 \input{../preambules/preCorrection.tex}

\begin{document}

\chead{Correction Calculs D6}
\lfoot{}
\cfoot{Calcul}

\begin{center}
\fbox{ \Large Correction Calculs du 15/02 au 21/02}
\end{center}
\vspace{30pt}

\setcounter{theorem}{189}


\begin{exo}[Dérivées]
\begin{enumerate}
\item La fonction $f: x \to \ln(x) + e^x $ est dérivable sur $\R_+^*$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R_+^*$. On a alors : 
$$
f'(x) = \dfrac{1}{x} + e^x
$$
Or pour $x \in \R_+^*$, $\dfrac{1}{x} > 0$ et $e^x >0$ donc $f'(x) > 0$. La fonction $f$ est donc strictement croissante. De plus 
$$
\li_{x \tos 0} f(x) = - \infty \et \li_{x \to + \infty} f(x) = + \infty
$$
Ainsi $f(]0;+\infty[) = \R$. La fonction $f$ est continue sur $]0;+ \infty[$ (car dérivable) donc l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution notée $\alpha$. On a le tableau de variation suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$/1,Signes de $f'(x)$/1, Variations de $f$/2}{$0$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,}
\tkzTabVar{-/$- \infty$,+/$+\infty$} 
\end{tikzpicture}
\end{center}

D'après le tableau de variation, la fonction $f$ est strictement positive sur $]\alpha ; + \infty[$. Donc 
\begin{center}
\fbox{$\mathcal{S} = ]\alpha ; + \infty[$.}
\end{center}

\item On résout l'inéquation $e^x \ln(x) < 0$ sur $\R_+^*$. La fonction $x \to e^x$ est strictement positive donc 
\begin{align*}
e^x \ln(x) < 0 & \Longleftrightarrow \ln(x) < 0 \\
& \Longleftrightarrow  x < 1
\end{align*}
Donc \begin{center}
\fbox{$\mathcal{S} = ]0,1[$.}
\end{center}

\end{enumerate}


\end{exo}


\begin{exo}[Récurrence]
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et $u_1 = 3$ et pour tout $n \in \N$, par $u_{n+2} = \sqrt{u_{n+1}} +  \sqrt{u_n}$. On va montrer par récurrence les propositions 
$$\P_n : \left\{ u_n \text{ est bien définie et } u_n > 1\right\}.$$

\renewcommand\labelitemi{\textbullet}
\begin{itemize}
\item {\bf Initialisation :} Par définition $u_0 = 2 > 1$ et $u_1 = 3 > 1$ donc les propositions $\P_0$ et $\P_1$ sont vraies. 
\item {\bf Hérédité :} On suppose que les propositions $\P_n$ et $\P_{n+1}$ sont vraies pour un certain rang $n \geq 0$. On sait alors $u_n >1 $ et $u_{n+1} > 1$. Donc $\sqrt{u_n}$ existe et $\sqrt{u_{n+1}}$ existe donc $u_{n+2}$ est bien définie. De plus, 
$$
\sqrt{u_n} + \sqrt{u_{n+1}} > 2 > 1. 
$$
Donc $u_{n+2} > 1$. La proposition $\P_{n+2}$ est vraie. La suite de proposition $(\P_n)$ est héréditaire.
\item {\bf Conclusion :} \fbox{ Pour tout $n \geq 0$, $u_n \text{ est bien définie et } u_n > 1 $ }.
\end{itemize}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Arrêt de la correction %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{exo}[Sommes ]
\begin{enumerate}
\item On calcule à l'aide du binôme de Newton, 
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{2^k} \binom{n}{k} & = \sum_{k=1}^{n}  \binom{n}{k} \left( \dfrac{1}{2} \right)^k 1^{n-k} \\
& = \left( \dfrac{1}{2} + 1 \right)^n \\
& \boxed{= \left( \dfrac{3}{2} \right)^n}
\end{align*}
\item Pour ce produit, on ne peut pas réellement le calculer. On peut le simplifier en utilisant les factorielles. 
\begin{center}
\fbox{$\displaystyle \prod_{k=3}^n k = \dfrac{n!}{2!} = A_2^n $}
\end{center}
\item On calcule en utilisant la remarque. 
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{n} k k! & = \sum_{k=1}^n (k+1 - 1)k! \\
& = \sum_{k=1}^n (k+1)k! - k! \\
& = \sum_{k=1}^n (k+1)! - k!
\end{align*}
Il s'agit d'une somme télescopique, nous avons donc 
\begin{center}
\fbox{$
\ds \sum_{k=1}^{n} k k! = (n+1)! - 1
$}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Probabilité]
On considère une urne contenant $2$ boules noires et $2$ boules
blanches, toutes indiscernables. Un joueur $A$ effectue des tirages successifs d'une boule \textbf{\uline{sans remise}} dans l'urne jusqu'à obtenir une boule blanche. On note $X$ la variable aléatoire réelle égale au nombre de boules
noires tirées par $A$ avant de tirer une boule blanche. \\

