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\lhead{ECE1}
\chead{Devoir surveillé n°1}
\rhead{2017-2018}
\lfoot{}
\cfoot{\'Etude de fonctions, logique et raisonnement}
\rfoot{M Leboucher}
\theoremstyle{break}
\newtheorem{theorem}{Théorème}
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\newtheorem{ex}[theorem]{Exercice}
\newtheorem{problem}[theorem]{Problème}
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% Question multiple
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	\begin{multicols}{#1}
	\begin{enumerate}
	}{
	\end{enumerate}
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\newcommand{\Cc}{\mathbb{C}}
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\newcommand{\R}{\mathbb{R}}

\begin{document}

\noindent {\bfseries Durée:} 2 heures \hfill Lundi 25 septembre 2017 \\
\textbf{Aucune sortie autorisée}\\

\begin{center}
{\LARGE \textbf{Devoir Surveillé n°1}}
\end{center}

\begin{center}
Aucun matériel ni documents autorisés \\
Cherchez un maximum de questions et répondez même si vous n'êtes pas sur de la réponse (à part pour l'exercice 2 !). \\
Celui ou ceux qui essaieront le plus de questions auront un point bonus. \\
{Le sujet comporte 2 pages !}\\
\end{center}
\hrule
\vspace{10mm}

\begin{ex}{}
Soit $f$ une fonction de $\Rr$ dans $\Rr$. Traduire
en termes de quantificateurs les expressions suivantes :
\begin{qmulti}{2}
  \item $f$ est paire;
  \item $f$ est strictement croissante;
  \item $f$ n'est pas la fonction nulle;
  \item L'équation $f(x) = 0$ a exactement une solution
  \item $M$ est le maximum de la fonction $f$ sur $\Rr$.
  \item $f$ n'est pas une fonction décroissante ;
\end{qmulti}
\end{ex}

\begin{ex}{}
Pour chacune des assertions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. On ne demande pas de justification mais on comptera +1 pour une bonne réponse, -0,5 pour une mauvaise réponse et 0 pour une absence de réponse. 
\begin{enumerate}
\item $P_{1\:}:\:\forall x\in\mathbb{R},\:\exists y\in\mathbb{R}\:/\: x>y$
\item $P_{2\:}:\:\forall x,y\in\mathbb{N},(x+y=1\Rightarrow x=1\; ou\; y=1)$
\item $P_{3\:}:\:\forall x,y\in(\mathbb{R}^{+}),(x+y=0\Rightarrow x=0\; et\; y=0)$
\item $P_{4\:}:\:\forall x\in\mathbb{R},(x=3\Rightarrow x^{2}=9)$
\item $P_{5\:}:\:\forall x\in\mathbb{R},(x^{2}=9\Rightarrow x=3)$
\item$P_6:\exists \eta>0,\forall \epsilon>0,0\leq\eta\leq\epsilon$
\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{ex}{}
Pour $x \in \R$, on définit la fonction $f$ par $f(x) = x^3 +5x - 1$.
\begin{enumerate}
\item Calculer les limites de $f$ en $+ \infty$ et $- \infty$.
\item \'Etudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}.$

\item Calculer $f(0)$ et $f(1/2)$.
\item En déduire que l'équation $x^{3}+5x-1=0$ admet une unique solution $%
\alpha $ dans $\mathbb{R}.$
\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{ex}{}
\begin{enumerate}
\item Soient $a,b \in \Rr_+$. Montrer par raisonnement direct que si $a \leq b$ alors $a \leq \dfrac{a+b}{2} \leq b$ et $a \leq \sqrt{ab} \leq b$.
\item Montrer en utilisant une disjonction de cas que pour tout $n \in \N$, $n(n+1)$ est un entier pair. 
\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{ex}{}
Soit $g$ la fonction définie par $g:x \to \ln(1+x^2)$.
\begin{enumerate}
\item
Déterminer son ensemble de définition puis son signe. 
\item
Dresser alors son tableau de variations. 
\item Calculer les limites de $g$ en $+ \infty$ et $- \infty$.
\item
On fixe $y\in\R$. Résoudre l'équation d'inconnue $x$, $g(x)=y$ (on distinguera différents cas suivant la valeur de $y$).
\item
En étudiant une fonction annexe, 
déterminer la position relative de la courbe représentative de $g$ et de la droite d'équation $y=x$. 
\item Donner l'allure de la courbe représentative de la fonction $g$ en faisant figurer la droite $y =x$.
\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{ex}[Inspiré d'un sujet EDHEC 2000]
$\;$
\vspace{-10pt}
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble $D$ des réels tels que $e^x - e^{-x} > 0$. \\
On définit la fonction $f$ par : $\forall x \in D, f(x) = \ln(e^x - e^{-x} ) . $\\
On note $(C)$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé.
\item   
\begin{enumerate}
\item \'Etudier les variations de $f$ et donner les limites de $f$ aux bornes de $D$.
\item En déduire l'existence d'un unique réel $\alpha$ vérifiant $f(\alpha) = 0$, puis montrer que $\alpha = \ln \left( \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)$. 
\item Montrer que le coefficient directeur de la tangente $(T)$ à la courbe $(C)$ au point d'abscisse $\alpha$ vaut $\sqrt{5}$.
\end{enumerate}
\item Donner l'allure de la courbe $(C)$ en faisant figurer la droite $(T)$. On admettra que $\alpha \simeq 0,5$ et que $\sqrt{\alpha} \simeq 2,2$.

\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{ex}{}
Soient $a,b \in \Zz$. Montrer en utilisant la contraposée et un raisonnement par l'absurde que (on pourra utiliser le fait que $\sqrt{2}$ est irrationnel) : \\
\begin{center}
" Si $b \neq 0$ alors $a + b\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$."
\end{center}
\end{ex}

\end{document}