\documentclass[a4paper,french,12pt]{article}
\usepackage{amssymb}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[a4paper]{geometry}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{theorem}
\usepackage{multicol}
\usepackage{hyperref}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{tikz}
\usepackage[tikz]{bclogo}
\usepackage{stmaryrd}


\setcounter{MaxMatrixCols}{10}
%TCIDATA{OutputFilter=LATEX.DLL}
%TCIDATA{Version=5.00.0.2552}
%TCIDATA{<META NAME="SaveForMode" CONTENT="1">}
%TCIDATA{Created=Monday, August 30, 2004 17:45:53}
%TCIDATA{LastRevised=Monday, August 30, 2004 21:23:05}
%TCIDATA{<META NAME="GraphicsSave" CONTENT="32">}
%TCIDATA{<META NAME="DocumentShell" CONTENT="abdellah\bech_exercice_paysage">}


\geometry{margin={1cm,2cm}}
 \pagestyle{fancy}
\lhead{ECE1}
\chead{Devoir maison n°4}
\rhead{2017-2018}
\lfoot{}
\cfoot{Généralités sur les fonctions}
\rfoot{M Leboucher}
\theoremstyle{break}
\newtheorem{theorem}{Théorème}
\theorembodyfont{\rmfamily}
\newtheorem{exo}[theorem]{Exercice}
\newtheorem{problem}[theorem]{Problème}
\newtheorem{remark}[theorem]{Remarque}
\newtheorem{solution}[theorem]{Solution}
\setlength{\columnseprule}{0.5pt}
%\input{tcilatex}

% Question multiple
\newenvironment{qmulti}[1]{
	\def\columnseprulecolor{\color{white}}
	\begin{multicols}{#1}
	\begin{enumerate}
	}{
	\end{enumerate}
	\end{multicols}}

\newcommand{\Rr}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Cc}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Zz}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\begin{document}

\begin{center}
\fbox{ \Large A rendre pour le jeudi 23 Novembre 2017}
\end{center}
\vspace{5pt}

\begin{exo}
Pour son vélo, Paul possède un antivol à code. Le code est une succession de trois chiffres compris entre $0$ et $9$.
\begin{enumerate}
\item Paul a oublié son code. Combien de combinaisons doit-il essayer \emph{dans le pire des cas} avant de retrouver la bonne~?
\item Même question en supposant que Paul se souvient que son code commence par un $8$.
\item Même question en supposant que Paul se souvient que son code se termine par un chiffre pair.
\item Même question en supposant que Paul se souvient que son code ne contient que des chiffres pairs.
\item Même question en supposant que Paul se souvient que son code ne contient que des chiffres impairs.
\item Même question en supposant que Paul se souvient que son code contient au moins un chiffre pair.
\item Même question en supposant que Paul se souvient que son code contient exactement un chiffre pair.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Etude de fonction]
On veut étudier la fonction définie par 
$$f(x)=\begin{cases}
\frac{x\log x}{x-1}\text{ si }x\neq 1\\
1\text{ si }x=1
\end{cases}$$
\begin{enumerate}
\item Considérons d'abord la fonction $g(x)=x-\log x -1$.
\begin{enumerate}
\item Donner le domaine de définition de $g$.
\item Dresser le tableau de variation de $g$.
\item\label{q} En déduire que $\forall x\in\R_+^*, \log x\leq x-1$.
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Donner le domaine de définition de $f$.
\item A l'aide de la question \ref{q}, dresser le tableau de variation de $f$.
\item Calculer les limites de $f$ en $0^+,1,+\infty$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
On dispose de deux urnes $U_{1}$ et $U_{2}$ ainsi que d'une pièce de monnaie
non truquée.\newline
Initialement, l'urne $U_{1}$ contient une boule blanche et deux boules
noires et l'urne $U_{2}$ contient deux boules noires.\newline
On considère l'épreuve $\mathcal{E}$ suivante :

\begin{itemize}
\item on lance la pièce

\item si l'on obtient pile, on tire une boule de $U_{1}$, sinon on tire une
boule de $U_{2}$

