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\lhead{ECE1}
\chead{Devoir surveillé n°3}
\rhead{2017-2018}
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\cfoot{DS n°3}
\rfoot{M Leboucher}
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\newtheorem{theorem}{Théorème}
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% Question multiple
\newenvironment{qmulti}[1]{
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	\begin{multicols}{#1}
	\begin{enumerate}
	}{
	\end{enumerate}
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	\vspace{-1pt}}

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\begin{document}

\noindent {\bfseries Durée:} 4 heures \hfill Lundi 11 Décembre 2017 \\
\textbf{Aucune sortie (même temporaire) autorisée pendant la première heure et le dernier quart d'heure}\\

\begin{center}
{\LARGE \textbf{Devoir Surveillé n°3}}
\end{center}

\begin{center}
Aucun matériel ni documents autorisés \\
Cherchez un maximum de questions et répondez même si vous n'êtes pas sur de la réponse. \\
Relisez vos réponses et encadrez vos résultats.
{Le sujet comporte 4 pages !}\\
\end{center}
\hrule

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} Rappels des compétences (5 points) & Rigueur/Auto-correction et rédaction \\
\hline
\rule[-2.25ex]{0pt}{6ex} Ne pas écrire "d'horreur"& Essayez un maximum de question \\
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} Pas d'erreur de calculs & Français / rédaction / présentation\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{ex}{}
On considère la suite $(u_n)_{n \in \N}$ définie par :
\begin{center}
$u_0 = a$ et pour tout entier $n$, $u_{n+1} = u_n(2-u_n)$, 
\end{center}
où $a$ est un réel tel que $0 < a <1$. 
\begin{enumerate}
\item \'Etudier les variations de la fonction $f : x \to x(2-x)$.
\item \begin{enumerate}
\item Montrer par récurrence que , pour tout entier $n$, $0 < u_n < 1$.
\item Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante. 
\item En déduire que la suite est convergente. Calculer sa limite. 
\end{enumerate}
\item On considère la suite numérique $(v_n)_{n \in \N}$ définie sur $\N$ par :
\[ v_n = 1 - u_n \]
\begin{enumerate}
\item Exprimer pour tout entier $n$, $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.
\item En déduire (par récurrence), que pour tout $n \in \N$, on a $v_n = (1-a)^{2^n}.$
\item Déterminer la limite de la suite $(v_n)$. Retrouver la limite de la suite $(u_n)$. 
\end{enumerate}
\item On considère le temps de vie d'une machine à café. En sortant de l'usine (au temps $t=0$), la machine à café à une probabilité $a$ d'être cassé ($0 < a < 1$). On notera $A_n$ l'événement "la machine est cassé au temps $t=n$" et $p_n = p(A_n)$. Si la machine est cassé au temps $t= n$ elle reste cassé au temps $t = n+1$. Si la machine est en état de marche au temps $t=n$, elle a la probabilité $p_n$ d'être cassé au temps $t = n+1$. 
\begin{enumerate}
\item Calculez $p_1$
\item \'Ecriver $p_{n+1}$ en fonction de $p_n$. 
\item En déduire $p_n$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} p_n$. Que pensez vous de ce résultat ?
\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{ex}

\newpage
\begin{ex}[ECRICOME 2011]

{\color{white}.}
\vspace{-10pt}
\subsection*{PARTIE I. Un jeu en ligne.}

La soci\'{e}t\'{e} Lehazard met \`{a} la disposition de ses clients un
nouveau jeu en ligne dont la page d'\'{e}cran affiche une grille \`{a} trois
lignes et trois colonnes.

