$ pour que la loi de $X$ soit bien une loi de probabilité. 
\item Montrer que $X$ admet une espérance et calculer la.
\item Montrer que $X$ admet une variance et calculer la. 
\end{enumerate}
\item Montrer que la matrice $C={\begin{pmatrix} 
1 & {-1} & {2}\\
{1} & 2 & -1\\
0 & -3 & 3
\end{pmatrix}}$ n'est pas inversible.
\item On considère le système $(E_{\lambda }):\left\{ 
\begin{array}{l}
{(1-\lambda)x + 2y = 0 } \\ 
{2x - (1- \lambda) y = 0} \\ 
\end{array}%
\right. $ où $\lambda \in \mathbb{R}.$

\begin{enumerate}
\item Pour quelles valeurs de $\lambda $, le système $(E_{\lambda })$ est-il de
Cramer ?

\item Résoudre le système selon les valeurs de $\lambda $.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2A - Probabilités (ECRICOME ECT 2017) - (*)}

\begin{center}
\textbf{Partie I : tirages dans une urne}
\end{center}

Une urne \U \, contient 1 boule noire et 3 boules blanches indiscernables
au toucher.
\begin{enumerate}
\item On procède à 400 tirages successifs avec remise d'une boule dans \U.
On appelle $X$ la variable aléatoire égale au nombre de fois où la boule
noire a été piochée.
	\begin{enumerate}
	\item Quelle est la loi de $X$ ?\\
	On précisera $X(\Omega)$ et $P(X=k)$ pour tout $k\in X(\Omega)$.
	\item Donner la valeur de l'espérance de $X$ notée $E(X)$ et vérifier que
	la variance de $X$, notée $V(X)$ est égale à 75.
	\end{enumerate}
\item On procède cette fois-ci dans \U \, à une suite de tirages avec remise d'une
boule jusqu'à obtenir la boule noire. On appelle $Y$ la variable aléatoire égale
au nombre de tirages effectués.
	\begin{enumerate}
	\item Quelle est la loi de $Y$ ?\\
	On précisera $Y(\Omega)$ et $P(Y=k)$ pour tout $k\in Y(\Omega)$.
	\item Donner la valeur de $E(Y)$ et vérifier que $V(Y)=12$.
	\end{enumerate}
\item Cette fois-ci, on pioche dans l'urne \U\, successivement et sans
remise les quatre boules. On note $Z$ le numéro du tirage auquel est
apparue la boule noire.
	\begin{enumerate}
	\item Quelle est la loi de $Z$ ?\\
		On précisera $Z(\Omega)$ et $P(Z=k)$ pour tout $k\in Z(\Omega)$.
	\item Donner les valeurs de $E(Z)$ et de $V(Z)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\begin{center}
%\textbf{Partie II : tirages dans une urne choisie au hasard}
%\end{center}
%
%L'urne \U contient toujours 1 boule noire et 3 boules blanches indiscernables
%au toucher. L'urne \V contient 2 boules noires et 2 boules blanches
%indiscernables au toucher.\\
%On lance une pièce équilibrée. Si elle retombe sur le côté Pile, on tire deux
%boules successivement et avec remise dans \U, et si on obtient Face, on tire
%deux boules successivement et avec remise dans \V.\\
%On note $T$ la variable aléatoire égale au nombre de fois où l'on a pioché
%une boule noire.
%\begin{enumerate}
%\item Que vaut $T(\Omega)$ ?
%\item Donner la loi de $T$. On vérifiera que $P(T=1)=\frac{7}{16}$.
%\item Calculer $E(T)$. La variable aléatoire $T$ suit-elle une loi binomiale ?
%\item Sachant que l'évènement $[T=1]$ est réalisé, est-il plus probable
%d'avoir obtenu Pile ou d'avoir obtenu Face avec la pièce ?
%\item On rappelle qu'en langage Scilab l'instruction \texttt{grand(1,1,"uin",n1,n2)}
%renvoie un entier au hasard et uniformément compris entre \texttt{n1} et
%\texttt{n2}. Compléter, sur votre copie, le programme Scilab suivant afin qu'il
%affiche une simulation de la variable aléatoire $T$.\\
%
%%\begin{center}
%\hrulefill\\
%\begin{verbatim}
%T = .........
%if grand(1,1,"uin",1,2) == 1 then
%       for k = 1 : 2
%               if grand(1,1,"uin",1,4)<2 then
%                       T = T+1
%               end
%       end
%else
%        ............
%        ............
%        ............
%        ............
%        ............
%end
%disp(T,"Une simulation de T donne :")
%\end{verbatim}
%%\end{center}
%\hrulefill
%\end{enumerate}

