 \input{../preambules/preCorrection.tex}

\begin{document}

\chead{Correction Calculs E1}
\lfoot{}
\cfoot{Calcul}

\begin{center}
\fbox{ \Large Correction Calculs du 8/03 au 14/03}
\end{center}
\vspace{30pt}

\setcounter{theorem}{203}

\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item On passe par les sommes partielles 
\begin{align*}
\sum_{k=0}^n  2^k & = \dfrac{1-2^{n+1}}{1 - 2} \\
& = \dfrac{1-2^{n+1}}{-1} \\
& = 2^{n+1} - 1
\end{align*}
Or $\li_{n \to + \infty} 2^{n+1} - 1 = + \infty$. 
\begin{center}
\fbox{Donc la série $\ds \sum_{n \geq 0} 2^n$ est divergente. }
\end{center}

\item On passe par les sommes partielles 
\begin{align*}
\sum_{k=0}^n  k & = \dfrac{n(n+1)}{2} 
\end{align*}
Or $\li_{n \to + \infty} \dfrac{n(n+1)}{2} = + \infty$. 
\begin{center}
\fbox{Donc la série $\ds \sum_{n \geq 0} n$ est divergente. }
\end{center}

\item On passe par les sommes partielles 
\begin{align*}
\sum_{k=0}^n  e^{-k} & = \sum_{k =0}^n \left(\dfrac{1}{e}\right)^k  \\
& =  \dfrac{1 - \dfrac{1}{e^{n+1}}}{1 - \dfrac{1}{e}} \\
& = \dfrac{1 - \dfrac{1}{e^{n+1}} }{\dfrac{e-1}{e}} \\
& = \dfrac{e}{e-1} \left(1 - \dfrac{1}{e^{n+1}} \right)
\end{align*}
Or $\li_{n \to + \infty} \dfrac{1}{e^{n+1}} = 0$. Donc la série $\ds \sum_{n \geq 0} e^{-n}$ est convergente et 
\begin{center}
\fbox{$ \ds \sum_{n = 0}^{+ \infty} e^{-n} = \dfrac{e}{e-1} $ }
\end{center}

\item On passe par les sommes partielles 
\begin{align*}
\sum_{k=0}^n  \dfrac{1+2^k}{4^{k+1}} & = \sum_{k =0}^n \dfrac{1}{4^{k+1}} + \dfrac{2^k}{4^{k+1}}  \\
& =  \sum_{k =0}^n \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{4^k} + \sum_{k =0}^n \dfrac{1}{4} \times \dfrac{2^k}{4^k} \\
& = \dfrac{1}{4} \sum_{k =0}^n  \left(\dfrac{1}{4} \right)^k + \dfrac{1}{4} \sum_{k =0}^n  \left(\dfrac{1}{2} \right)^k \\
& = \dfrac{1}{4} \left( \dfrac{1 - \left(\dfrac{1}{4} \right)^{n+1}}{1 - \dfrac{1}{4}}\right) + \dfrac{1}{4} \left( \dfrac{1 - \left(\dfrac{1}{2} \right)^{n+1}}{1 - \dfrac{1}{2}} \right) \\
& = \dfrac{1}{4} \left( \dfrac{1 - \left(\dfrac{1}{4} \right)^{n+1}}{\dfrac{3}{4}} \right) + \dfrac{1}{4} \left( \dfrac{1 - \left(\dfrac{1}{2} \right)^{n+1}}{\dfrac{1}{2}} \right) \\
& = \dfrac{1}{3} \left( 1 - \left(\dfrac{1}{4} \right)^{n+1} \right) + \dfrac{1}{2} \left( 1 - \left(\dfrac{1}{2} \right)^{n+1} \right)
\end{align*}
Or $\li_{n \to + \infty} \left(\dfrac{1}{4} \right)^{n+1} = 0$ et $\li_{n \to + \infty} \left(\dfrac{1}{2} \right)^{n+1} = 0$. Donc la série $\ds \sum_{n \geq 0} \dfrac{1+2^n}{4^{n+1}}$ est convergente et 
\begin{center}
\fbox{$ \ds \sum_{n = 0}^{+ \infty} \dfrac{1+2^n}{4^{n+1}} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{6}$ }
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Calcul direct]
\begin{enumerate}
\item La série $\ds \sum_{n \geq 1} \dfrac{1}{n!}$ est une série exponentielle convergente et 
\begin{center}
\fbox{$
\ds \sum_{n=1}^{+ \infty} \dfrac{1}{n!} = e
$}
\end{center}