Apr\`{e}s une mise initiale de $2$ euros du joueur, une fonction al\'{e}%
atoire place au hasard successivement trois jetons $\left( \bigstar \right) $
dans trois cases diff\'{e}rentes. La partie est gagn\'{e}e si les trois
jetons sont align\'{e}s. Le gagnant empoche $10$ fois sa mise, ce qui lui
rapporte $18$ euros \`{a} l'issue du jeu. Dans le cas contraire la mise
initiale est perdue par le joueur.%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|l|l|l|}
\hline
& $A$ & $B$ & $C$ \\ \hline
$1$ & $\bigstar$ &  &  \\ \hline
$2$ & $\bigstar$ &  &  \\ \hline
$3$ &  & $\bigstar$ &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{equation*}

On d\'{e}finit les \'{e}v\'{e}nements $H,$ $V,$ $D,$ $N$ par :

\begin{itemize}
\item $H$ : "les trois jetons sont align\'{e}s
horizontalement " .

\item $V$ :" les trois jetons sont align\'{e}s verticalement 
" .

\item $D$ : " les trois jetons sont align\'{e}s en diagonale 
" .

\item $N$ : " les trois jetons ne sont pas align\'{e}s 
" .
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Justifier qu'il y a $84$ positionnements possibles des trois jetons
dans les trois cases.

\item D\'{e}terminer les probabilit\'{e}s $\mathrm{P}\left( H\right) ,\ 
\mathrm{P}\left( V\right) ,\ \mathrm{P}\left( D\right) $ des \'{e}v\'{e}%
nements $H,.V,.D$.

\item En d\'{e}duire que la probabilit\'{e} de l'\'{e}v\'{e}nement $N$ est 
\'{e}gale \`{a} :%
\begin{equation*}
\mathrm{P}\left( N\right) =\frac{19}{21}\simeq0.9048 
\end{equation*}

\item La soci\'{e}t\'{e} peut s'attendre \`{a} $10~000$ relances par jour de
ce jeu.

\begin{enumerate}
\item Pour chaque entier naturel $i$ non nul. on note $Z_{i}$ le gain de la
soci\'{e}t\'{e} \`{a} la $i^{\grave{e}me}$ relance.

Calculer l'esp\'{e}rance math\'{e}matique $E\left( Z_{i}\right) $ de $Z_{i}$
.

\item Quel gain journalier $Z$ la soci\'{e}t\'{e} peut-elle esp\'{e}rer ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{PARTIE II. Cas de joueurs inv\'{e}t\'{e}r\'{e}s.}

\begin{enumerate}
\item Un Joueur d\'{e}cide de ,jouer $100$ parties cons\'{e}cutives que l'on
suppose ind\'{e}pendantes.

\begin{enumerate}
\item Donner la loi de la variable al\'{e}atoire $X$ \'{e}gale au nombre de
parties gagn\'{e}es.

\item Indiquer l'esp\'{e}rance et la variance de $X$.

\item Exprimer la perte $T$ du joueur en fonction de $X$.
\end{enumerate}

\item Quel nombre minimum $n$ de parties devrait-il jouer pour que la
probabilit\'{e} de gagner au moins une partie soit sup\'{e}rieure ou \'{e}%
gale \`{a} $50\%$ ? (On admettra que $\ln \left( \dfrac{19}{21}\right)
\simeq-0,1$ et $\ln \left( 2\right) \simeq0,7$ )
\end{enumerate}

\subsection*{PARTIE III. Contr\^{o}le de la qualit\'{e} du jeu.}

On constate que, parfois, la fonction al\'{e}atoire est d\'{e}r\'{e}gl\'{e}%
e. Dans ce cas, elle place le premier jeton dans la case $\left( A,1\right) $
, les deux autres \'{e}tant plac\'{e}s au hasard dans les cases restantes.
On note $\Delta$ l'\'{e}v\'{e}nement "la fonction al\'{e}atoire est d\'{e}%
r\'{e}gl\'{e}e" et on pose $\mathrm{P}\left( \Delta \right) =x$ avec $x\in %
\left] 0,1\right[ $.

