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\lhead{ECE1}
\chead{DS n°4}
\rhead{2017-2018}
\lfoot{}
\cfoot{DS n°4}
\rfoot{M Leboucher}
\theoremstyle{break}
\newtheorem{theorem}{Théorème}
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\newtheorem{ex}[theorem]{Exercice}
\newtheorem{problem}[theorem]{Problème}
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% Question multiple
\newenvironment{qmulti}[1]{
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	\begin{multicols}{#1}
	\begin{enumerate}
	}{
	\end{enumerate}
	\end{multicols}
	\vspace{-1pt}}

\newcommand{\Rr}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Cc}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Zz}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
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\newcommand{\entier}[1]{\llbracket #1 \rrbracket}


\begin{document}

\noindent {\bfseries Durée:} 4 heures \hfill Lundi 5 février 2018 \\
\textbf{Aucune sortie (même temporaire) autorisée pendant la première heures et le dernier quart d'heure}\\

\begin{center}
{\LARGE \textbf{DS n°4}}
\end{center}

\begin{center}
Aucun matériel ni documents autorisés. N'oubliez pas vos objectifs personnels. Relisez vos réponses et encadrez vos résultats. {Le sujet comporte 6 pages !}\\
\end{center}
\hrule

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} Rappels des compétences  & Rigueur/Auto-correction et rédaction \\
\hline
\rule[-2.25ex]{0pt}{6ex} Ne pas écrire "d'horreur"& Essayez un maximum de question \\
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} Pas d'erreur de calculs & Français / rédaction / présentation\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Rappel des règles: Ce sujet est double. Vous devez à chaque fois choisir entre 2 exercices, c'est à dire que vous {\bf ne devez pas} faire deux exercices portant le même numéro (le second exercice ne sera pas corrigé). Enfin, chaque exercice possède un niveau de difficulté (*, **, ***). Les exercices plus difficiles seront notés sur plus de points. Selon vos résultats lors du précédent SIGMA, vous devez choisir des exercices pour un nombre {\bf minimum} d'étoiles. Voici un récapitulatif des exercices :

\begin{itemize}
\item Exercice 1A - Séries  - (*) ou Exercice 1B - Séries - (**) \\
\item Exercice 2A - Fonctions et suite - (*) ou Exercice 2B - Fonctions et suite - (**) \\
\item Exercice 3A - Matrices - (*) ou Exercice 3B - -(***) \\
\item Exercice 4A - Probabilités - (**) ou Exercice 4B - Probabilités - (***)
\end{itemize}

Rappel du nombre d'étoiles minimum à choisir par élève :

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} 10 * minimum  & Martin \\
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} 9 * minimum  & Lola, Bela, Adrien, Corentin \\
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} 8 * minimum  & Louise, Mathilde G., Ugo, Arnaud, Zacharie \\
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} 7* minimum  & Flora, Lucas, Océane, Loïc, Clara \\
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} 6* minimum  & Thomas, Chloe, Justine, Charlotte, Illona, Pauline \\
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} 5* minimum  & Ceux qui reste \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\newpage

\section*{Exercice 1A - Série - (*)}

\begin{enumerate}
\item Calculer en justifiant soigneusement leur convergence les séries suivantes : 
$$
A = \sum_{n \geqslant 0} \dfrac{ 3^n}{2^{2n+1}}, \qquad B = \sum_{n \geqslant 2} \dfrac{1}{n!}, \qquad C = \sum_{n \geqslant 0} (n^2 + n) e^{-n}. 
$$
\item Donner (en justifiant) la nature des séries :
$$
D = \displaystyle \sum_{n \geqslant 1} \dfrac{1}{\sqrt{n}}, \qquad
E = \displaystyle \sum_{n \geqslant 1} \dfrac{1}{n^2 +1}, \qquad
F = \displaystyle \sum_{n \geqslant 1} \dfrac{(-1)^n}{n^6}, \qquad
$$
\end{enumerate}

\section*{Exercice 1B - Série (Exrait EML 2002) - (**)}

\subsection*{Calculs de Somme}
Calculer en justifiant soigneusement leur convergence les séries suivantes : 
$$
A = \sum_{n \geqslant 1} \dfrac{ (n+1)2^{2n+1}}{5^n}, \qquad B = \sum_{n \geqslant 1} \dfrac{1}{n! 3^{2n}}, \qquad C = \sum_{n \geqslant 0} \dfrac{n^2 3^n e^{-3}}{n!}. 
$$

