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\lhead{ECE1}
\chead{Devoir maison}
\rhead{2017-2018}
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\cfoot{Généralités sur les fonctions}
\rfoot{M Leboucher}
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\newtheorem{theorem}{Théorème}
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% Question multiple
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	\def\columnseprulecolor{\color{white}}
	\begin{multicols}{#1}
	\begin{enumerate}
	}{
	\end{enumerate}
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\begin{document}

\begin{center}
\fbox{ \Large A rendre pour le jeudi 14 Septembre 2017}
\end{center}
\vspace{10pt}
\begin{exercise}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par
$$ f(x) = \frac{1}{x^2+1} .$$
\begin{enumerate}
\item Sans étudier les variations de $f$:
	\begin{enumerate}
	\item Montrer que $f$ est minorée sur $\R$. Le minorant trouvé est il le minimum de $f$ sur $\R$?
	\item Montrer que $f$ admet un maximum sur $\R$ en $x=0$. Préciser la valeur de ce maximum.  
	\end{enumerate}
\item Déterminer le tableau de variation de $f$ sur $\R$.
	\begin{enumerate}
	\item Montrer que $f$ est minorée sur $\R$. Le minorant trouvé est il le minimum de $f$ sur $\R$ ?
	\item Montrer que $f$ admet un maximum sur $\R$ en $x=0$. Préciser la valeur de ce maximum.  
	\end{enumerate}
	Vérifiez que les résultats coïncident avec la question $1.$
\end{enumerate}
\end{exercise}
\vspace{10pt}

\begin{exercise}
Dans chacun des cas suivants, donner l'ensemble de définition et étudier les variations de la fonction $f$ sur l'ensemble proposé.
\begin{enumerate}
\item La fonction est défini par $f(x) = 2x - \ln(x)$. \\
En lisant le tableau de variations, pouvez vous donner le signe de $f$ sur son ensemble de définition ?
\item  La fonction est défini par 
$$ f(x) = \frac{e^{-x}}{2 +2x} .$$
En lisant le tableau de variations, peut-on donner le signe de $f$ sur son ensemble de définition ? \\
Avez vous un autre moyen pour déterminer le signe de $f$ sur son ensemble de définition ?
\end{enumerate}
\end{exercise}
\vspace{10pt}

\begin{exercise}
On considère l'équation ($E_1$) : 
$$ e^x - x^n = 0 $$
où $x$ est un réel strictement positif et $n$ un entier naturel non nul.
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'équation ($E_1$) est équivalente à l'équation ($E_2$) :
$$ \ln(x) - \frac{x}{n} = 0 .$$
\item Pour quelles valeurs de $n$ l'équation ($E_1$) admet-elle deux solutions ?
\end{enumerate}
\end{exercise}

\end{document}