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% Question multiple
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\begin{document}

\noindent {\bfseries Durée:} 4 heures \hfill Samedi 17 février 2018 \\
\textbf{Aucune sortie (même temporaire) autorisée pendant la première heures et le dernier quart d'heure}\\

\begin{center}
{\LARGE \textbf{DS n°4 Bis}}
\end{center}

\begin{center}
Aucun matériel ni documents autorisés. N'oubliez pas vos objectifs personnels. Relisez vos réponses et encadrez vos résultats. {Le sujet comporte 3 pages !}\\
\end{center}
\hrule

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} Rappels des compétences  & Rigueur/Auto-correction et rédaction \\
\hline
\rule[-2.25ex]{0pt}{6ex} Ne pas écrire "d'horreur"& Essayez un maximum de question \\
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} Pas d'erreur de calculs & Français / rédaction / présentation\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\section*{Exercice 1 - Série}

\begin{enumerate}
\item Calculer en justifiant soigneusement leur convergence les séries suivantes : 
$$
A = \sum_{n \geqslant 0} \dfrac{ 2^{2n}}{5^{n+1}}, \qquad B = \sum_{n \geqslant 2} \dfrac{2^{n-1}}{n!}, \qquad C = \sum_{n \geqslant 0} (n^2 - n) 2^{-2n}. 
$$
\item Donner (en justifiant) la nature des séries :
$$
D = \displaystyle \sum_{n \geqslant 1} \dfrac{1}{n^3}, \qquad
E = \displaystyle \sum_{n \geqslant 1} \dfrac{1}{\sqrt{n} - 1}, \qquad
F = \displaystyle \sum_{n \geqslant 1} \dfrac{(-1)^n}{n^5}, \qquad
$$
\end{enumerate}


\section*{Exercice 2A - Fonctions et suites (ECRICOME ECT 2013) - (*)}

On considère la fonction $f$ définie sur $[1, + \infty[$ par :
\[
\forall x \in [1, + \infty[j, \quad f(x) = \dfrac{x^2}{2x-1}
\]
On note $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative. On définit également la suite $(u_n)_{n \geq 0}$ par : 
$$
u_0 \in [1,+\infty[, \; \forall n \in \N, \; u_{n+1} = f(u_n).
$$

\begin{enumerate}
\item \'Etude de $(u_n)_{n \geq 0}$.
\begin{enumerate}
\item Soit $x \geq 1$. \'Etablir les inégalités suivantes : $1 \leq f(x)$ et $f(x) \leq \dfrac{x+1}{2}$.
\item Montrer par récurrence que: $\forall n \in \N, \; 1 \leq u_n$. En déduire que $\forall n \in \N, \; u_{n+1} \leq \dfrac{u_n +1}{2}$. 
\item Prouver par récurrence que : $\forall n \in \N, \; 1 \leq u_n \leq 1+ \dfrac{1}{2^n}(u_0 -1)$.
\item Démontrer la convergence de la suite $(u_n)_{n \geq 0}$ et donner la valeur de sa limite. 
\end{enumerate}
\newpage 
\item Asymptote à $\mathscr{C}_f$. 

On pose $a = \lim\limits_{x \to + \infty} \dfrac{f(x)}{x}$ et $b = \lim\limits_{x \to + \infty}[ f(x) -ax]$. 
\begin{enumerate}
\item Donner la valeur de $\lim\limits_{x \to + \infty} f(x)$. 
\item Calculer $a$ et $b$.
\item Montrer qu'il existe un réel $c$ tel que :
$$
\forall x \in [1, + \infty[, \; f(x) -ax - b = \dfrac{c}{2x-1}
$$
et donner la valeur de $c$.
\item Prouver que $\mathscr{C}_f$ admet une asymptote $(\mathscr{D})$ dont on donnera une équation ainsi que la position de  $(\mathscr{D})$ par rapport à $\mathscr{C}_f$.
\end{enumerate}
\item Variations de $f$.
\begin{enumerate}
\item Soit $x \in [1, +\infty[$. Calculer $f'(x)$.
\item Préciser le sens de variations de $f$ sur $[1, + \infty[$.
\item Tracer la courbe $\mathscr{C}_f$ ainsi que la droite $(\mathscr{D})$ et la tangente $(\mathscr{T})$ à $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse 1.
\end{enumerate}
\item \'Etude d'une réciproque. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $f$ réalise une bijection de $[1,+\infty[$ sur $[1,+\infty[$. 
\item Soit $t \in [1,+\infty[$. Prouver que l'équation $x^2 -2tx + t = 0$ (d'inconnue $x$) admet des solutions réelles et les donner. 
\item Soit $t \in [1,+\infty[$. Déterminer l'unique réel $x \in [1,+\infty[$ tel que $f(x) = t$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\section*{Exercice 3A - Matrices - (*)}