\subsection*{Extrait de EML 2002}
	On admet, pour tout entier $k$ et pour tout $x\in [0,1[$ que la série $\displaystyle \sum_{n\geqslant k}\binom{n}{k}x^{n}$ est
convergente et on note
	$$
	s_{k}(x)=\displaystyle \sum_{n=k}^{+\infty }\binom{n}{k}x^{n}.
	$$

\begin{enumerate}
\item Vérifier, pour tout réel $x$ de $[0,1[$ :
$$ s_{0}(x)=\frac{1}{1-x}\qquad \hbox{ et }\qquad s_{1}(x)=\frac{x}{(1-x)^{2}} $$
\item Pour tout couple d'entiers naturels $(n,k)$ tels que $k<n$, montrer : 
		$$ \binom{n+1}{k+1}=\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1} $$
\item Pour tout entier naturel $k$ et pour tout réel $x$ de $[0,1[$, déduire de la question précédente :
		$$ s_{k+1}(x)=xs_{k}(x)+xs_{k+1}(x) $$
\item Montrer par récurrence :
		$$ \forall k\in \N\quad \forall x\in [0,1[\qquad s_{k}(x)=\frac{x^{k}}{(1-x)^{k+1}} $$\\

\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 2A - Fonctions et suites (ECRICOME ECT 2013) - (*)}

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R_+^*$ par 
$$
\forall x \in \R_+^*, \quad f(x) = 2x + \dfrac{3 \ln(x)}{x^2} ;
$$
$$
\forall x \in \R_+^*, \quad g(x) = 2x^3 - 6 \ln(x) +3 ;
$$
On note $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de $f$. 

\begin{enumerate}
\item \'Etude du signe de $g$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $g'(x)$ lorsque $x \in \R_+^*$.
\item Donner les limites de $g$ en $+\infty$ et en $0$ (par valeur supérieure).
\item Construire le tableau de variation de $g$.
\item Déterminer le signe de $g(x)$ lorsque $x \in \R_+^*$. 
\end{enumerate}
\item \'Etude asymptotique de $f$. 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x \to 0^+$ et quand $x \to + \infty$. 
\item On note $a = \lim\limits_{x \to + \infty} \dfrac{f(x)}{x}$ et $b = \lim\limits_{x \to +\infty} (f(x) - ax)$. Calculer $a$ et $b$.
\item Donner l'équation de l'asymptote $(\Delta)$ de $\mathscr{C}_f$ quand $x$ tend vers $+\infty$ et préciser la position de cette asymptote par rapport à $\mathscr{C}_f$. 
\end{enumerate}
\item Représentation graphique de $f$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la dérivée de $f$.
\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\R_+^*$ en indiquant dans celui ci les limites.
\item Tracer sur un même dessin le graphe de $\mathscr{C}_f$ ainsi que celui de son asymptote $(\Delta)$. 
\end{enumerate}
\item \'Etude d'une équation. Soit $n \geqslant 1$ un entier naturel non nul, on considère l'équation 
$$
(\varepsilon_n) : f(x) = 2n .
$$
\begin{enumerate}
\item Prouver que l'équation $(\varepsilon_n)$ admet une unique solution. On note $x_n$ cette solution. 
\item Montrer que 
$$
\forall n \geqslant 1, \quad 1 \leqslant x_n \leqslant n.
$$
\item Justifier que : $\forall n \geqslant 1, \quad 1 - \dfrac{x_n}{n} = \dfrac{3 \ln(x_n)}{2n(x_n)^2}$.
\item Prouver que : $\forall n \geqslant 1, \quad 0 \leqslant \dfrac{\ln(x_n)}{n (x_n)^2} \leqslant \dfrac{\ln(n)}{n}$.
\item En déduire $\lim\limits_{n \to + \infty} \dfrac{x_n}{n}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}



\section*{Exercice 2B - Fonctions et suites (EDHEC 2003) - (**)}

\begin{enumerate}
\item  Montrer que~: $\forall x\in {\mathbb{R}}^{*},\quad \dfrac{e^{x}-1}{x}%
>0$.

