\input{../preambules/preDM.tex}

\begin{document}

\chead{Devoir maison n°11}
\rhead{2017-2018}
\lfoot{}
\cfoot{Intégrales impropres.}

\begin{center}
\fbox{ \Large A rendre pour le Mercredi 9 Mai 2018}
\end{center}
\vspace{10pt}


\subsection*{Exercice 1 [EML 1996]}

\noindent Soit $f$ la fonction d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par : 
$
\left\{ 
\begin{array}{ll}
f(x)=e^{-|x|} & \text{si }-\ln 2\leq x\leq \ln 2 \\ 
f(x)=0 & \text{sinon}
\end{array}
\right. 
$

\begin{enumerate}
\item  Etudier les variations de $f$ et tracer sa repr\'{e}sentation graphique.

\item  Montrer que $f$ est une densit\'{e} de probabilit\'{e}.

\item  Soit $X$ une variable al\'{e}atoire r\'{e}elle admettant $f$ comme
densit\'{e}.

\begin{enumerate}
\item  D\'{e}terminer la fonction de r\'{e}partition $F$ de $X$.

\item  Montrer que $X$ admet une esp\'{e}rance et calculer l'esp\'{e}rance
de $X$.

\item  On pose $Y=|X|$.\newline
D\'{e}terminer la fonction de r\'{e}partition $G$ de $Y$. Montrer que $Y$
est une variable \`{a} densit\'{e} et d\'{e}terminer une densit\'{e} $g$ de $%
Y$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 2 [ECRICOME 2008]}
On considère un jeu où le participant lance trois fl\'{e}chettes dans une
cible circulaire de centre O et de rayon 1. Pour $1\leq i\leq 3$, on note $%
X_{i}$ la variable al\'{e}atoire \'{e}gale \`{a} la distance du point
d'impact de centre O de la $i^{\grave{e}me}$ fl\'{e}chette. Ces trois
variables al\'{e}atoires $X_{1},X_{2},X_{3}$ de m\^{e}me loi, ind\'{e}%
pendantes, sont des variables \`{a} densit\'{e} dont une densit\'{e} $f$ est
d\'{e}finie par: 
\begin{equation*}
f(x)=\left \{ 
\begin{array}{ll}
2x\quad \text{si}\quad x\in \lbrack 0;1] &  \\ 
0\quad \text{sinon} & 
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%
Le joueur gagne si la distance la plus proche du centre O se trouve \`{a}
une distance inf\'{e}rieure \`{a} $\dfrac{1}{5}$ de ce centre. Enfin, on
note $M$ la variable al\'{e}atoire repr\'{e}sentant la plus petite des trois
distances $X_{1},X_{2},X_{3}$.

\begin{enumerate}
\item V\'{e}rifier que $f$ est une densit\'{e} de probabilit\'{e} et d\'{e}%
terminer la fonction de r\'{e}partition $F$ de $X_i$.

\item D\'{e}terminer l'esp\'{e}rance de $X_i$.

\item Exprimer l'\'{e}v\'{e}nement $[M>t]$ \`{a} l'aide des \'{e}v\'{e}%
nements $[X_1>t], [X_2>t], [X_3>t]$ pour tout r\'{e}el $t$.

\item D\'{e}terminer la fonction de r\'{e}partition $F_M$ de $M$ et montrer
que $M$ est une variable \`{a} densit\'{e} et en donner une densit\'{e} not%
\'{e}e $f_M$.

\item Quelle est la probabilit\'{e} de l'\'{e}v\'{e}nement $G=$"le joueur
gagne la partie"?\newline
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 3}

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \begin{cases}
x e^{- \frac{x^2}{2}} & \text{si} \; x \geq 0 \\
0 & \text{sinon}
\end{cases}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est une densité d'une variable aléatoire $X$ et déterminer sa fonction de répartition. 
\item On pose $Y = X^2$ et on admet que $Y$ est une VA. Déterminer la fonction de répartition de $Y$, puis reconnaitre la loi suivie par $Y$. 
\end{enumerate}

\end{document}