\begin{enumerate}
\item Calculer les probabilit\'{e}s conditionnelles $\mathrm{P}_{\Delta
}\left( H\right) ,\ \mathrm{P}_{\Delta}\left( V\right) ,\ \mathrm{P}%
_{\Delta}\left( D\right) $ des \'{e}v\'{e}nements $H,$ $V$,\ $D$ sachant l'%
\'{e}v\'{e}nement $\Delta.$

\item Utiliser la formule des probabilit\'{e}s totales avec le syst\`{e}me
complet d'\'{e}v\'{e}nement $\left( \Delta,\overline{\Delta}\right) $ pour
en d\'{e}duire que la probabilit\'{e} les jetons ne soient pas align\'{e}s
est \'{e}gal \`{a} $:$%
\begin{equation*}
\mathrm{P}\left( N\right) =-\frac{x}{84}+\frac{19}{21}
\end{equation*}

\item Soit $G$ la variable al\'{e}atoire \'{e}gale au gain r\'{e}alis\'{e}
par la soci\'{e}t\'{e} de jeu lors d'une partie jou\'{e}e. D\'{e}terminer la
valeur maximale de $x$ pour que l'esp\'{e}rance de gain soit positive.

\item On joue une partie. On constate que les jetons sont align\'{e}s.
Quelle est la probabilit\'{e}, en fonction de $x,$ que la fonction al\'{e}%
atoire ait \'{e}t\'{e} d\'{e}r\'{e}gl\'{e}e ?
\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{ex}[ECRICOME 2004]
Dans cet exercice, on \'{e}tudie l'exponentielle d'une matrice pour une
matrice carr\'{e}e d'ordre 3, puis d'ordre 2. On admettra le résultat suivant utile pour la partie 2 :
\[\forall x >0,  \lim\limits_{n \to +\infty} \sum_{k=0}^n \dfrac{x^k}{k!} = e^x \]

\subsection*{PARTIE I. Exponentielle d'une matrice carr\'{e}e d'ordre 3.}

Soient $A$ et $P$ les matrice d\'{e}finies par : 
\[
A=\left( 
\begin{array}{rrr}
1 & 1 & 1 \\ 
-1 & 1 & -1 \\ 
-2 & 0 & -2
\end{array}
\right) ,\quad P=\left( 
\begin{array}{rrr}
2 & 1 & 1 \\ 
-1 & 2 & -1 \\ 
1 & -1 & 1
\end{array}
\right) 
, \quad Q=\left( 
\begin{array}{rrr}
1 & -2 & -3 \\ 
0 & 1 & 1 \\ 
-1 & 3 & 5
\end{array}
\right)
\]

\begin{enumerate}
\item \'Ecrire un programme scilab permettant de trouver l'inverse de $P$. 
\item  Montrer que la matrice $P$ est inversible et que $P^{-1} = Q $
\item  On pose $T=P\,A\,P^{-1}.$

\begin{enumerate}
\item  Calculer la matrice $T$

\item  Calculer $T^{2},\;T^{3},$ puis $T^{n}$ pour out entier naturel $n\ge
3.$
\end{enumerate}

\item  En d\'{e}duire que : 
\[
\forall n\ge 3,\quad A^{n}=0
\]
o\`{u} $0$ d\'{e}signe la matrice nulle d'ordre 3.

\item  Pour tout r\'{e}el $t,$ on d\'{e}fint la matrice $E\left( t\right) $
par : 
\[
E\left( t\right) =I+tA+\frac{t^{2}}{2}A^{2}
\]
o\`{u} $I$ d\'{e}signe la matrice unit\'{e} (identité) d'ordre 3.

\begin{enumerate}
\item  Montrer que : 
\[
\forall \left( t,t^{\prime }\right) \in \Bbb{R}^{2},\quad E\left( t\right)
E\left( t^{\prime }\right) =E\left( t+t^{\prime }\right) 
\]

\item  Pour tout $t$ r\'{e}el, calculer $E\left( t\right) E\left( -t\right) .
$ En d\'{e}duire que la matrice $E\left( t\right) $ est inversible et
d\'{e}terminer son inverse en fonction de $I,\;A,\;A^{2},\;t$.