\section*{Exercice 3A - Fonctions et suites (ECRICOME ECT 2014) - (*)}
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\intoo{0}{+\infty}$ par:
\[\forall x\in\intoo{0}{+\infty},\quad f(x)=2-\frac{1}{2}\ln(x) \et g(x)=f(x)-x.\]
On considère aussi la suite $(u_n)_{n\in\N}$ définie par:
\[u_0=1 \et \forall n\in\N,\quad u_{n+1}=f(u_n).\]
\begin{enumerate}
\item Calculer les limites suivantes: $\lim\limits_{x\to 0^+}g(x)$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)$.
\item Calculer $g'(x)$ pour tout $x\in\intoo{0}{+\infty}$ puis dresser le tableau des variations de $g$ sur $\intoo{0}{+\infty}$.
\item Prouver que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur $\intoo{0}{+\infty}$.\\
On la note $\alpha$.
\item Justifier que:
\[\alpha\in\intff{1}{\e} \et f(\alpha)=\alpha.\]
\item Montrer que $f$ est dérivable sur $]0, +\infty[$ et calculer $f'(x)$ pour tout $x\in\intoo{0}{+\infty}$. Préciser la monotonie de la fonction $f$.
\item Démontrer par récurrence que:
\[\forall n\in\N,\quad 1\leq u_n\leq \e.\]
\item Vérifier que:
\[\forall x\in\intff{1}{\e},\quad\abs{f'(x)}\leq\frac{1}{2}.\]
En déduire que:
\[\forall n\in\N,\quad\abs{u_{n+1}-\alpha}\leq\frac{1}{2}\abs{u_n-\alpha}.\]
\item Démontrer par récurrence que:
\[\forall n\in\N,\quad\abs{u_n-\alpha}\leq\frac{\e-1}{2^n}.\]
\item Prouver que la suite $(u_n)_{n\in\N}$ converge et préciser sa limite.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 4A - Probabilités (ECRICOME ECT 2012) - (*)}


On considère deux urnes notées respectivement $U$ et $V$. On suppose que :\\
-- l'urne $U$ contient deux boules noires et deux boules blanches;\\
-- l'urne $V$ contient deux boules noires, deux boules blanches et deux boules vertes.
\begin{enumerate}
 \item On considère l'expérience suivante $(\mathcal{E})$ :  on tire au hasard et simultanément deux boules dans l'urne $U$, on note leur couleur, puis on les remet dans l'urne $U$.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que la probabilité d'obtenir deux boules de la même couleur est $p = \dfrac{1}{3}$.
\end{enumerate}
 Soit $n\in\N$ tel que $n\ge 2$. On répète $n$ fois l'expérience $(\mathcal{E})$ et on note $N$ la variable aléatoire égale au nombre de fois où on a obtenu deux boules de même couleur lors de ces $n$ tirages dans l'urne $U$.
 \begin{enumerate}
   \item[(b)] Donner la loi de $N$ en explicitant $\P(N=k)$ pour $k$ appartenant aux valeurs prises par $N$.
  \item[(c)] Préciser la valeur de l'espérance $E(N)$ de $N$ ainsi que de sa variance $V(N)$.
  \item[(d)] Quelle est la probabilité que, sur ces $n$ tirages, on ait obtenu au moins une fois deux boules de même couleur ?
 \end{enumerate}
 \item On considère une autre expérience $(\mathcal{F})$ :  on tire au hasard et simultanément deux boules dans l'urne $U$. Si les deux boules sont de même couleur, on enlève ces deux boules de l'urne $U$. Si elles ont des couleurs différentes, on repose les deux boules dans l'urne $U$ puis on recommence l'expérience jusqu'à ce que l'urne $U$ soit vide. On note $X$ le nombre de tirages nécessaires pour que l'urne $U$ soit vide. \\
   On désigne par $A$ l'événement : " au premier tirage dans l'urne $U$, les deux boules sont de même couleur" \ et on note $a$ sa probabilité, c'est-à-dire $a=\P(A)$.
 \begin{enumerate}
  \item Calculer $\P(X=1), \P(X=2)$ et $\P(X=3)$.
  \item Montrer que, pour tout entier $n\ge 2$ : $\P(X=n)=a(1-a)^{n-2}$.
  \item Établir que la variable $Z=X-1$ suit une loi géométrique dont on précisera le paramètre.
  \item Donner l'espérance et la variance de $Z$ puis l'espérance et la variance de $X$.
 \end{enumerate}
 \item On considère deux réels $r,s$ distincts et non nuls ainsi qu'un réel $\lambda$. On considère la suite $(u_{n})_{n\ge 2}$ définie par :
  \begin{center}
   $u_{2}=0,\quad\forall n\ge 2,\quad u_{n+1}=\lambda r^{n-2}+su_{n}$.
  \end{center}
  Montrer par récurrence que :
  \begin{center}
   $\forall n\ge 2,\quad u_{n}=\dfrac{\lambda}{r-s}\left(r^{n-2}-s^{n-2}\right)$
  \end{center}
 \item On considère une nouvelle expériene $(\mathcal{G})$ :  on tire au hasard et simultanément deux boules dans l'urne $V$. Si les deux boules sont de même couleur, on enlève ces deux boules de l'urne $V$. Si elles sont de couleurs différentes, on repose les deux boules dans l'urne $V$ puis on recommence l'expérience jusqu'à ce que l'urne $V$ soit vide.On note $Y$ le nombre de tirages nécessaires pour que l'urne $V$ soit vide. \\
   On désigne par $B$ l'événement :  au premier tirage dans l'urne $V$, les deux boules sont de même couleur \ et on note $b$ sa probabilité, c'est-à-dire $b=\P(B)$.
 \begin{enumerate}
  \item Calculer la probabilité $b$.
  \item Calculer $\P(Y=2)$ et $\P(Y=3)$.
  \item À l'aide du système complet d'événements $(B,\overline{B})$, démontrer que, pour tout $n\ge 2$ :
   \begin{center}
    $\P(Y=n+1)=b\P(X=n)+(1-b)\P(Y=n)$
   \end{center}
  \item À l'aide de la question 3, montrer que :
   \begin{center}
    $\forall n\ge 2,\quad\P(Y=n)=\dfrac{ab}{b-a}\left((1-a)^{n-2}-(1-b)^{n-2}\right)$
   \end{center}
  \item Calculer la valeur de $\sum\limits_{n=2}^{+\infty}\P(Y=n)$.
  \item Montrer que $Y$ admet une espérance puis calculer $E(Y)$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2B - Probabilités (INSEECom 2002) - (*)}