\vspace{0pt} On consid\`{e}re la fonction $f$ d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$
par~: $\left\{ 
\begin{array}{cc}
f\left( {x}\right) =\ln \left( {\dfrac{e^{x}-1}{x}}\right)  & \text{si }%
x\neq 0 \\ 
f\left( {0}\right) =0 & 
\end{array}
\right. $

\vspace{0pt}

\item  Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.

\item  Déterminer $f^{\prime }\left( {x}\right) $ pour tout $x$ de ${\mathbb{R}}^{*}$ puis montrer que $f'$ est continue sur $\left] {-\infty ;0}\right[$ et sur $\left] {0;+\infty }\right[ $, 

\item 
\begin{enumerate}
\item  Etudier les variations de la fonction $g$ d\'{e}finie par : $\forall
x\in \Bbb{R},\;g\left( x\right) =x\,e^{x}-e^{x}+1$

\item  En d\'{e}duire le signe de $f'\left( {x}\right) $, puis dresser le tableau de variations de $f$ (limites comprises).
\end{enumerate}


\noindent On consid\`{e}re la suite $\left( {u_{n}}\right) $ d\'{e}finie par la
donn\'{e}e de son premier terme $u_{0}>0$ et par la relation, valable pour
tout entier naturel $n$~: $u_{n+1}=f\left( {u_{n}}\right) $.

\item  Montrer que~: $\forall n\in \mathbb{N},\quad u_{n}>0$.

\item 
\begin{enumerate}
\item  V\'{e}rifier que~: $\forall x\in \mathbb{R},\quad f\left( {x}\right)
-x=f\left( {-x}\right) $.

\item  En d\'{e}duire le signe de $f\left( {x}\right) -x$ sur ${\mathbb{R}}%
_{+}^{*}$.

\item  Montrer que la suite $\left( {u_{n}}\right) $ est d\'{e}croissante.
\end{enumerate}

\item  En d\'{e}duire que $\left( {u_{n}}\right) $ converge et donner sa
limite.

\item  On pose $v_n =\ln \left( \dfrac{1 - e^{-u_n}}{u_n} \right)$.  Montrer que la série $ \displaystyle \sum\limits_{n \geqslant 0} v_n$ converge et donner sa somme. (On pourra remarquer que $v_n = f(-u_n)$ pour tout $n \in \N$).


\item \begin{enumerate}
\item Recopier et compléter cette fonction scilab qui prend en entrée un nombre réel $x$ et donne en sortie la valeur $f(x)$.
\begin{verbatim}
function y = f(x)
    if  ....... then
        ... = 0
    else
        ... = log( ...... / .....)
............ 
\end{verbatim} 
\item \'{E}crire un programme en Scilab permettant de
d\'{e}terminer et d'afficher le plus petit entier naturel $n$ pour lequel $%
u_{n}\leqslant 10^{-3}$, dans le cas o\`{u} $u_{0}=1$. (On pourra utiliser la fonction $f$ précédemment définie.)
\end{enumerate} 
\end{enumerate}


\section*{Exercice 3A - Matrices - (*)}

\begin{enumerate}
\item Montrer que la matrice $C={\begin{pmatrix} 3 & {-4} & {1}\\
{1} & 2 & -1\\
4 & -2 & 0
\end{pmatrix}}$ n'est pas inversible
\item {}

\begin{enumerate}
\item Calculer l'inverse de la matrice $M=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 4 & 1\\
0 & 3 & 2\\
2 & 2 & 0
\end{array}\right)$. 
\item En déduire les solutions du système linéaire: $\begin{cases}
1x+4y+z & =1\\
3y+2z & =2\\
2x+2y & =1
\end{cases}$.
\end{enumerate}
\item On considère le système $(E_{\lambda }):\left\{ 
\begin{array}{l}
{(1-\lambda)x + y = 0 } \\ 
{4x - (2+ \lambda) y = 0} \\ 
\end{array}%
\right. $ où $\lambda \in \mathbb{R}.$

\begin{enumerate}
\item Pour quelles valeurs de $\lambda $, le système $(E_{\lambda })$ est-il de
Cramer ?

