\input{../preambules/preDM.tex}
\begin{document}

\chead{Devoir maison n°12}
\rhead{2017-2018}
\lfoot{}
\cfoot{Espaces vectoriels et applications linéaires.}

\begin{center}
\fbox{ \Large A rendre pour le Mercredi 30 Mai 2018}
\end{center}
\vspace{10pt}

\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item
On considère 
$E=\left\{
\begin{pmatrix}
x\\
y\\
z
\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{3,1}(\R),
x+2y+z=0 \right\}$
\begin{enumerate}
\item
Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_{3,1}(\R)$ engendré par deux vecteurs à déterminer.
\item
Montrer que le vecteur 
$X=\begin{pmatrix}
0\\-1\\2
\end{pmatrix}$ appartient à $E$.
\item
Donner alors ses coordonnées dans la base 
$\mathcal{B} : \left(\begin{pmatrix}-2\\
1\\
0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}-1\\
0\\
1\end{pmatrix}\right)$
\end{enumerate}
\item On considère l'application $f$ de $\mathcal{M}_{3,1} (\R)$ dans $\R$ définie par 
$$
\forall \begin{pmatrix}
x\\
y\\
z
\end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{3,1}(\R) , \quad  f \begin{pmatrix}
x\\
y\\
z
\end{pmatrix} 
= x + 2y + z
$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est une application linéaire. 
\item Déterminer le noyau et l'image de $f$. 
\item Quel est l'ensemble $f(E)$ (l'image de l'ensemble $E$ par l'application $f$, revoir le cours sur les applications). 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\sqrt{x^2-x+1}$ et
on introduit la suite $u$ définie par $u_0=1/2$ et $u_{n+1}=f(u_n)$.
\begin{enumerate}
\item
Ecrire un programme Scilab qui définit dans un premier la fonction $f$, puis qui calcule les 20 premiers termes de la suite $u$ et qui les trace dans une figure.
\item Tracer le graphe obtenu sur Scilab. Que peut-on conjecturer quand à la limite de la suite ?
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Dans l'espace vectoriel $\mathcal{M}_{4,1}(\R)$, on note $F = Vect(u_1, u_2)$ avec
$$
u_1=
\begin{pmatrix}
1\\
-3\\
5 \\
2
\end{pmatrix} 
\quad u_2=
\begin{pmatrix}
1\\
-1\\
-4 \\
3
\end{pmatrix} 
$$
\begin{enumerate}
\item Le vecteur $v = 
\begin{pmatrix}
2\\
-10\\
26\\
2
\end{pmatrix}$ appartient-il au sous-espace vectoriel $F$ ?
\item Déterminer une base de $F$. 
\item On considère l'application $f : \mathcal{M}_{2,1}(\R) \to F$ tel que
$$
f : \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix} 
\to x u_1 + y u_2
$$ 
Montrer que $f$ est une application linéaire. Déterminer son image et son noyau. 
\end{enumerate}
\end{exo}

\end{document}