\input{../preambules/preDM.tex}

\begin{document}

\chead{Devoir maison n°7}
\rhead{2017-2018}
\lfoot{}
\cfoot{Systèmes - Applications - Séries.}

\begin{center}
\fbox{ \Large A rendre pour le jeudi 22 Février 2017}
\end{center}
\vspace{10pt}

\begin{exo}[Jeu de cartes]
On dispose d'un jeu de 32 cartes et de 3 jeux de 52 cartes. On tire au sort l'un des jeux puis on
tire une carte dans ce jeu. Quelle est la probabilité d'obtenir la dame de c?ur ?
Si on obtient la dame de c?ur, quelle est la probabilité d'avoir choisi le jeu de 32 cartes ? 
\end{exo}

\begin{exo}[\'Equiprobabilité et indépendances] 
On lance 3 fois de suite un dé. Calculer la probabilité d'obtenir 2 fois le numéro 4 de deux manières
différentes :
\begin{enumerate}
\item situation équiprobable
\item Situation d'indépendance
\end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo}
On dispose de deux urnes $U_1$ et $U_2$ : $U_1$ contient 2 boules blanches et 2 boules noires et $U_2$ contient
une boule blanche et 3 boules noires. On effectue des tirages avec remise d'une boule selon le
protocole suivant :
\begin{itemize}
\item le premier tirage se fait dans l'urne $U_1$
\item si le $n^{i\grave{e}me}$ tirage a donné une boule blanche (resp. noire), le $n+1$ ième tirage s'effectue dans l'urne $U_1$ (resp. $U_2$).
\end{itemize} 
On introduit les événements $B_n$ (resp $N_n$) "le $n^{i\grave{e}me}$ tirage donne une boule blanche (resp. noire) " et on note $p_n = P(B_n)$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $p_1$ puis $p_2$.
\item Les événements $B_1$ et $B_2$ sont-ils indépendants ?
\item A l'aide de la formule des probabilités totales, montrer que pour tout $n \in \N$, $p_{n+1} = \dfrac{1}{4}p_n + \dfrac{1}{4}$.
\item En déduire $p_n$ en fonction de $n$ ; puis déterminer sa limite quand $n \to + \infty$.
\end{enumerate} 
\end{exo}

\begin{exo}[Pièce truquée]
Dans un lot de 100 pièces de monnaie toutes de même apparence, ont été mélangées 60 pièces équilibrées et 40 pièces truquées. La probabilité d'apparition de " Face " lors d'un jet d'une pièce truquée est $\dfrac{3}{4}$.
{\it Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.}
\begin{enumerate}
\item On prend une pièce au hasard et on la lance. Soit $T$ l'évènement : " la pièce est truquée " et $F$ l'évènement : " on obtient Face ".
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité d'obtenir " Face" (on pourra s'aider d'un arbre).
\item Quelle est la probabilité que la pièce soit truquée sachant que l'on a obtenu "Face" ?
\end{enumerate}
\item On prend une pièce au hasard et on la lance quatre fois.
\begin{itemize}
\item si au cours des quatre lancers on obtient quatre fois "Face", on décide d'éliminer la pièce,
\item dans le cas contraire, on décide de conserver la pièce.
\end{itemize}
On note E l'évènement "la pièce est éliminée".
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que la pièce soit éliminée sachant qu'elle est équilibrée ?
\item Quelle est la probabilité que la pièce soit conservée sachant qu'elle est truquée ?
\item Quelle est la probabilité d'avoir pris une pièce équilibrée et de l'avoir éliminée ou d'avoir
pris une pièce truquée et de l'avoir conservée ?
\item Quelle est la probabilité que la pièce soit éliminée sachant qu'elle est truquée ? En déduire
P(E).
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}

\end{document}