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\lhead{ECE1}
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\rfoot{M Leboucher}
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% Question multiple
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\begin{document}

\noindent {\bfseries Durée:} 4 heures \hfill Lundi 9 Octobre 2017 \\
\textbf{Aucune sortie autorisée pendant les 2 premières heures et le dernier quart d'heure}\\

\begin{center}
{\LARGE \textbf{Devoir Surveillé n°2}}
\end{center}

\begin{center}
Aucun matériel ni documents autorisés \\
Cherchez un maximum de questions et répondez même si vous n'êtes pas sur de la réponse. \\
Relisez vos réponses et encadrez vos résultats.
{Le sujet comporte 4 pages !}\\
\end{center}
\hrule

\begin{ex}[4 points]
Calculer les sommes suivantes et donner une écriture factorisée la plus simple possible :
$$
A_n = \sum_{k=1}^{n+1} k^2 , \qquad B_n = \sum_{k=1}^{n} k(k-1) \qquad C_n =  \sum_{k=2}^n q^k
$$
\end{ex}

\begin{ex}[21 points]
Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \dfrac{e^{2x} + 1}{e^{2x} - 1}$. 

{\bf A. \'Etude sur $]0,+\infty[$}
\begin{enumerate} 
\item \begin{enumerate}
	\item  Déterminer l'ensemble de définition et de dérivabilité de $f$.
	\item  Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$. Montrer que $f'(x) 	= \dfrac{-4e^{2x}}{(e^{2x} -1)^2}$ et déterminer son signe.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
	\item  Montrer que pour tout $x$ de $\R^*$, $f(x) = 1 + \dfrac{2}{e^{2x} -1}$.
	\item En déduire la limite de $f$ en $+\infty$.
	\item Déterminer la limite de $f$ en $0$ par valeur strictement supérieure.
	\end{enumerate}
\item En utilisant les résultats précédents, dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0,+\infty[$. Déterminer le signe de $f$ sur $]0,+\infty[$.
\item Primitives de $f$ sur $]0,+\infty[$.
	\begin{enumerate}
	\item Déterminer l'ensemble de définition et la dérivée de la fonction $g$ définie par: 
	\[g(x) = \ln(e^{2x} - 1) - x.\]
	\item En déduire une primitive de $f$ sur $]0,+\infty[$.
	\item Déterminer le sens de variation de $g$ et sa limite en $0$ par valeur supérieure.
	\item En écrivant $e^{2x} - 1 = e^{2x}(1 - e^{-2x})$, déterminer la limite de $g$ en $+\infty$.
	\item Montrer que l'équation $g(x) = 0$ a une unique solution sur $]0,+\infty[$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

{\bf B. Construction de $\mathscr{C}$, la courbe représentative de $f$.}
	\begin{enumerate}
	\item Montrer que pour tout $x$ non nul, $f(x) + f(-x) = 0$. En déduire les symétries de $\mathscr{C}$.
	\item Calculer $f(\ln(3))$ et $f'(\ln(3))$(on donnera leur valeur exacte). Donner l'équation de la droite $\Delta$ tangente à la courbe en $x = \ln(3)$. Construire la droite $\Delta$ et $\mathscr{C}$. On donne les valeurs approchées:
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
ln(3) & 5/4 & 9/16 & 9/32 \\
\hline
1,1 & 1,2 & 0,6 & 0,3 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
	\end{enumerate}

\end{ex}

\begin{ex}[9 points]
 Pour chacun des trois ensembles suivants, dites si les énoncés suivant sont vrais ou faux. Attention on comptera +1 pour une bonne réponse, 0 pour une absence de réponse et -1 pour une mauvaise.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|l|l|l|}  
\hline
\rule[-2ex]{0pt}{5ex} &$A=\{0,1,2\}$               &$A=]-\infty ; 2]\cap\Z$         &$A=[2 ; +\infty[\cup \Z$      \\
\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} $\forall x\in A,\exists y\in\N,x<y$   & & & \\
\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} $\exists x\in A,\forall y\in\N,x\geq y$         & & &\\
\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} $\exists x\in\N,\forall y\in A,y<x$ & & &\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{ex}