Une roue de loterie se compose de secteurs identiques, num\'{e}rot\'{e}s de 1 \`{a} 12. Une personne fait tourner la roue devant un rep\`{e}re fixe. On suppose que
chaque secteur a lam\^{e}me probabilit\'{e} de s'arr\`{e}ter devant ce
rep\`{e}re.

A chaque partie un joueur mise une certaine somme d'argent en choississant
un, deux ou trois num\'{e}ros sur les 12; il est gagnant si le secteur qui
s'arr\`{e}te devant le rep\`{e}re porte l'un des num\'{e}ros qu'il a choisis.

Un joueur poss\`{e}dant un cr\'{e}dit illimit\'{e}, effectue une suite de
parties en adoptant la strat\'{e}gie suivante :

\begin{itemize}
\item  Il mise sur le chiffre 1 \`{a} la premi\`{e}re partie.

\item  S'il perd \`{a} la $n^{i\grave{e}me}$ partie, $n\ge 1$, il mise
uniquement sur les chiffres 1 et 2 \`{a} la partie suivante et s'il gagne
\`{a} la $n^{i\grave{e}me}$ partie, il mise sur les chiffres 1, 3 et 5.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item  On note $p_{n}$ la probabilit\'{e} de l'\'{e}v\'{e}nement $A_{n}$ :
'' le joueur gagne la $n^{i\grave{e}me}$ partie''.

\begin{enumerate}
\item  Calculer les probabilit\'{e} conditionnelles $P_{A_n} \left(
A_{n+1}\right) $ et $P_{\overline{A_{n}}}\left( A_{n+1}\right) ,$ en
d\'{e}duire que : 
\[
\forall n\in \Bbb{N}^{*}, \quad p_{n+1}=\frac{1}{12}p_{n}+\frac{1}{6}
\]

\item  En d\'{e}duire l'expression de $p_{n}$ en fonction de $n$ et
d\'{e}terminer $\displaystyle
\lim_{n\rightarrow +\infty }p_{n}$
\end{enumerate}