\begin{enumerate}
\item Montrer que la matrice $C={\begin{pmatrix} 1 & {-2} & {0}\\
{1} & 2 & -1\\
3 & -2 & -1
\end{pmatrix}}$ n'est pas inversible
\item {}

\begin{enumerate}
\item Calculer l'inverse de la matrice $M=\left(\begin{array}{ccc}
2 & 1 & 1\\
-1 & 2 & -1\\
1 & -1 & 1
\end{array}\right)$. 
\item En déduire les solutions du système linéaire: $\begin{cases}
2x+y+z & =1\\
-x +2y -z & =2\\
x -y + z & =1
\end{cases}$.
\end{enumerate}
\item On considère le système $(E_{\lambda }):\left\{ 
\begin{array}{l}
{(2-\lambda)x + 2y = 0 } \\ 
{2x + (2 - \lambda) y = 0} \\ 
\end{array}%
\right. $ où $\lambda \in \mathbb{R}.$

\begin{enumerate}
\item Pour quelles valeurs de $\lambda $, le système $(E_{\lambda })$ est-il de
Cramer ?

\item Résoudre le système selon les valeurs de $\lambda $.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\hrule


\section*{Exercice 4A - Probabilités (EMLyon 1991) - (**)}

Une urne contient $p$ jetons num\'erot\'es de $1$ \`a $p$ ($p\geq 2$). On
effectue $N$ tirages successifs ($N\geq 1$): chaque tirage consiste \`a
prendre un jeton dans l'urne, noter son num\'ero, puis remettre le jeton
dans l'urne.

Pour tout entier $i$ compris entre $1$ et $p$, on d\'efinit les variables
al\'eatoires $F_i$ et $X_i$ comme suit:

\hskip20mm$\bullet$ $F_i$ est le nombre de fois o\`u le jeton num\'erot\'e $i
$ a \'et\'e tir\'e

\hskip20mm$\bullet$ $X_i$ prend la valeur $0$ si le jeton num\'erot\'e $i$
n'a pas \'et\'e tir\'e et prend la valeur $1$ si le jeton num\'erot\'e $i$ a
\'et\'e tir\'e au moins une fois.

\begin{enumerate}
\item \textbf{\'Etude des variables al\'eatoires $F_i$.}

\begin{enumerate}
\item Pour tout $i$ compris entre $1$ et $p$, d\'eterminer l'esp\'erance et
la variance de la variable al\'eatoire $F_i$ .

\item On consid\`ere la variable al\'eatoire $F = \displaystyle \sum_{i=1}^p
F_i$.

Que vaut $F$ ? Calculer l'esp\'erance et la variance de $F$.

\item Est-ce que les variables al\'eatoires $F_i$ sont deux \`a deux
ind\'ependantes ?
\end{enumerate}

\item \textbf{\'Etude des variables al\'eatoires $X_i$.}

\begin{enumerate}
\item Pour tout $i$ compris entre $1$ et $p$, d\'eterminer l'esp\'erance et
la variance de la variable al\'eatoire $X_i$.

\item Soient $i$ et $j$ deux entiers distincts compris entre $1$ et $p$.

D\'eterminer la probabilit\'e pour que $X_i = 0$ sachant que $X_j = 0$.

Est-ce que les variables al\'eatoires $X_i$ et $X_j$ sont ind\'ependantes ?

\item D\'eterminer l'esp\'erance de la variable al\'eatoire $X = %
\displaystyle \sum_{i=1}^p X_i$.
\end{enumerate}

\item \textbf{Application}

Vous \^etes responsable du service apr\`es-vente d'une cha\^{\i}ne de
magasins. Ce service est pr\'esent sur quinze sites et, au total, il re\c{c}%
oit en moyenne cinquante appels par jour.

\begin{enumerate}
\item En utilisant le d\'ebut de l'exercice pour mod\'eliser cette
situation, donner une interpr\'etation des variables al\'eatoires $F_i$, $X_i
$ et $X$.

\item Calculer des valeurs approch\'ees \`a $10^{-1}$ pr\`es de
l'esp\'erance de $F_i$, de l'esp\'erance de $X_i$ et de l'esp\'erance de $X$.

Commenter bri\`{e}vement ces r\'{e}sultats .
\end{enumerate}
\end{enumerate}



\end{document}