\vspace{10pt}
\begin{ex}[7 points]
Dans tout l'exercice $n \in\N$. Le but de cet exercice est de montrer que : $ \sqrt{n^2 +1}$ est un entier $\Leftrightarrow n=0$. 
\begin{enumerate}
\item Prouver d'abord l'implication $n = 0 \implies \sqrt{n^2 +1}$ est un entier.
\item On veut démontrer la proposition : $a,b \in \N, \; ab=1 \Rightarrow a= 1 \; \rm{et} \; b = 1$.
	\begin{enumerate}
	\item \'Ecrivez la contraposée et la négation de cette implication.
	\item Montrer que si $a \in \N, ab = 1$ et $a \neq 1$ alors $b$ n'est pas un entier.
	\item Grâce à un raisonnement par l'absurde, conclure que $a,b \in \N, \; ab=1 \Rightarrow a= 1 \; \rm{et} \; b = 1$.
	\end{enumerate}
\item On va désormais montrer l'implication : $\sqrt{n^2 +1}$ est un entier $\implies n = 0$. On suppose donc que $\sqrt{n^2 +1}$ est un entier et on pose $\sqrt{n^2+1} = p \in \N$. 
	\begin{enumerate}
	\item  Montrer que : $ (p-n)(p+n) = 1 .$
	\item Montrer que $ (p-n)(p+n) = 1 \implies n=0 \; \rm{et} \; p=1$ et conclure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ex}

\vspace{10pt}
\begin{ex}[4 points]
Les exercices suivants sont indépendants. Vous justifierez du mieux que vous pourrez vos réponses. 
\begin{enumerate}
\item Soit $E = \{ 0,1 \}$. Déterminer $\mathscr{P}(E)$ l'ensemble des parties de $E$ (on demande d'écrire toutes les parties de $E$).
\item On a 3 urnes différentes. Dans la premières, il y a 4 boules jaunes numérotées de $1$ à $4$. Dans la seconde il y a 6 boules rouges numérotées de 1 à 6. Dans la troisième il y a 3 boules vertes numérotées de 1 à 3. On tire une boule dans chaque urne. Combien y a-t-il de résultats possible pour cette expérience ?
\item Au loto, on tire 6 boules d'une urne qui en contient $49$. Combien y a-t-il de tirages possibles ? (On ne demande pas un résultat numérique. Laissez le résultat sous forme de formule).
\item En final du 400 m, 8 coureuses sont sur la ligne de départ. Combien de combinaison de podium sont possibles ?
\end{enumerate}

\end{ex}

\newpage
\begin{ex}[Inspiré de ESLSCA-ISC 1999 - 34 points ]
. \\
Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \sqrt{\dfrac{1+x}{2}}$
et $(u_n)_{n \in \N}$ la suite définie par la donnée de $u_0$ et la relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$.

