\documentclass[a4paper,french,12pt]{article}
\usepackage{amssymb}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[a4paper]{geometry}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{theorem}
\usepackage{multicol}
\usepackage{hyperref}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{tikz}
\usepackage[tikz]{bclogo}
\usepackage{mathrsfs}


\setcounter{MaxMatrixCols}{10}
%TCIDATA{OutputFilter=LATEX.DLL}
%TCIDATA{Version=5.00.0.2552}
%TCIDATA{<META NAME="SaveForMode" CONTENT="1">}
%TCIDATA{Created=Monday, August 30, 2004 17:45:53}
%TCIDATA{LastRevised=Monday, August 30, 2004 21:23:05}
%TCIDATA{<META NAME="GraphicsSave" CONTENT="32">}
%TCIDATA{<META NAME="DocumentShell" CONTENT="abdellah\bech_exercice_paysage">}


\geometry{margin={1cm,2cm}}
 \pagestyle{fancy}
\lhead{ECE1}
\chead{Devoir surveillé n°0}
\rhead{2017-2018}
\lfoot{}
\cfoot{Retour de vacances}
\rfoot{M Leboucher}
\theoremstyle{break}
\newtheorem{theorem}{Théorème}
\theorembodyfont{\rmfamily}
\newtheorem{ex}[theorem]{Exercice}
\newtheorem{problem}[theorem]{Problème}
\newtheorem{remark}[theorem]{Remarque}
\newtheorem{solution}[theorem]{Solution}
\setlength{\columnseprule}{0.5pt}
%\input{tcilatex}

% Question multiple
\newenvironment{qmulti}[1]{
	\def\columnseprulecolor{\color{white}}
	\begin{multicols}{#1}
	\begin{enumerate}
	}{
	\end{enumerate}
	\end{multicols}
	\vspace{-1pt}}

\newcommand{\Rr}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Cc}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Zz}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}

\begin{document}

\begin{center}
\fbox{ \Large Mardi 5 Septembre 2017 - Durée : 3h}
\end{center}
\vspace{10pt}

\begin{ex}[Calcul littéral]
Développer et réduire les expressions suivantes.
\begin{qmulti}{2}
\item $A = 3x^3 - (x-2)(2x+3)(x-5)$. 
\item $B = (2x+5)^2 - (4x+3)(2x+3)$.
\end{qmulti}
\end{ex}

\begin{ex}[Fractions]
\'Ecrire sous la forme la plus simple possible.
\begin{qmulti}{2}
\item $ C = \dfrac{24}{18} \times \dfrac{81}{12} \times \dfrac{36}{27}$.
\item $ D = \displaystyle - \frac{2x+4}{x} \times \frac{x}{-2x+4}\times \frac{2-x}{2+x} $.
\end{qmulti}
\end{ex}

\begin{ex}[Racines carrées]
Simplifier au maximum les expressions suivantes en faisant disparaître la racine carré du dénominateur le cas échéant:
\begin{qmulti}{2}
\item $E = (\sqrt{5} +3)(\sqrt{5}-3)$.
\item $F = \dfrac{1+\sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$.
\end{qmulti}
\end{ex}

\begin{ex}[Puissances]
Simplifier les expressions au maximum
\begin{qmulti}{3}
\item $G = 16 (-4)^2n$.
\item $H = 3^6 \times 5^4$.
\item $I = \dfrac{x^2 - 2x +1}{(x-1)^2}$.
\end{qmulti}
\end{ex}

\begin{ex}[\'Equations]
R\'esoudre les \'equations suivantes par la m\'ethode de votre choix.
\begin{qmulti}{3}
\item $x^2 - 6x + 9 = 0$.
\item $(3x+1)^2 - 36 = 0$. 
\item $(\ln(x)-2)(4-5\ln (x)) = 0$.
\end{qmulti}
\end{ex}

\begin{ex}[Logarithme et exponentielle]
Simplifier les expressions suivantes
\begin{qmulti}{2}
\item $J = \ln \left( \dfrac{1}{\sqrt{e}} \right)$.
\item $K = \ln\left( \dfrac{\sqrt{6}+1}{2} \right) +\ln\left( \dfrac{\sqrt{6}-1}{2} \right)$.
\end{qmulti}
\end{ex}

\begin{ex}[Inéquations]
R\'esoudre les in\'equations suivantes par la m\'ethode de votre choix.
\begin{qmulti}{2}
\item $4x^2 +2x \geq 0$
\item $\dfrac{1}{x-1} < \dfrac{1}{x+1}$.
\end{qmulti}
\end{ex}

\begin{ex}[dérivées]
Donner les dérivées des fonctions suivantes :
\begin{qmulti}{3}
\item $f : x \to \ln(x^4)$.
\item $g : x \to e^{1-ax}$.
\item $h: x \to (\sqrt{x}+1) \times (x^2 - 2)$.
\end{qmulti}
\end{ex}

\begin{ex}[QCM]
{\it Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée.}

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $]0;10]$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}$ est donnée ci-dessous dans un repère d'origine $O$.

