 \input{../preambules/preCorrection.tex}

\begin{document}

\chead{Correction Calculs D7}
\lfoot{}
\cfoot{Calcul}

\begin{center}
\fbox{ \Large Correction Calculs du 15/03 au 21/03}
\end{center}
\vspace{30pt}

\setcounter{theorem}{209}


\begin{exo}[Inéquations]
\begin{enumerate}
On cherche à faire un tableau de signe avec le premier polynôme et donc à factoriser $x^3 + 3x^2 - 3x -1$. On remarque que $1$ est une racine évidente de ce polynôme. En posant par exemple la division euclidienne, on a 
$$
x^3 + 3x^2 - 3x -1 = (x-1)(x^2 + 4x +1)
$$
On cherche alors le discriminant du polynôme $x^2 + 4x + 1$, $\Delta = 16 - 4 = 12$. Ce polynôme a donc deux racines:
$$
x_1 = \dfrac{-4 - \sqrt{12}}{2} = -2 - \sqrt{3} \et x_2 = \dfrac{-4 + \sqrt{12}}{2} = -2 + \sqrt{3}
$$
Or $\sqrt{3} < 2$ donc $x_1 < x_2 < 1$. On en déduit alors le tableau de signe suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=5,espcl=2]{$x$/1,Signes de $x-1$/1,Signe de $x^2 +4x+1$/1, Signe de $x^3 + 3x^2-3x - 1$/2}{$-\infty$,$-2-\sqrt{3}$,$-2+\sqrt{3}$, 1, $+\infty$}
\tkzTabLine{,-,t,-,t,-,z,+,}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,z,+,}
\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,z,+,}
\end{tikzpicture}
\end{center}
L'ensemble des solutions de l'inéquation $x^3 + 3x^2 - 3x -1 \leq 0 $ est donc 
\begin{center}
\fbox{$\mathcal{S} = ]- \infty ; -2-\sqrt3] \cup [-2+\sqrt{3} ;1]$.}
\end{center}

\item Pour cette inéquation, on va également chercher à faire un tableau de signe en factorisant l'expression. On transforme alors l'expression $\ln(x)^2 +3 \ln(x) - 4$ en un polynôme en posant $X = \ln(x)$. Et l'on étudie $X^2 + 3X - 4$. Le discriminant de ce polynôme est alors $\Delta  = 25$. Ce polynôme possède donc deux solutions :
$$
X_1 = \dfrac{-3 - 5}{2} = - 4 \et X_2 = \dfrac{-3+5}{2} = 1
$$
On a donc la factorisation suivante : $X^2 + 3X - 4 = (X+4)(X-1)$. Ainsi, 
$$
\ln(x)^2 +3 \ln(x) - 4 < 0 \Longleftrightarrow (\ln(x)+4)(\ln(x)-1) < 0
$$
On obtient alors le tableau de signe suivant
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=5,espcl=2]{$x$/1,Signes de $\ln(x)+4$/1,Signe de $\ln(x)-1$/1, Signe de $\ln(x)^2 +3\ln(x) - 4$/1}{$0$,$e^{-4}$,$e$, $+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}
\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{center}
\fbox{Donc $\mathcal{S} = ]e^{-4} ; e[$.}
\end{center}
\end{enumerate}

\end{exo}

\begin{exo}[Récurrence]
Soit $(u_n)$ la suite définie par $ u_0 = e $ et $u_{n+1} = 1 + \dfrac{1}{2} \ln(u_n)$. 
On va montrer par récurrence les propositions 
$$\P_n : \left\{ u_n \in [1,e] \right\}.$$

\renewcommand\labelitemi{\textbullet}
\begin{itemize}
\item {\bf Initialisation :} On a $u_0 = e$ donc $\P_0$ est vraie. 
\item {\bf Hérédité :} On suppose que la proposition $\P_n$, est vraie pour un certain rang $n \geq 0$. 
\begin{align*}
1 \leq u_n \leq e & \Longrightarrow 0 \leq \ln(u_n) \leq 1 \\
& \Longrightarrow 0 \leq \dfrac{1}{2} \ln(u_n) \leq \dfrac{1}{2} \\
& \Longrightarrow 1 \leq 1+ \dfrac{1}{2} \ln(u_n) \leq \dfrac{3}{2} \\
& \Longrightarrow 1 \leq u_{n+1} \leq e
\end{align*}
La proposition $\P_{n+1}$ est vraie. La suite de proposition $(\P_n)$ est héréditaire.
\item {\bf Conclusion :} \fbox{ Pour tout $n \geq 0$, $ u_n \in [1,e] $ }.
\end{itemize}

