\input{../preambules/preDM.tex}

\begin{document}

\chead{Devoir maison n°5}
\rhead{2017-2018}
\lfoot{}
\cfoot{Probabilités, limites, Matrices.}

\begin{center}
\fbox{ \Large A rendre pour le jeudi 19 Octobre 2017}
\end{center}
\vspace{10pt}

\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item Calculer en utilisant un changement de variable $\li_{x \tos 0} x^2 \left( e^{\frac{1}{x}} - e^{ \frac{1}{x+1}} \right)$.
\item Soit
 \[ f : x \to \ln \left( \dfrac{e^x - 1}{x} \right) \]
 \begin{enumerate}
 \item Donner le domaine de définition de $f$ $D_f$. 
 \item $f$ admet-elle une limite en $0$ ?
 \item Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+ \infty$. 
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
\noindent\textbf{Première partie: Puissance de matrice}
\vspace{0.1cm}

Soit 
$M=\begin{pmatrix}
1/3&0&0\\
1/3&1/2&0\\
1/3&1/2&1
\end{pmatrix}$
, \;
$P=\begin{pmatrix}
0&0&1\\
0&1&-2\\
1&-1&1
\end{pmatrix}$
et
$Q=\begin{pmatrix}
1&1&1\\
2&1&0\\
1&0&0
\end{pmatrix}$
\begin{enumerate}
\item Justifier que $P$ est inversible et que $P^{-1} = Q$.
\item Calculer $D=P^{-1}MP$.
\item Montrer que $\forall n\geq 0, M^n=PD^nP^{-1}$.
\item Montrer que 
$M^n=
\begin{pmatrix}
(1/3)^n & 0&0\\
2(1/2)^{n}-2(1/3)^n& (1/2)^n&0\\
1-2(1/2)^{n}+(1/3)^n & 1-(1/2)^n&1
\end{pmatrix}$
\item Vérifier que la formule obtenue à la question précédente est vraie pour $n=0$ et $n=1$.
\end{enumerate}


\noindent\textbf{Deuxième Partie: Probabilités}
\vspace{0.1cm}

Soit une urne contenant trois boules numérotées respectivement 0, 1 et 2.
On procède à des tirages successifs dans cette urne en respectant le protocole suivant.

On tire une boule dans l'urne.
On remet alors la boule tirée, mais on retire de l'urne les boules ayant un numéro strictement supérieur à celui de la boule tirée. Et on passe au tirage suivant.

Par exemple, si on a tiré la boule numéro 1, on remet la boule numéro 1 dans l'urne mais on enlève la boule numéro 2 de l'urne. Ainsi, le tirage suivant se fera dans une urne contenant les boules numéro  0 et 1.

Pour $n\geq 0$, on note les événements suivants 

$A_n$ : à l'issue du $n$-ème tirage l'urne contient 3 boules.

$B_n$ : à l'issue du $n$-ème tirage l'urne contient 2 boules. 

$C_n$ : à l?issue du $n$-ème tirage l'urne contient 1 boule.

On note $a_n=P(A_n), b_n =P(B_n), c_n= P(C_n)$.

On pose 
$U_n=\begin{pmatrix}
a_n\\
b_n\\
c_n
\end{pmatrix}$. On remarque que $U_0=\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que 
$U_1=\begin{pmatrix}
1/3\\
1/3\\
1/3
\end{pmatrix}$.
\item Justifiez que pour tout $n\geq 1$, $A_n, B_n, C_n$ est un système complet d'événements. 
\item 
En utilisant la formule des probabilités totales, montrer que $\forall n\geq 0$, 
$U_{n+1}=MU_n$.
\item En déduire (par récurrence) que $\forall n\geq 0, U_n=M^nU_0$.
\item En déduire que 
$U_n=
\begin{pmatrix}
(1/3)^n\\
2(1/2)^n-2(1/3)^n\\
1-2(1/2)^n+(1/3)^n
\end{pmatrix}$.



\item
On note $D_n$ l'événement "le $n$-ième tirage est le premier tirage à l'issue du quel il n'y a plus qu'une boule dans l'urne".

\begin{enumerate}
\item Calculer $P(D_1)$.
\item A l'aide de la formule des probas totales, montrer que $P(D_2)=5/18$.
\item A l'aide de la formule des probas totales, montrer que
$\forall n\geq 2$, $P(D_n)=2(1/2)^n-2(1/3)^n$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo}
Dans cet exercice, on veut montrer le résultat suivant :
\[
\forall x \geq 0, \quad \lim\limits_{n \to + \infty} \sum_{k = 0}^n \dfrac{x^k}{k!} = e^x
\] 
On défini alors la suite $(u_n(x))_{n \in \N}$ par  $u_n(x) = \displaystyle \sum_{k = 0}^n \dfrac{x^k}{k!}$ (Attention, on a $u_n(0) = 1$). On admettra le théorème de croissances comparées suivant: $\forall x >0, \lim\limits_{n \to + \infty} \dfrac{x^{n}}{n!} = 0$. Enfin, on pose deux fonctions $f_n: x \to e^x - u_n(x) - \dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}$ et $g_n : x \to e^x - u_n(x)$.

\begin{enumerate}
\item Pour tout $n\in \N$, que vaut $f_n(0)$ et $g_n(0)$ ?
\item Montrer que $\forall x \geq 0$, $g_n'(x) = g_{n-1} (x)$ et $f_n'(x) = f_{n-1}(x)$. 
\item Montrer par récurrence que $ \forall x \geq 0$ on a $g_n(x) \geq 0$ et $f_n(x) \leq 0$ 
\item En déduire que $\forall x \geq 0$, $\forall n \in \N$, 
\[ e^x -\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!} \leq u_n \leq e^x \]
\item Quel est la limite de $u_n$ ?
\end{enumerate}


\end{exo}

\end{document}