\item La série $\ds \sum_{n \geq 1} \dfrac{2^n}{n!}$ est une série exponentielle convergente et 
\begin{center}
\fbox{$
\ds \sum_{n=1}^{+ \infty} \dfrac{2^n}{n!} = e^2
$}

\item On ne reconnait pas tout de suite une série exponentielle. On passe par les sommes partielles pour $N \geq k$:
\begin{align*}
\sum_{n=k}^N \dfrac{\binom{n}{k}}{n!} & = \sum_{n=k}^N  \dfrac{1}{n!} \times \dfrac{n!}{k!(n-k)!} \\
&  = \sum_{n=k}^N  \dfrac{1}{k! (n-k)!}
\end{align*}
Or $k!$ ne dépend pas de $n$ et donc 
\begin{align*}
\sum_{n=k}^N \dfrac{\binom{n}{k}}{n!} & = \dfrac{1}{k!} \sum_{n=k}^N  \dfrac{1}{(n-k)!} \\
& = \dfrac{1}{k!} \sum_{n=0}^{N-k} \dfrac{1}{n!}
\end{align*} 
en posant le changement d'indice $n' = n-k$.   
\end{center}
On sait que la série $\ds \sum_{n \geqslant 0} \dfrac{1}{n!}$ est une série exponentielle convergente. On a donc la série $\ds \sum_{n \geqslant k} \dfrac{\binom{n}{k}}{n!}$ est une série convergente et 
\begin{center}
\fbox{$
\ds \sum_{n=k}^{+ \infty} \dfrac{\binom{n}{k}}{n!} = \dfrac{e}{k!}.
$}
\end{center}

\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Calcul direct]
\begin{enumerate}
\item On passe par les sommes partielles. Pour tout $n \in \N$, en appliquant un changement d'indice 
\begin{align*}
\sum_{k = 0}^n \dfrac{3^k}{(k+1)!} & = \sum_{k=1}^{n+1} \dfrac{3^{k-1}}{k!} \\
& = \dfrac{1}{3} \sum_{k=1}^{n+1} \dfrac{3^k}{k!} \\
& = \dfrac{1}{3} \left( \sum_{k=0}^{n+1} \dfrac{3^k}{k!} -1 \right)
\end{align*}

Or la série $\ds \sum_{n \geqslant 0} \dfrac{3^n}{n!}$ est une série exponentielle convergente. La série $\ds \sum_{n \geq 0} \dfrac{3^n}{(n+1)!}$ est donc convergente et 
\begin{center}
\fbox{$
\ds \sum_{n= 0}^{+ \infty} \dfrac{3^n}{(n+1)!} = \dfrac{e^3-1}{3} . 
$
}
\end{center}

\item On passe par les sommes partielles. Pour tout $n \in \N$, en appliquant un changement d'indice 
\begin{align*}
\sum_{k = 0}^n \dfrac{(-1)^k}{(k+2)!} & = \sum_{k=2}^{n+2} \dfrac{(-1)^{k-2}}{k!} \\
& = (-1)^{-2} \sum_{k=2}^{n+2} \dfrac{(-1)^k}{k!} \\
& = \sum_{k=0}^{n+2} \dfrac{(-1)^k}{k!} -1 + 1 \\
& = \sum_{k=0}^{n+2} \dfrac{(-1)^k}{k!}
\end{align*}
Or la série $\ds \sum_{n \geqslant 0} \dfrac{(-1)^n}{n!}$ est une série exponentielle convergente. La série $\ds \sum_{n \geq 0} \dfrac{(-1)^n}{(n+2)!}$ est donc convergente et 
\begin{center}
\fbox{$
\ds \sum_{n= 0}^{+ \infty} \dfrac{(-1)^n}{(n+2)!} = e^{-1} = \dfrac{1}{e} . 
$
}
\end{center}