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{Courbe1.png}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Le nombre de solutions sur l'intervalle ]0;10] de l'équation $f'(x) = 0$ est égal à :
\begin{qmulti}{3}
\item 1
\item 2
\item 3
\end{qmulti}
\item Le nombre réel $f'(7)$ est :
\begin{qmulti}{3}
\item nul
\item strictement positif
\item strictement négatif
\end{qmulti} 
\item La fonction $f'$ est :
\begin{qmulti}{3}
\item croissante sur ]0;10]
\item croissante sur [4,7]
\item décroissante sur [4,7]
\end{qmulti}
\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{ex}[Problème]
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.
\begin{center}
\begin{Large}
{\bf Partie A}
\end{Large}
\end{center}
Dans cette partie, les réponses seront données sans justification, avec la précision permise par le graphique situé sur la page suivante.

Celui-ci présente dans un repère d'origine O la courbe représentative $\mathscr{C}$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0 ; 7]$.
\begin{enumerate}
\item Encadrer par deux entiers consécutifs chacune des solutions de l'équation $f(x) =10$ sur l'intervalle $[0;7]$.
\item Donner le maximum de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0;7]$ et préciser la valeur en laquelle il est atteint.
\item La valeur de l'intégrale $\int_1^3 f(x) dx$ appartient à un seul des intervalles suivants. Lequel ?
\begin{qmulti}{3}
\item $[9;17]$
\item $[18;26]$
\item $[27;35]$
\end{qmulti}
\end{enumerate}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{Courbe2.png}
\end{center}
\begin{center}
\begin{Large}
{\bf Partie B}
\end{Large}
\end{center}

La courbe ci dessus est la représentation graphique de la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle [0;7] d'expression :
$$ f(x) = 2x e^{-x+3} .$$

On rappelle que $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0;7]$, $f'(x) = (-2x+2)e^{-x+3}$.
\item 
\begin{enumerate}
\item \'Etudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[0;7]$ puis en déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur ce même intervalle.
\item Calculer le maximum de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0;7]$.
\end{enumerate}
\item Justifier que l'équation $f(x)= 10$ admet deux solutions sur l'intervalle $[0;7]$.
\item On considère la fonction $F$ définie sur l'intervalle [0;7] par :
$$ F(x) = (-2x-2)e^{-x+3} .$$
\begin{enumerate}
\item Justifier que $F$ est une primitive de $f$ su l'intervalle $[0;7]$.
\item Calculer la valeur exacte de l'aire du domaine plan délimité par les droites d'équation $x=1$, $x=3$, l'axe des abscisses et la courbe $\mathscr{C}$.
\end{enumerate}
\item La fonction $f$ étudiée modélise le bénéfice d'une entreprise, en milliers d'euros, réalisé pour la vente de $x$ centaines d'objets ($x$ compris entre $0$ et $7$).
\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur moyenne du bénéfice, à l'euro près, lorsque l'entreprise vend entre 100 et 300 objets.
\item L'entreprise souhaite que son bénéfice soit supérieur à 10000 euros. Déterminer le nombre d'objets possibles que l'entreprise devra vendre pour atteindre son objectif. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ex}

\vspace{20pt}

\begin{ex}[Suites]
Le $1^{er}$ septembre 2016, un ensemble scolaire compte 3000 élèves. Une étude statistique interne a montré que chaque $1^{er}$ septembre :
\begin{itemize}
\item $10 \%$ de l'effectif quitte l'établissement ;
\item 250 nouveaux élèves s'inscrivent.
\end{itemize}
On cherche à modéliser cette situation par une suite $(u_n)$ où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente le nombre d'élèves le $1^{er}$ septembre de l'année $2016+n$.
\begin{enumerate}
\item Justifier qu'on peut modéliser la situation avec la suite $(u_n)$ telle que $u_0 = 3000$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0.9u_n + 250$.
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n = u_n - 2500$. 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $(v_n)$ est est géométrique de raison $0,9$. Préciser $v_0$. 
\item Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $v_n$ en fonction de $n$. \\ En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n = 500 \times 0,9^n + 2500$. 
\end{enumerate}
\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} - u_n = -50 \times 0,9^n$. \\
En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$. 
\item La capacité optimale d'accueil est de 2800 élèves. Ainsi, au $1^{er}$ septembre 2016, l'ensemble scolaire compte un sur-effectif de 200 élèves. \\

Écrire un algorithme permettant de déterminer à partir de quelle année, le contexte restant le même, l'ensemble scolaire ne sera plus en sur-effectif. 
\end{enumerate}
\end{ex}

\end{document}