\item Résoudre le système selon les valeurs de $\lambda $.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\hrule

\section*{Exercice 3B - Matrices (ESSEC 2007 modifié) - (***)}

Soient $(u_{n})$, $(v_{n})$ et $(w_{n})$ les trois suites d\'{e}finies sur $%
\mathbb{N}$ par leur premier terme : 
\begin{equation*}
u_{0}=1,\;v_{0}=0,\;w_{0}=0
\end{equation*}%
et les relations de r\'{e}currence :$\left \{ 
\begin{array}{l}
u_{n+1}=3u_{n}-v_{n}+w_{n} \\ 
v_{n+1}=u_{n}+2v_{n} \\ 
w_{n+1}=v_{n}+w_{n}%
\end{array}%
\right. .$ Pour tout entier naturel $n$, on pose :
\begin{equation*}
X_{n}=%
\begin{pmatrix}
u_{n} \\ 
v_{n} \\ 
w_{n}%
\end{pmatrix}%
, \qquad A = \begin{pmatrix}
3 & -1 & 1 \\ 
1 & 2 & 0 \\ 
0 & 1 & 1%
\end{pmatrix}%
.
\end{equation*}%

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Reconna\^{\i}tre, pour tout entier naturel $n$ le produit $AX_n$.

\item Montrer par récurrence que $X_n = A^n X_0$.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item D\'{e}montrer que le système $(E_{\lambda }):\left\{ 
\begin{array}{lcl}
(3-\lambda)x - y + z &= & 0  \\ 
x + (2 - \lambda) y &= & 0 \\
y + (1- \lambda) z & = & 0 
\end{array}%
\right. $
est de Cramer si et seulement si $\lambda \neq 2$. 

\item D\'{e}terminer les solutions du système lorsque $\lambda = 2$. 
\end{enumerate}

\item On introduit les matrices
\begin{equation*}
T=%
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 \\ 
0 & 2 & 1 \\ 
0 & 0 & 2%
\end{pmatrix}%
,
\qquad \text{et} \qquad  P = 
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\ 
1 & 0 & 1 \\ 
1 & -1 & 2%
\end{pmatrix}%
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item Calculer $P^{-1}$ (les calculs devront figurer sur la copie).

\item \`{A} l'aide de la formule du bin\^{o}me de Newton et de la d\'{e}%
composition suivante $T$ : 
\begin{equation*}
T=%
\begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 \\ 
0 & 2 & 0 \\ 
0 & 0 & 2%
\end{pmatrix}%
+%
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\ 
0 & 0 & 1 \\ 
0 & 0 & 0%
\end{pmatrix}%
,
\end{equation*}
d\'{e}terminer l'expression de la matrice $T^n$ en fonction de l'entier
naturel $n$.



\item Montrer que $T= P^{-1} A P$. Calculer alors $A^n$.

\item D\'{e}terminer les expressions de $u_{n}$, $v_{n}$, $w_{n}$ en
fonction de l'entier naturel $n$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 4A - Probabilités (ECRICOME 2002) - (**)}


Une urne contient une boule blanche et une boule noire, les boules \'etant
indiscernables au toucher. On y pr\'el\`eve une boule, chaque boule ayant la m\^{e}me probabilit\'e
d'\^{e}tre tir\'ee, on note sa couleur, et on la remet dans l'urne avec $c$
boules de la couleur de la boule tir\'ee. On r\'ep\`ete cette \'epreuve, on
r\'ealise ainsi une succession de $n$ tirages ($n\geqslant 2$).

\subsection*{ \'{E}tude du cas $c=0$}

On effectue donc ici $n$ tirages avec remise de la boule dans l'urne. On note $X$ la variable al\'{e}atoire r\'{e}elle \'{e}gale au nombre de
boules blanches obtenues au cours des $n$ tirages et $Y$ la variable
al\'{e}atoire r\'{e}elle d\'{e}finie par~:

\begin{itemize}
\item  $Y=k$ si l'on obtient une boule blanche pour la premi\`{e}re fois au $%
k^{i\grave{e}me}$tirage.

\item  $Y=0$ si les $n$ boules tir\'{e}es sont noires.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item  D\'{e}terminer la loi de $X$. Donner la valeur de $E(X)$ et de $V(X)$.

\item  Pour $k\in \{1,\ldots ,n\}$, d\'{e}terminer la probabilit\'{e} $P(Y=k)
$ de l'\'{e}v\'{e}nement $(Y=k)$, puis d\'{e}terminer $P(Y=0)$.