\item  Soit $k\in \entier{1;n} ,$ on note $B_{k}$
l'\'{e}v\'{e}nement : ''le joueur gagne une seule fois au cours des $n$
premi\`{e}res parties et ce gain a lieu \`{a} la $k^{i\grave{e}me}$ partie''

\begin{enumerate}
\item  A l'aide de la formule des probabilit\'{e}s compos\'{e}es, calculer $%
p\left( B_{n}\right) $

\item  Soit $k\in \left[ \left[ 1;n-1\right] \right] ,$ calculer $p\left(
B_{k}\right) $

\item  En d\'{e}duire la probabilt\'{e} $q_{n}$ pour que le joueur gagne une
seule fois au cours des $n$ premi\`{e}res parties.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3B - Fonctions et Suites (ECRICOME 2007) - (*)}


Soit $a$ un r\'{e}el strictement positif. On consid\`{e}re la fonction $f_{a}
$ d\'{e}finie pour tout r\'{e}el $t$ strictement positif par :

\begin{equation*}
f_a(t)=\dfrac 12(t+\dfrac{a^2}t)
\end{equation*}
ainsi que la suite $(u_n)_{n\epsilon \mathbb{N}}$ de nombre r\'{e}els d\'{e}%
termin\'{e}e par son premier terme $u_0>0$ et par la relation de r\'{e}%
currence : 
\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N\qquad }u_{n+1}=f_a(u_n)
\end{equation*}

\subsection*{Etude des variations de la fonction $f_a$ .}

\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer la limite de $f_a(t)$ lorsque $t$ tend vers $+\infty $.
Justifier l'existence d'une asymptote oblique au voisinage de $+\infty $ et
donner la position de la courbe repr\'{e}sentative de $f_a$ par rapport \`{a}
cette asymptote.

\item D\'{e}terminer la limite de $f_a(t)$ lorsque $t$ tend vers $0$ par
valeurs positives. Interpr\'{e}ter graphiquement cette limite.

\item Donner l'expression de la fonction d\'{e}riv\'{e}e de $f_a$ sur $%
\mathbb{R}^{*+}$ et dresser le tableau de variation de $f_a$.

\item En d\'{e}duire que : 
\begin{equation*}
\forall t>0\qquad f_{a}(t)\geq a
\end{equation*}
\end{enumerate}

\subsection*{Etude de la convergence de la suite $(u_n)_{n\protect \epsilon 
\mathbb{N}}$..}

\begin{enumerate}
\item Que dire de la suite $(u_n)_{n\epsilon \mathbb{N}}$ dans le cas
particulier o\`{u} $u_0=a$?

\item Dans la suite on revient au cas g\'{e}n\'{e}ral $u_0>0$.\newline
D\'{e}montrer que : 
\begin{equation*}
\forall t>a\qquad 0<f_a^{\prime }(t)<\frac 12
\end{equation*}

\item Montrer que pour tout entier $n$, non nul : 
\begin{equation*}
\left. u_{n}\geq a\right.
\end{equation*}

\item Prouver alors que pour tout entier $n$ non nul : 
\begin{equation*}
0\leq u_{n+1}-a\leq \dfrac{1}{2}\left( u_{n}-a\right)
\end{equation*}%
Puis que : 
\begin{equation*}
\left \vert u_{n}-a\right \vert \leq \left( \dfrac{1}{2}\right)
^{n-1}\left \vert u_{1}-a\right \vert
\end{equation*}

\item En d\'{e}duire la convergence de la suite $(u_n)$ et indiquer sa
limite.

\item En utilisant ce qui pr\'{e}c\`{e}de, \'{e}crire un programme en
langage Scilab permettant d'afficher les $100$ premiers termes d'une suite $%
(u_n)$, de premier terme $1$, convergeant vers $\sqrt{2}$.
\end{enumerate}


\section*{Exercice 4B - Probabilités - ECRICOME 2013 (***)}

\noindent Dans tout cet exercice, $N$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à $3$. On dispose de deux urnes opaques $U_1$ et $U_2$, d'apparence identique et contenant chacune $N$ boules indiscernables au toucher. \\
L'urne $U_1$ contient $(N-1)$ boules blanches et une boule noire. \\
L'urne $U_2$ contient $N$ boules blanches.