\item On passe par les sommes partielles. Pour tout $N \in \N$, en appliquant un changement d'indice 
\begin{align*}
\sum_{n = k}^N \binom{n}{k} \dfrac{a^k b^{n-k}}{n!} & = \sum_{n = k}^N \dfrac{n!}{k!(n-k)!} \dfrac{a^k b^{n-k}}{n!} \\
& = \dfrac{a^k}{k!} \sum_{n=k}^{N} \dfrac{b^{n-k}}{(n-k)!} \\
& = \dfrac{a^k}{k!} \sum_{n=0}^{N-k} \dfrac{b^{n}}{n!} 
\end{align*}
Or la série $\ds \sum_{n \geqslant 0} \dfrac{b^n}{n!}$ est une série exponentielle convergente. La série $\ds \sum_{n \geq k} \binom{n}{k} \dfrac{a^k b^{n-k}}{n!}$ est donc convergente et 
\begin{center}
\fbox{$
\ds \sum_{n= k}^{+ \infty} \binom{n}{k} \dfrac{a^k b^{n-k}}{n!} = \dfrac{a^k}{k!}e^b . 
$
}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo}[Telescopage]
\begin{enumerate}
\item On passe par les sommes partielles. Pour $n \in \N$, 
\begin{align*}
\sum_{k = 2}^n \ln \left( 1 - \dfrac{1}{k} \right) & = \sum_{k = 2}^n \ln \left( \dfrac{k- 1}{k} \right) \\
& = \sum_{k = 2}^n \ln \left(k- 1 \right) -  \ln(k) \\
& = \ln(1) - \ln(n) \\
& = - \ln(n)
\end{align*}
Or $\li_{n \to +\infty} - \ln(n) = - \infty$. 
\begin{center}
\fbox{La série $\ds \sum_{n \geq 0} \ln \left( 1 - \dfrac{1}{n} \right)$ n'est pas convergente.}
\end{center}

\item On a bien $\dfrac{1}{n-1} - \dfrac{1}{n} = \dfrac{n}{n(n-1)} - \dfrac{n-1}{n(n-1)} = \dfrac{1}{n(n-1)}$. On passe alors par les sommes partielles 
\begin{align*}
\sum_{k = 2}^n\dfrac{1}{k(k-1)} & = \sum_{k = 2}^n \dfrac{1}{k-1} - \dfrac{1}{k} \\
& = 1 - \dfrac{1}{n}
\end{align*}
Or $\li_{n \to +\infty} 1 - \dfrac{1}{n} = 1$. La série $\ds \sum_{n \geq 0} \dfrac{1}{n(n-1)}$ est convergente et 
\begin{center}
\fbox{$
\ds \sum_{n=2}^{+ \infty} \dfrac{1}{n(n-1)} = 1
$}
\end{center}
\end{enumerate} 
\end{exo}

\begin{exo}[Somme dérivée]
\begin{enumerate}
\item On passe par les sommes partielles. Pour $n \in \N$, on a 
\begin{align*}
\sum_{k = 1}^n \dfrac{k(k-1)}{6^k} & = \dfrac{1}{36} \sum_{k=1}^n \dfrac{k(k-1)}{6^{k-2}}
\end{align*}
Or la série $\ds \sum_{n \geq 1} \dfrac{n(n-1)}{6^{n-2}}$ est convergente car $\dfrac{1}{6} < 1$. La série $\ds \sum_{n \geq 1} \dfrac{n(n-1)}{6^n}$ est donc convergente et 
\begin{center}
\fbox{$
\ds \sum_{n=1}^{+ \infty} \dfrac{n(n-1)}{6^n} = \dfrac{1}{36} \dfrac{2}{\left(1 - \dfrac{1}{6} \right)^3} = \dfrac{6}{125}
$.}
\end{center}

\item On passe par les sommes partielles. Pour $n \in \N$, on a 
\begin{align*}
\sum_{k = 1}^n \dfrac{k^2 +1}{4^k} & =\sum_{k = 1}^n \dfrac{k^2 - k + k +1}{4^k} \\
& = \sum_{k=1}^n \dfrac{k(k-1)}{4^k} + \sum_{k=1}^n \dfrac{k}{4^k} + \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{4^k} \\
& = \dfrac{1}{16} \sum_{k=1}^n \dfrac{k(k-1)}{4^{k-2}} + \dfrac{1}{4} \sum_{k=1}^n \dfrac{k}{4^{k-1}} + \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{4^k} - 1
\end{align*}
Or les séries $\ds \sum_{n \geq 1} \dfrac{n(n-1)}{4^{n-2}}$, $\ds \sum_{n \geq 1} \dfrac{n}{4^{n-1}}$ et $\ds \sum_{n \geq 0} \dfrac{1}{4^n}$ sont convergentes car $\dfrac{1}{4} < 1$. La série $\ds \sum_{n \geq 1} \dfrac{n^2 +1}{4^n}$ est donc convergente et 
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{+ \infty} \dfrac{n^2 +1}{4^n} & = \dfrac{1}{16} \times\dfrac{2}{\left(1 - \frac{1}{4} \right)^3} + \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{\left(1 - \frac{1}{4} \right)^2} + \dfrac{1}{1 - \frac{1}{4}} - 1 \\
& = \dfrac{4^3}{4^2 \times 3^3} + \dfrac{16}{4 \times 9} + \dfrac{4}{3} - 1 \\
& = \dfrac{4}{27}+ \dfrac{4}{9} + \dfrac{4}{3} - 1 \\
& = \dfrac{4 + 12 + 36 - 27}{27} \\
& \boxed{= \dfrac{25}{27}}
\end{align*}