La fonction $f : x \to 1+ \dfrac{1}{2} \ln(x)$ est dérivable sur $[1,e]$ et sa dérivée est $f'(x) = \dfrac{1}{2x}$. On a donc, 
$$
\forall x \in [1,e], |f'(x)| \leq \dfrac{1}{2} 
$$
Or comme $1 \in [1,e]$ et $\forall n \in \N$, $u_n \in [1,e]$, on a d'après l'inégalité des accroissements finis,
$|f(u_n) - f(1) | \leq \dfrac{1}{2} |u_n -1|$, c'est à dire 
\begin{center}
\fbox{$|u_{n+1} - 1| \leq \dfrac{1}{2} |u_n - 1|$.}
\end{center}

On va montrer par récurrence les propositions 
$$\P_n : \left\{ |u_n-1| \leq \dfrac{1}{2^n}(e-1) \right\}.$$

\renewcommand\labelitemi{\textbullet}
\begin{itemize}
\item {\bf Initialisation :} On a $u_0 = e$ donc $|u_0-1| = (e-1)$ et $\P_0$ est vraie. 
\item {\bf Hérédité :} On suppose que la proposition $\P_n$, est vraie pour un certain rang $n \geq 0$. Or d'après la question précédente, $|u_{n+1} - 1| \leq \dfrac{1}{2} |u_n - 1|$ et par hypothèse de récurrence, $|u_n - 1| \leq \dfrac{1}{2^n} (e-1)$ donc 
\begin{align*}
|u_{n+1} - 1|  \leq \dfrac{1}{2^{n+1}} (e-1) 
\end{align*}
La proposition $\P_{n+1}$ est vraie. La suite de proposition $(\P_n)$ est héréditaire.
\item {\bf Conclusion :} \fbox{ Pour tout $n \geq 0$, $ |u_n - 1| \leq \dfrac{1}{2^n} (e-1) $ }.
\end{itemize}
\end{exo}

\begin{exo}[Sommes ]
\begin{enumerate}
\item L'égalité $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (\alpha + a_k) = \alpha + \sum_{k=1}^n a_k$ est fausse. On aurait à la place
$$
\sum_{k=1}^n (\alpha + a_k) = \sum_{k=1}^n \alpha + \sum_{k=1}^n a_k = n \alpha +\sum_{k=1}^n a_k
$$  

\item La formule $\ds \sum_{k=1}^n \alpha a_k = \alpha \sum_{k=1}^n a_k$ est vraie.

\item La formule $\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k + b_k = \sum_{k=1}^na_k + \sum_{j=1}^n b_j$ est vraie.

\item La formule  $\displaystyle \sum_{k=1}^n (a_k)^\alpha = \left( \sum_{k=1}^n a_k \right)^{\alpha}$ est fausse. 
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Probabilité]
"Obtenir pile en lançant une pièce" est une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès $p$. On répète cette épreuve de manière identique et indépendante $n$ fois.  La variable aléatoire $X_n$ compte alors le nombre de succès obtenus. $X_n$ suit donc une loi binomiale de paramètre $n$ et $p$. Ainsi
\begin{center}
\fbox{$
X_n \loi{B}(n,p) \quad E(X_n) = np \et V(X_n) = np(1-p)
$
}
\end{center} 
\end{exo}

\begin{exo}[Limites]
\begin{enumerate}
\item On factorise en haut et en bas par $e^x$ (qui semble croitre le plus vite). 
\end{enumerate}
Calculer les limites suivantes
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\lim\limits_{x \to + \infty} \dfrac{e^x + x + \ln(x)}{e^x -1} $.
\item $\lim\limits_{x \to \ln(2)}  \dfrac{e^{2x} -e^x - 2}{e^x - 2}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Système]
Résoudre le système en fonction de $\lambda$ 
\begin{center}
$(E_{\lambda}): \; \left\{ \begin{array}{rcl}
(3 - \lambda)x + y & = & 0 \\
3x + (1- \lambda)y & = & 0 \\
\end{array} \right. $
\end{center}
\end{exo}

\begin{exo}[Intégrales]
Calculer les intégrales suivantes :
\begin{qmulti}{3}
\item $\displaystyle \int_{1}^{e} - \dfrac{3}{x} dx$.
\item $\displaystyle \int_{1}^{4} \ln(x)/x  dx$.
\item $\displaystyle \int_{-1/2}^{1/2} \dfrac{2x}{x^2 -1} dx$.
\end{qmulti}
\end{exo}

\end{document}