\item  V\'{e}rifier que~: 
\[
\sum_{k=0}^{n}P(Y=k)=1.
\]

\item  Pour $x\neq 1$ et $n$ entier naturel non nul, montrer que~: 
\[
\sum_{k=1}^{n}kx^{k}=\frac{nx^{n+2}-(n+1)x^{n+1}+x}{(1-x)^{2}}.
\]

\item  En d\'{e}duire $E(Y)$.
\end{enumerate}

\subsection*{ \'{E}tude du cas $c\neq 0$.}

On consid\`{e}re les variables al\'{e}atoires $\left( X_{i}\right)
_{1\leqslant i\leqslant n}$ d\'{e}finies par~:

\begin{itemize}
\item  $X_{i}=1$ si on obtient une boule blanche au i{\`{e}me} tirage.

\item  $X_{i}=0$ sinon.
\end{itemize}

On d\'{e}finit alors, pour $2\leqslant p\leqslant n$, la variable
al\'{e}atoire $Z_{p}$, par~: 
\[
Z_{p}=\sum_{i=1}^{p}X_{i}. 
\]

\begin{enumerate}
\item  Que repr\'{e}sente la variable $Z_{p}$~?

\item  Donner la loi de $X_{1}$ et l'esp\'{e}rance $E(X_{1})$ de $X_{1}$.

\item  D\'{e}terminer la loi de $X_{2}$ puis l'esp\'{e}rance $E(X_{2})$.

\item  D\'{e}terminer la loi de probabilit\'{e} de $Z_{2}$.

\item  D\'{e}terminer l'univers image $Z_{p}\left( \Omega \right) $ de $Z_{p}
$.

\item  Soit $p\leqslant n-1$.

\begin{enumerate}
\item  D\'{e}terminer $P(X_{p+1}=1\,/Z_{p}=k)$ pour $k\in Z_{p}\left( \Omega
\right) $.

\item  En utilisant la formule des probabilit\'{e}s totales, montrer que~: 
\[
P(X_{p+1}=1)=\frac{1+cE(Z_{p})}{2+pc}.
\]

\item  En d\'{e}duire que $X_{p}$ est une variable al\'{e}atoire de
Bernoulli de param\`{e}tre $\displaystyle \frac{1}{2}$.

(On raisonnera par r\'{e}currence sur $p$~: les variables $X_{1}$, $X_{2}$,
...., $X_{p}$ \'{e}tant suppos\'{e}es suivre une loi de de Bernoulli de
param\`{e}tre $\displaystyle \frac{1}{2}$, et on calculera $E(Z_{p})$).
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 4B - Probabilités (ESCP 2003) - (***)}


Soit $a,\; b$ deux entiers naturels non nuls et $s$ leur somme.\newline
Une urne contient initialement $a$ boules noires et $b$ boules blanches
indiscernables au toucher.\newline
On effectue dans cette urne une suite infinie de tirages au hasard d'une
boule selon le protocole suivant:

\begin{itemize}
\item si la boule tir\'{e}e est blanche, elle est remise dans l'urne ;

\item si la boule tir\'{e}e est noire, elle est remplac\'{e}e dans l'urne
par une boule blanche prise dans une r\'{e}serve annexe.
\end{itemize}

Avant chaque tirage, l'urne contient donc toujours $s$ boules.\newline
On d\'esigne par $(\Omega, \mathcal{B}, \mathbf{P})$ un espace probabilis\'e
qui mod\'elise cette exp\'erience et, pour tout entier naturel $n$ non nul,
on note:

\begin{itemize}
\item $B_{n}$ l'\'{e}v\'{e}nement "la $n$-i\`{e}me boule tir\'{e}e est
blanche ";

\item $X_n$ la variable al\'eatoire d\'esignant le nombre de boules blanches
tir\'ees au cours des $n$ premiers tirages;

\item $u_n$ l'esp\'erance de la variable al\'eatoire $X_n$, c'est-\`a-dire $%
u_n=\mathbf{E}(X_n)$.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item \textbf{\'Etude d'un ensemble de suites}\label{A}\newline
Soit $A$ l'ensemble des suites $(x_n)_{n\geqslant 1}$ de r\'eels qui
v\'erifient:\vskip -3mm 
\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N}^*, \quad s\, x_{n+1} = (s-1)\,x_n + b + n
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item \label{vn} Soit $\alpha$ et $\beta$ deux r\'eels et $(v_n)_{n\geqslant
1}$ la suite d\'efinie par: \quad $\forall n\in \mathbb{N}^*,\quad
v_n=\alpha\,n+\beta $\;.\newline
D\'eterminer en fonction de $b$ et de $s$ les valeurs de $\alpha$ et $\beta$
pour que la suite $(v_n)_{n\geqslant 1}$ appartienne \`a $A$.

