\input{../preambules/preDM.tex}

\begin{document}

\chead{Devoir maison n°6}
\rhead{2017-2018}
\lfoot{}
\cfoot{Systèmes - Applications - Séries.}

\begin{center}
\fbox{ \Large A rendre pour le jeudi 25 Janvier 2017}
\end{center}
\vspace{10pt}

\begin{exo}
On appelle valeur propre d'une matrice $A$ (resp. vecteur propre), le nombre réel $\lambda$ (resp. le vecteur $X$ non nul) vérifiant $AX = \lambda X$. Cela revient à écrire $AX - \lambda X = 0$ ou $(A - \lambda I)X = 0$. 
\begin{enumerate}
\item Expliquez pourquoi $\lambda$ est une valeur propre si et seulement si la matrice $A -\lambda I$ n'est pas inversible.
\item On considère $A = \begin{pmatrix}
-1 & 2 & 2 \\
2 & 2 & -1 \\
2 & -1 & 2 \\
\end{pmatrix}$, $X = \begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}$ et $\lambda \in \R$. 
\begin{enumerate}
\item \'Ecrivez l'égalité matricielle $(A - \lambda I_3)X = 0$ sous forme de système. 
\item Déterminez les valeurs propres de $A$ (Recherchez quand le système précédent est de Cramer ou non) 
\end{enumerate}
\item Les sous-espaces propres de $A$ associés à une valeur propre $\lambda$ sont noté $E_\lambda$. C'est l'ensemble de tous les vecteurs propres $X$ associés à la valeur propre $\lambda$. (i.e. les vecteurs solutions de l'équation $ (A - \lambda I_3)X = 0$. Donnez les sous espaces propres de $A$.
\item On pose $P = \begin{pmatrix}
1 & 1 & -2 \\
2 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 1
\end{pmatrix}
$. Montrer que $P$ est inversible et calculer son inverse.
\item Calculez la matrice $D = P^{-1} A P$. Que constatez vous ?
\end{enumerate} 
\end{exo}

\begin{exo}[Exercice de type concours] 
{\textcolor{white} .} \\

\textbf{Partie A : \'Etude d'une fonction auxiliaire} \\

 Soit $g$ la fonction définie et dérivalbe sur $\R$ vérifiant $g(x) = 2e^x - x - 2$. 
 \begin{enumerate}
 \item Calculer les limites de $g$ en $+ \infty$ et $-\infty$.
 \item Calculer $g'(x)$ et étudier son signe.
 \item Dresser le tableau de variations de $g$.
 \item Justifier que l'équation $g(x) = 0$ possède deux solutions, notée $\alpha$ et $\beta$, avec $\alpha < \beta$.
 \item Vérifier que $-2 < \alpha < -1$ et que $\beta = 0$. 
 \item A l'aide des questions précédentes, dresser le tableau de signe de $g(x)$ sur $\R$. 
 \end{enumerate}
 
 \textbf{Partie B : \'Etude de la fonction principale} \\

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = e^{2x} - (x+1)e^x$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$ et interpréter graphiquement ce résultat. 
\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. 
\item Montrer que $f'(x) = e^x g(x)$. En déduire le tableau de variations de $f$. 
\item Montrer que $f(\alpha)= - \dfrac{\alpha^2 + 2\alpha}{4}$, où $\alpha $ a été défini dans la partie $B$. 
Justifier que $0 < f(\alpha) < \dfrac{1}{4}$. 
\item Donner l'allure de la courbe représentative de $f$. 
\end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo}
En calculant les sommes partielles, déterminer si les séries de terme général sont convergentes. Si c'est le cas, donner la valeur de la somme. 
\begin{qmulti}{4}
\item $\displaystyle \sum_{n \geq 0} 2^n$
\item $\displaystyle \sum_{n \geq 0} e^{-n}$
\item $\displaystyle \sum_{n \geq 0} \dfrac{1+2^n}{4^{n+1}}$
\item $\displaystyle \sum_{n \geq 2} \ln \left(\dfrac{n-1}{n}\right)$ 
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[D'après HEC]
Soit la fonction $f$ définie sur $]0,+\infty[$ par $f(x) = x + \ln(x)$. 
\begin{enumerate}
\item Prouver que $f$ est une bijection strictement croissante de $]0;+\infty[$ sur $\R$. 
\item \begin{enumerate}
\item Pour tout $n \in \N^*$, montrer que l'équation $x + \ln(x) = n$ possède une unique solution, que l'on notera $x_n$. 
\item Calculer $x_1$. 
\item \'Etudier la monotonie et la convergence de la suite $(x_n)$. 
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Pour tout $n \in \N^*$, comparer $f(n)$ et $n$. En déduire que $x_n \leq n$. 
\item En déduire que : pour tout $n \in \N^*, n- \ln(n) \leq x_n$.
\item Déterminer :
$$\lim_{n \to + \infty} \dfrac{x_n}{n}.$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}

\end{document}