\input{../preambules/preDM.tex}

\begin{document}

\chead{Devoir maison n°10}
\rhead{2017-2018}
\lfoot{}
\cfoot{Intégrales impropres.}

\begin{center}
\fbox{ \Large A rendre pour le jeudi 12 Avril 2018}
\end{center}
\vspace{10pt}


\subsection*{Exercice 1}

On considère pour tout entier naturel $n$ supérieur ou  égal à 2 la fonction
$f_n$ définie sur $\R^+$ par :
$$
f_n(t) = \dfrac{e^{-t}}{1 + t^n}
$$
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Justifier la dérivabilité de la fonction $f_n$ sur $\R^+$.
\item \'Etudier les variations de la fonction $f_n$, préciser sa limite en $+ \infty$ et sa valeur en 0.
\end{enumerate}
\item On pose pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2 : $\displaystyle I_n = \int_0^{+\infty} f_n(t) dt$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $t$ strictement positif, $f_n(t) \leq \dfrac{1}{t^n}$. En déduire la convergence de l'intégrale  $\displaystyle I_n = \int_1^{+\infty} f_n(t) dt$, puis de l'intégrale $I_n$.
\item Montrer que $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \int_1^{+ \infty} f_n(t) dt=0$.
\item Montrer que pour tout réel $t$ positif, $0 \leq e^{-t} - f_n(t) \leq t^n$.
\item En déduire $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \int_0^{1} f_n(t) dt=1 - \dfrac{1}{e}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 2}

Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \dfrac{e^x}{(1+e^x)^2}$.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item \'Etudier la parité de $f$.
\item Donner une primitive de $f$ sur $\R$.
\item Justifier la convergence de l'intégrale $\displaystyle \int_0^{+\infty} f(x) dx$ et donner sa valeur.
\item En déduire la convergence et la valeur de $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx$.
\end{enumerate}
\begin{enumerate}
\item Démontrer à l'aide d'une intégration par parties, que : $\displaystyle \int_0^{+\infty} xf(x) dx = \ln 2$.
\item En déduire la convergence et la valeur de $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} xf(x) dx$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 3}

\begin{enumerate}
\item On pose $I_0 = \displaystyle \int_1^{+\infty} e^{-x} dx$ et pour tout entier naturel non nul, $I_n = \displaystyle \int_1^{+\infty} x^n e^{-x} dx$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $I_0$ est une intégrale convergente égale à $\dfrac{1}{e}$.
\item A l'aide d'une intégration par parties, montrer que pour tout réel $M \geq 0$ :
$$
\int_1^M x^{n+1} e^{-x} dx = - \dfrac{M^{n+1}}{e^M} + \dfrac{1}{e} + \int_1^M (n+1) x^n e^{-x} dx
$$
\item En raisonnant par récurrence, montrer que pour tout entier naturel $n$, l'intégrale $I_n$ converge.
\item Montrer que pour tout entier $n \in \N$,
$$
I_{n+1} = \dfrac{1}{e} + (n+1) I_n
$$
\item Calculer $I_n$ pour $n \in \entier{1,5}$
\item \'Ecrire un script Scilab qui, demandant à l'utilisateur un entier strictement positif $n$, calcule et affiche la valeur de $I_n$.
\end{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie par 
$$
\begin{cases}
f(x) = 0 & \text{si}  x < 1 \\
f(x) = \dfrac{e}{18}(x^3 +x^2 -x - 1)e^{-x} & \text{si}  x \geq 1
\end{cases}
$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est une densité de probabilité d'une variable aléatoire que l'on notera $Z$.
\item Justifier que la variable $Z$ admet une espérance puis la calculer. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice bonus}

\end{document}