\item Soit $(x_n)_{n\geqslant 1}$ une suite appartenant \`a $A$, $%
(v_n)_{n\geqslant 1}$ la suite d\'etermin\'ee \`a la question pr\'ec\'edente
et $(y_n)_{n\geqslant 1}$ la suite d\'efinie par: \; $\forall n\in \mathbb{N}%
^*, \quad y_n=x_n-v_n$\;.\newline
Montrer que la suite $(y_n)_{n\geqslant 1}$ est une suite g\'eom\'etrique et
expliciter, pour tout entier naturel $n$ non nul, $y_n$ puis $x_n$ en
fonction de $x_1,\; b, \; s $ et $n$.
\end{enumerate}

\item \textbf{Expression de la probabilit\'e $\text{P}(B_{n+1})$ \`a l'aide
de $u_n$}

\begin{enumerate}
\item Donner, en fonction de $b$ et de $s$, les valeurs respectives de la
probabilit\'e $\mathbf{P}(B_1)$ et du nombre $u_1$.

\item Calculer la probabilit\'{e} $\mathbf{P}(B_{2})$ et v\'{e}rifier l'\'{e}%
galit\'{e}: \ $\displaystyle\mathbf{P}(B_{2})=\frac{b+1-u_{1}}{s}.$

\item Soit $n$ un entier naturel v\'{e}rifiant $1\leqslant n\leqslant a$.
Montrer que, pour tout entier $k$ de l'intervalle $\left[ 0,n\right] $, la
probabilit\'{e} conditionnelle $\mathbf{P}_{X_{n}=k}\left( B_{n+1}\right) $
est \'{e}gale \`{a} $\dfrac{b+n-k}{s}\;$\newline
En d\'{e}duire l'\'{e}galit\'{e}:\quad $\mathbf{P}(B_{n+1})=\dfrac{b+n-u_{n}%
}{s}\;$

\item Soit $n$ un entier naturel v\'{e}rifiant $n>a$. \newline
Si $k$ est un entier de l'intervalle $\left[ 0,n-a-1\right] $, quel est l'%
\'{e}v\'{e}nement $[X_{n}=k]$ ? \newline
Si $k$ est un entier de l'intervalle $\left[ n-a,n\right] $, justifier l'%
\'{e}galit\'{e} : $\mathbf{P}_{X_{n}=k}(B_{n+1})=\dfrac{b+n-k}{s}\;$

Montrer enfin que l'\'{e}galit\'{e} \ $\mathbf{P}(B_{n+1})=\dfrac{b+n-u_{n}}{%
s}$\ est encore v\'{e}rifi\'{e}e.
\end{enumerate}

\item \textbf{Calcul des nombres $u_{n}$ et $\text{P}(B_{n})$}

\begin{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel non nul. \'{E}tablir, pour tout entier $k$
de l'intervalle $\left[ n+1-a,n\right] $ l'\'{e}galit\'{e} : 
\begin{equation*}
\mathbf{P}([X_{n+1}=k])=\frac{a-n+k}{s}\,\mathbf{P}([X_{n}=k])+\frac{b+n-k+1%
}{s}\,\mathbf{P}([X_{n}=k-1])
\end{equation*}%
V\'{e}rifier cette \'{e}galit\'{e} pour $k=n+1,\;k=n-a$ et pour tout entier $%
k$ de l'intervalle $\left[ 1,n-a-1\right] $.

\item Calculer, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n+1}$ en fonction
de $u_{n}$ et de $n$. En d\'{e}duire que la suite \ $(u_{n})_{n\geqslant 1}$%
\ appartient \`{a} l'ensemble $A$ \'{e}tudi\'{e} dans la question \ref{A}

\item Donner, pour tout entier naturel $n$ non nul, les valeurs de $u_{n}$
et de $\mathbf{P}(B_{n+1})$ en fonction de $b,\;s$ \ et $n$.

\item Quelles sont les limites des suites $(u_{n})_{n\geqslant 1}$\ et $(%
\mathbf{P}(B_{n}))_{n\geqslant 1}$?
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}