\item si la boule tirée est noire, elle est remise dans la même urne, sinon
elle est remise dans l'autre urne.
\end{itemize}
Pour $n$ entier naturel non nul, on désigne par $A_{n}$ l'évènement%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$A_{n}$ : " la boule blanche se trouve dans l'urne $U_{1}$ \textbf{à l'issue}
de la $n^{i\grave{e}me}$ répétition de l'épreuve $\mathcal{E}$ " \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}%
et par $B_{n}$ l'évènement 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$B_{n}$ : " la boule blanche se trouve dans l'urne $U_{2}$ \textbf{à l'issue}
de la $n^{i\grave{e}me}$ répétition de l'épreuve $\mathcal{E}$ " \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on effectue une seule fois l'épreuve $\mathcal{E}$%
.

\begin{enumerate}
\item La notation $PB_{1}$ signifiant: \textquotedblleft la pièce a donné
pile et on a tiré la boule blanche de $U_{1}$" (on l'a donc remise dans $%
U_{2}$), calculer la probabilité de l'événement $\{PB_{1}\}$.

\item En utilisant la même notation, décrire les résultats possibles de l'é%
preuve $\mathcal{E}$.

\item Calculer la probabilité des évènements $A_{1}$ et $B_{1}$
\end{enumerate}

\item On répète maintenant l'épreuve $\mathcal{E}$.

\begin{enumerate}
\item Vérifier que : \quad $\forall n\geqslant 0,\quad P_{A_{n}}(A_{n+1})=%
\dfrac{5}{6}$ et $P_{B_{n}}(A_{n+1})=\dfrac{1}{6}$

\item Calculer également $P_{A_{n}}(B_{n+1})$ et $P_{B_{n}}(B_{n+1})$

\item On notera $a_n = P(A_n)$ et $b_n = P(B_n)$. En déduire $a_{n+1}$ puis $b_{n+1}$ en fonction de $a_{n}$ et $b_{n}$.

\item Que vaut la somme $a_n + b_n$ ? En déduire que $\forall
n\geqslant 0,\quad \left\{ 
\begin{array}{c}
a_{n+1}=\dfrac{2}{3}a_n+\dfrac{1}{6}\medskip \\ 
b_{n+1}=\dfrac{2}{3}b_n+\dfrac{1}{6}%
\end{array}%
\right. $

\item Déterminer, en fonction de $n,$ les expressions de $a_n$ et $%
b_n.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}\hspace{0pt}\\
On considère une roue de loterie composée de 12 secteurs, numérotés de 1 à 12. Un croupier fait tourner cette roue devant un repère et on considère qu'à chaque lancer, chaque secteur à la même probabilité de s'arrêter devant le repère.\\
Un joueur choisit à chaque partie un ou plusieurs numéros parmi les 12. Il est gagnant si l'un des numéros choisis apparaît à l'arrêt de la roue.\\
Le joueur adopte la tactique suivante:
\begin{itemize}\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}
\item il mise sur un seul numéro lors de la première partie,
\item s'il perd à la $n$-ème partie ($n\geq1$), il mise sur 2 numéros à la partie suivante; s'il gagne à la $n$-ème partie, il mise sur 3 numéros à la partie suivante.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item On note, pour tout $n\in\N$, $p_n$ la probabilité de l'événement $A_n$: "le joueur gagne la $n$-ème partie.
\begin{enumerate}
\item Soit $n\in\N^\star$, déterminer $P_{A_n}(A_{n+1})$ et $P_{\overline{A_n}}(A_{n+1})$. En déduire que:
$$\forall n\in\N^\star,~p_{n+1}=\frac1{12}p_n+\frac16.$$ 
\item En déduire l'expression de $p_n$, pour tout $n\in\N^*$. Déterminer $\ds\lim_{n\to+\infty}p_n$.
\end{enumerate}
\item Dans cette question, on fixe $n\geq2$ et, pour tout $k\in\llbracket 1,n\rrbracket$, on note $B_k$ l'événement: "le joueur gagne une seule fois lors de $n$-parties et cette victoire a lieu lors de la $k$-ème partie".
\begin{enumerate}
\item Exprimer $B_n$ à l'aide des événements $A_k$ et en déduire $P(B_n)$.
\item Calculer $P(B_1)$.
\item Calculer, pour tout $k\in\llbracket1,n-1\rrbracket$, $P(B_k)$.
\item Soit $C_n$ l'événement: "le joueur gagne une seule fois au cours des $n$ parties". Exprimer $C_n$ à l'aide des événements $B_k$ et en déduire $P(C_n)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}

\end{document}