\subsection*{I - Une première expérience aléatoire}

\noindent On effectue des tirages \textbf{sans remise} dans l'urne $U_1$, jusqu'à l'obtention de la boule noire. \\
On note $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de tirages nécessaires pour l'obtention de la boule noire. \\ On notera pour tout entier naturel $i$ non nul~:
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $N_i$ l'événement " on tire une boule noire lors du $i$-ième tirage ".
\item[$\bullet$] $B_i$ l'événement " on tire une boule blanche lors du $i$-ième tirage ".
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item On simule $10000$ fois cette expérience aléatoire. \\
Recopier et compléter le programme SCILAB suivant pour qu'il affiche l'histogramme donnant la fréquence d'apparition du rang d'obtention de la boule noire~:

\begin{verbatim}
		N = input(' Donner un entier naturel non nul') ;
		S = zeros(1,N);
		for k = 1 : 10000
			i = 1 ;
			M = N ;
			while ________________
				i = i + 1 ;
				M = ________________ ;
			end
			S(i) = S(i) + 1 ;
		end
		disp(S / 10000)
		bar(S / 10000)
\end{verbatim}

\item On exécute le programme complété ci-dessus. On entre $5$ au clavier et on obtient l'histogramme suivant~:

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{sujetE12015_fig03.png}
\end{center}

Quelle conjecture pouvez-vous émettre sur la loi de la variable aléatoire $X$~?
\end{enumerate}

Pour les questions suivantes, on revient au cas général où $N \geqslant 3$.
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
\item En écrivant soigneusement les événements utilisés, calculer $P(X=1)$, $P(X=2)$ et $P(X=3)$.
\item Déterminer la loi de la variable aléatoire $X$.
\item Préciser le nombre moyen de tirages nécessaires à l'obtention de la boule noire.
\end{enumerate}


\subsection*{II - Une deuxième expérience aléatoire}

\noindent On choisit une des deux urnes au hasard (chaque urne a la même probabilité d'être choisie) et on tire dans l'urne choisie une par une les boules \textbf{sans remise} jusqu'à être en mesure de pouvoir connaître l'urne choisie. \\On note $Y$ la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de tirages ainsi effectués. \\
On note~:
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $C_1$ l'événement " on choisit l'urne $U_1$ ".
\item[$\bullet$] $C_2$ l'événement " on choisit l'urne $U_2$ ".
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout entier $j \in \llbracket 1, N \rrbracket$~:
\[ P_{C_1}(Y=j) = \frac{1}{N}. \]
\item Calculer $P_{C_2}(Y=j)$ pour tout entier $j \in \llbracket 1, N \rrbracket$. \\
    \emph{(On distinguera les cas $j=N$ et $1 \leqslant j \leqslant N-1$)}.
\item Montrer que~:
\[ P(Y=j) = \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle \frac{1}{2N} & \text{ si } j \in \llbracket 1, N-1 \rrbracket \medskip  \\ \displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{2N} & \text{ si } j = N \end{array} \right. \]
\item Calculer l'espérance de $Y$.
\end{enumerate}

\subsection*{III - Une troisième expérience aléatoire}

\noindent On effectue une succession infinie de tirages \textbf{avec remise} dans l'urne $U_1$. On admet qu'on obtient presque-sûrement au moins une boule blanche et au moins une boule noire lors de ces tirages. \\
On note $T$ la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de tirages nécessaires jusqu'à l'obtention d'au moins une boule noire et d'au moins une boule blanche. \\
On note $U$ la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de boules blanches tirées jusqu'à l'obtention d'au moins une boule noire et d'au moins une boule blanche. \\
Par exemple, si les tirages ont donné successivement~: noire, noire, noire, blanche, blanche, noire,\ldots, alors $T=4$ et $U=1$.
\begin{enumerate}
\item Préciser les valeurs prises par $T$.
\item Montrer soigneusement que pour tout entier $k \geqslant 2$,
\[ P(T=k) = \frac{1}{N} \left( \frac{N-1}{N} \right)^{k-1} + \frac{N-1}{N} \left( \frac{1}{N} \right)^{k-1}.\]
\item Montrer que la variable aléatoire $T$ admet une espérance que l'on calculera.
\item \begin{enumerate}
\item Calculer $P([U=1] \cap [T=2])$.
\item Calculer $P([U=1] \cap [T=k])$ pour tout entier $k \geqslant 3$.
\end{enumerate}
\item Soit $j$ un entier tel que $j \geqslant 2$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $P([U=j] \cap [T=j+1])$.
\item Que vaut $P([U=j]\cap [T=k])$ pour tout entier $k \geqslant 2$ tel que $k \neq j+1$~?
\end{enumerate}
\item Les variables aléatoires $T$ et $U$ sont-elles indépendantes~?
\item Calculer $P(U=1)$ puis déterminer la loi de $U$.
\end{enumerate}

\end{document}