\item On passe par les sommes partielles. Pour $n \in \N$, on a 
\begin{align*}
\sum_{k = 1}^n \dfrac{(-1)^k k}{2^k} & = \sum_{k=1}^n k \left( - \dfrac{1}{2} \right)^k \\
& = -\dfrac{1}{2} \sum_{k=1}^n k \left( - \dfrac{1}{2} \right)^{k-1}
\end{align*}
\end{enumerate}
Or la série $\sum_{n \geq 1} n \left(- \dfrac{1}{2} \right)^{n-1}$ est une série convergente car $-1 < -\dfrac{1}{2} < 1$. La série $\sum_{n \geq 1} \dfrac{(-1)^n n}{2^n}$ est donc convergente et
\begin{center}
\fbox{$
\ds \sum_{n = 1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n n}{2^n} = - \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{\left(1 - (-1/2)\right)^2} = \dfrac{2}{9}.
$}
\end{center}
\end{exo}

\begin{exo}[Somme dérivée]
\begin{enumerate}
\item On passe par les sommes partielles. Pour $n \in \N$,
\begin{align*}
\sum_{k=0}^n \dfrac{k^2 + k + 1}{k!} & = \sum_{k=0}^n \dfrac{k^2}{k!} + \sum_{k=0}^n \dfrac{k}{k!} + \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k!} \\
& = \sum_{k=1}^n \dfrac{k}{(k-1)!} + \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{(k-1)!} + \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k!} \\
& = \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{k+1}{k!} + \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{1}{k!}+ \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k!} \\
& = \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{k}{k!} + 2\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{1}{k!}+ \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k!} \\
& = \sum_{k=1}^{n-1} \dfrac{1}{(k-1)!} + 2\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{1}{k!}+ \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k!} \\
& = \sum_{k=0}^{n-2} \dfrac{1}{k!} + 2\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{1}{k!}+ \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k!} 
\end{align*}
Or la série $\ds \sum_{n \geq 0} \dfrac{1}{n!}$ est une série exponentielle convergente. La série $\ds \sum_{n \geq 0} \dfrac{n^2 + n +1}{n!}$ est convergente donc 
\begin{center}
\fbox{$
\ds \sum_{n =1}^{+\infty} \dfrac{n^2 + n + 1}{n!} = e + 2e + e = 4e.
$}
\end{center}

\item On passe par les sommes partielles. Pour $n \in \N$, par changement d'indice, 
\begin{align*}
\sum_{k=1}^n \dfrac{k(k+1)}{5^k} & = \sum_{k=2}^{n-1} \dfrac{(k-1)k}{5^{k-1}} \\
& = \dfrac{1}{5} \sum_{k=2}^{n-1} \dfrac{k(k-1)}{5^{k-2}}
\end{align*}
Or la série $\ds \sum_{n \geqslant 2} \dfrac{n(n-1)}{5^{n-2}}$ est une série géométrique dérivée convergente car $\dfrac{1}{5} \leq 1$. La série $\ds \sum_{n \geq 1} \dfrac{n(n+1)}{5^n}$ est une série convergente et 
$
\ds \sum_{n = 1}^{+ \infty} \dfrac{n(n+1)}{5^n} = \dfrac{1}{5} \times \dfrac{2}{\left(1 - \dfrac{1}{5} \right)^3} = \dfrac{25}{84}
$

\item On passe par les sommes partielles. Pour $n\in \N$, 
\begin{align*}
\sum_{k=2}^n k(-1)^k x^{k-2} & = (-1)^{2} \sum_{k=2}^n k(-1)^{k-2} x^{k-2} \\
& = \sum_{k=2}^n k (-x)^{k-2} \\
& = (-x)^{-1} \sum_{k=2}^n k (-x)^{k-1} \\
& = -\dfrac{1}{x} \left( \sum_{k=1}^n k(-x)^{k-1} - 1 \times (-x)^0 \right) \\
& = -\dfrac{1}{x} \left( \sum_{k=1}^n k(-x)^{k-1} - 1 \right)
\end{align*}
Or la série $\ds \sum_{n \geq 1} n (-x)^{n-1}$ est convergente car $x \in ]0,1[$ donc la série $\ds \sum_{n \geq 2} n (-1)^n x^{n-2} $ est convergente et 
\begin{center}
\fbox{$
\ds \sum_{n=2}^{+\infty} n(-1)^n x^{n-2} = - \dfrac{1}{x} \left( \dfrac{1}{(1+x)^2} - 1 \right).
$}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exo}

\end{document}