\item  Pour tout $t$ r\'{e}el et pour tout entier naturel $n,$
d\'{e}terminer $\left[ E\left( t\right) \right] ^{n}$ en fonction de $%
I,\;A,\;A^{2},\;t$ et $n.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{PARTIE II. Exponentielle d'une matrice carr\'{e}e d'ordre 2.}

Soient $B$ et $D$ les matrices d\'{e}finies par : 
\[
B=\left( 
\begin{array}{rr}
0 & -1 \\ 
2 & 3
\end{array}
\right) ,\quad D=\left( 
\begin{array}{rr}
1 & 0 \\ 
0 & 2
\end{array}
\right) , \quad
Q = \left( 
\begin{array}{rr}
1 & 1 \\ 
-1 & -2
\end{array}
\right).
\]

Pour tout entier naturel $n$ nonnul, et pour tout r\'{e}el $t,$ on
d\'{e}finit la matrice $E_{n}\left( t\right) $ par : 
\[
E_{n}\left( t\right) =\sum_{k=0}^{n}\frac{t^{k}}{k!}B^{k}\;\text{que l'on
note\ }E_{n}\left( t\right) =\left( 
\begin{array}{rr}
a_{n}\left( t\right) & c_{n}\left( t\right) \\ 
b_{n}\left( t\right) & d_{n}\left( t\right)
\end{array}
\right) 
\]

\begin{enumerate}
\item  Montrer que $Q$ est inversible et donner son inverse.

\item  En déduire que
\[
Q^{-1}BQ=D
\]

\item  Pour tout entier naturel $n,$ montrer que : 
\[
B^{n}=\left( 
\begin{array}{cc}
2-2^{n} & 1-2^{n} \\ 
2^{n+1}-2 & 2^{n+1}-1
\end{array}
\right) 
\]

\item  Montrer que : 
\[
\forall n\in \Bbb{N},\quad a_{n}\left( t\right) =\sum_{k=0}^{n}\frac{%
2t^{k}-\left( 2t\right) ^{k}}{k!}
\]
exprimer de m\^{e}me $b_{n}\left( t\right) ,\;c_{n}\left( t\right)
,\;d_{n}\left( t\right) $ sous le forme d'une somme.

\item  D\'{e}terminer les limites de $a_{n}\left( t\right) ,\;b_{n}\left(
t\right) ,\;c_{n}\left( t\right) ,\;d_{n}\left( t\right) $ lorsque $n$ tend
vers $+\infty .$

\item  Pour tout $t$ r\'{e}el, onpose alors : 
\[
E\left( t\right) =\left( 
\begin{array}{cc}
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }a_{n}\left( t\right)  & 
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }c_{n}\left( t\right)  \\ 
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }b_{n}\left( t\right)  & 
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }d_{n}\left( t\right) 
\end{array}
\right) 
\]

\begin{enumerate}
\item  Montrer que 
\[
E\left( t\right) =\left( 
\begin{array}{cc}
2e^{t}-e^{2t} & e^{t}-e^{2t} \\ 
2e^{2t}-2e^{t} & 2e^{2t}-e^{t}
\end{array}
\right) 
\]

\item  D\'{e}terminer les matrice $E_{1}$ et $\;E_{2},$ telles que pour tout 
$t$ r\'{e}el on ait : 
\[
E\left( t\right) =e^{t}E_{1}+e^{2t}E_{2}
\]

\item  Calculer $E_{1}^{2},\;E_{2}^{2},\;E_{1}E_{2},\;E_{2}E_{1}.$

\item  En d\'{e}duire que pour tout $t$ r\'{e}el, $E\left( t\right) $ est
inversible et d\'{e}terminer son inverse.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ex}


\end{document}