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\lhead{ECE1}
\chead{Devoir maison n°2}
\rhead{2017-2018}
\lfoot{}
\cfoot{Généralités sur les fonctions}
\rfoot{M Leboucher}
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\newtheorem{theorem}{Théorème}
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\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercice}
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% Question multiple
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	\begin{enumerate}
	}{
	\end{enumerate}
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\begin{document}

\begin{center}
\fbox{ \Large A rendre pour le jeudi 5 Octobre 2017}
\end{center}
\vspace{20pt}

\begin{exercise}


On pose $S_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}k^{2}$ et $T_{n}=\sum%
\limits_{k=1}^{n}[(k+1)^{3}-k^{3}]$

\begin{enumerate}
\item Calculer $T_{n}.$

\item D\'{e}velopper $(k+1)^{3}-k^{3}.$ En d\'{e}duire l'expression de $%
T_{n} $ en fonction de $S_{n}$ et de $n.$

\item En d\'{e}duire que $\sum\limits_{k=1}^{n}k^{2}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}%
. $
\item Démontrer par un raisonnement direct que $\forall n \in \N^*$, $2n^2 + 7n + 6 = (n+2)(2(n+1)+1)$.
\item
Redémontrer le résultat précédent en effectuant une récurrence.
\item Calculer, pour tout entier $n,$ les sommes suivantes :\newline
\begin{tabular}{c}
$A_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}(k^{2}-2k-1)$%
\end{tabular}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\vspace{10pt}

\begin{exercise}
Soit $(a_n)_{n \in \N}$ la suite définie par $a_0 = -1$ et 
\begin{eqnarray*}
a_{n+1} & = & \dfrac{a_n}{3-2a_n}
\end{eqnarray*}
\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que, pour tout $n \in \N, \; a_n < 0$. 
\item On pose, pour tout $n \in \N$, $t_n = \dfrac{1}{a_n}$ . Pourquoi est-ce possible ?
\item Montrer que, pour tout $n \in \N$, $t_{n+1} = 3 t_n -2$.
\item En introduisant la suite annex adéquate, calculez $t_n$ en fonction de $n$.
\item En déduire $a_n$ en fonction de $n$. 
\end{enumerate}
\end{exercise}
\vspace{10pt}

\begin{exercise}[Inspiré de EM Lyon 1996]
Soit $f$ ma fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \dfrac{e^x}{e^{2x}+1}$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est paire
\item \'Etudier les variations de $f$ et tracer sa courbe dans un repère orthogonal $(O;\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$.
(unités : 2 cm sur l'axe des abscisses et 10 cm sur l'axe des ordonnées).
\item Montrer qu'il existe un unique réel $\ell$ tel que $f(\ell) = \ell$. Justifier que $0 \leq \ell \leq \dfrac{1}{2}$ (On donne $f(1/2) < 1/2$).
\item Montrer que pour tout réel $x$: $|f'(x)| \leq f(x) \leq \dfrac{1}{2}$.  
\end{enumerate}
\item On définit la suite $(u_n)_{n \in \N}$ par :
$$ 
u_0 = 0 \qquad \rm{et} \; \forall n \in \N, \qquad u_{n+1} = f(u_n) 
$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $n \in \N \quad u_n \in \left[ 0, \dfrac{1}{2} \right]$. \\

Pour la question suivante, il faudra utiliser le théorème suivant que l'on appelle théorème des accroissements finis :\\

{\it Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. S'il existe un réel $\mathcal{M} >0$ tel que pour tout $x \in I$, $|f'(x)| \leq \mathcal{M}$ alors :}
\begin{center}
{\it $\forall x_1 \in I, \, \forall x_2 \in I, \quad |f(x_1)-f(x_2)| \leq \mathcal{M}|x_1 - x_2|$}
\end{center}

\item Montrer que, pour tout $n \in \N$:
$$ |u_{n+1} - \ell| \leq \dfrac{1}{2} |u_n - \ell| \quad \rm{puis} \quad |u_n - \ell| \leq \dfrac{1}{2^{n+1}}$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[*]
On veut construire un château de cartes. Combien faudra-t-il de cartes pour construire un château de 3 étages ? de $n$ étages ?
\end{exercise}

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{cartes.png}
\end{center}
\end{document}