\vspace{10pt}
{\bf A) \'Etude de la suite $u$.}
\begin{enumerate}
\item \'Etude de $f$.
	\begin{enumerate}
	\item \'Etudier le domaine de définition de $f$.
	\item \'Etudier les variations de $f$ et préciser la limite de $f$ en $+\infty$.
	\item Résoudre l'équation $f(x) = x$ et l'inéquation $f(x) > x$. (On admettra que $\lim\limits_{x \to + \infty} f(x) - x = - \infty$)
	\item Tracer la courbe représentative de $f$ et la droite $\Delta$ d'équation $y = x$.
	\end{enumerate}
\item Dans cette partie on suppose que $u_0 = 0$.
	\begin{enumerate}
	\item Montrer par récurrence que $\forall n \in \N, u_n$ est bien définie et $u_n \geq 0$.
	\item Montrer que la suite $u$ est croissante et majorée par 1. (Indication : On pourra montrer par récurrence la proposition $\mathscr{P}_n : \{ 1 \geq u_{n+1} \geq u_n \}$
	\end{enumerate}
\item Dans cette partie on suppose que $u_0 > 1$.
	\begin{enumerate}
	\item Montrer par récurrence que $\forall n \in \N, u_n$ est bien définie et $u_n \geq 1$.
	\item Montrer que la suite $u$ est monotone.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{10pt}
{\bf B) Calcul de $u_n$ en fonction de $n$ quand $u_0 > 1$ .}
On suppose désormais que $u_0 > 1$
\begin{enumerate}
\item \'Etude de fonctions auxiliaires.
On définit les fonctions cosinus hyperbolique (${\rm ch}$) et sinus hyperbolique (${\rm sh}$) par ${\rm ch}(x) = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$
et ${\rm sh}(x) = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}$.
	\begin{enumerate}
	\item Exprimer la dérivée des fonctions ch et sh en fonction de ch et sh.
	\item Montrer que pour tout réel $x$, ${\rm ch}(x) > 0$, calculer ${\rm sh}(0)$ et déterminer le signe de ${\rm sh}(x)$.
	\item Donner la limite de ${\rm ch}$ en $+\infty$ et $-\infty$.
	\item En déduire qu'il existe un unique réel $\alpha > 0$ tel que $\rm{ch}(\alpha) = u_0$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
	\item Montrer que pour tout réel $x$, $2 {\rm ch}\left( \dfrac{x}{2} \right)^2 - 1 = {\rm ch}(x)$.
	\item En déduire que pour tout entier $n$, $u_n = \rm{ch}\left(\dfrac{\alpha}{2^n} \right)$. (on vérifiera la condition initiale et que pour tout $n$ entier, $u_{n+1} = f(u_n)$).
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{ex}

\newpage
\begin{ex}[EDHEC 2001 - 21 points]
.

\begin{center}
{\bf Partie 1}
\end{center}
On pose, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1$, $\displaystyle v_n = \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}$.
\begin{enumerate}
\item \'Ecrire un script (dans le langage courant ou le langage de votre choix (TI, Scilab) permettant de demander à l'utilisateur d'entrer un nombre $n$ et qui renvoie $v_n$. Vous organiserez votre programme selon 4 axes : Variables - Initialisation - Traitement - Sortie. 
\item Montrer que : $\forall k > 1, \dfrac{1}{k} \leq ln (k) - ln (k - 1)$ (Indication : pensez aux intégrales)
\item En déduire que : $\forall n \in \N,\; v_n \leq ln(n) + 1.$
\end{enumerate}

\begin{center}
{\bf Partie 2} 
\end{center}
On considère une suite $u$ définie par son premier terme $u_0 = 1$ et par la relation suivante, valable pour tout entier $n$ :
$$ u_{n+1} = u_n + \dfrac{1}{u_n} .$$
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
	\item Montrer par récurrence que chaque terme de cette suite est parfaitement défini et strictement positif.
	\item En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.
	\end{enumerate}	
\item 
	\begin{enumerate} 
	\item Pour tout entier $k$, exprimer $u^2_{k+1} - u^2_k$ en fonction de $u^2_k$.
	\item En déduire que : $\forall n \in \N^* $: $\displaystyle u^2_n = 2n + 1 + \sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{u_k^2}$.
	\item Montrer que : $ \forall n \in \N^*$, $u^2_n \geq 2n + 1$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
	\item A l'aide du résultat précédent, montrer que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 2 :
$$ u^2_n \leq 2n + 2 + \dfrac{1}{2} v_{n-1}. $$
	\item En utilisant la partie 1, établir que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 2 :
$$ u^2_n \leq 2n + \frac{5}{2} + \frac{\ln(n-1)}{2} .$$
	\end{enumerate}	 
\end{enumerate}
\end{ex}

\end{document}