Tout d'abord, on remarque que $X(\Omega) = \entier{0,2}$. Notons les évènements $N_i$ " je tire une boule noire au ième tirage et $B_i$ : "je tire une boule blanche au ième tirage". On a alors, 
\begin{center}
\fbox{$P(X=0) = P(B_1) =  \dfrac{1}{2}$}
\end{center}
On a également
\begin{align*}
P(X=1) & = P(N_1 \cap B_2) \\
& = P(N_1) P_{N_1} (B_2) \\
& = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{3} \\
& \boxed{= \dfrac{1}{3}}
\end{align*}
Enfin, 
\begin{align*}
P(X=2) & = P(N_1 \cap N_2) \\
& = P(N_1) \times P_{N_1}(N_2) \\
& = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} \\
& \boxed{= \dfrac{1}{6}}
\end{align*}
On remarque que $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = 1$. On a déterminé la loi de la variable aléatoire $X$. Donc 
\begin{center}
\fbox{$
E(X) = 0 \times P(X=0) + 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2) = \dfrac{2}{3}
$}
\end{center}
Ensuite, d'après le théorème de transfert
\begin{align*}
E(X^2) & = 0^2 \times P(X=0) + 1^2 \times P(X=1) + 2^2 \times P(X=2) \\
& = \dfrac{1}{3} + 4 \times \dfrac{1}{6} \\
& = 1
\end{align*}
Et d'après la formule de Koenig Huygens, on obtient, 
\begin{align*}
V(X) &=  E(X^2) - E(X)^2 \\
& = 1 - \dfrac{4}{9} \\
& \boxed{= \dfrac{5}{9}}
\end{align*}
\end{exo}

\begin{exo}[Limites]
\begin{enumerate}
\item On a pour $x < 0$,
$$
\ln(x^2)e^x = \dfrac{\ln(x^2)}{x^2} \times x^2e^x
$$
Or par croissances comparées,
$$
\li_{x \to - \infty} \dfrac{\ln(x^2)}{x^2} = \li_{X \to + \infty} \dfrac{\ln(X)}{X} = 0
$$
et
$$
\li_{x \to - \infty} x^2 e^x = 0
$$
Donc 
\begin{center}
\fbox{$ \li_{x \to -\infty } \ln(x^2)e^x = 0$.}
\end{center}
 

\item Le polynôme $X^3 -2X +1$ admet $1$ comme racine. En effectuant la division euclidienne, on obtient: 
$$
X^3 - 2X + 1 = (X-1)(X^2 +X -1)
$$
Donc
\begin{align*}
\lim\limits_{x \tos 1}  \dfrac{x^3 -2x +1}{x^2 -1} & = \li_{x \tos 1} \dfrac{(x-1)(x^2 + x -1)}{(x-1)(x+1)} \\
& = \li_{x \tos 1} \dfrac{x^2 + x - 1}{x+1} \\
& \boxed{= \dfrac{1}{2}}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{exo}

%%%%%%%%%% On en est là dans la correction %%%%%%%%%%%

\begin{exo}[Système]
On utilise la méthode du pivot de Gauss pour résoudre le système: 
\begin{align*}
\left\{ \begin{array}{rcl}
(1-\lambda)x +2y -z & = & 0 \\
-2x - (3+\lambda)y + 3z & = & 0 \\
x + y -(2+\lambda) z & = & 0
\end{array} \right. & \Longleftrightarrow 
\left\{\begin{array}{rrrrr @{\quad =\quad} r  @{\qquad} r}
x   &+& y &-& (2+\lambda)z   & 0 & \\
-2x &-& (3+\lambda)y &+& 3z  & 0 & L_1 \leftrightarrow L_3 \\
(1-\lambda)x &+& 2y &-& z    & 0 & 
\end{array}\right. \\
& \Longleftrightarrow 
\left\{\begin{array}{rrrrr @{\quad =\quad} r  @{\qquad} r}
x   &+& y &-& (2+\lambda)z   & 0 & \\
&-& (1+\lambda)y &-& (1 + 2\lambda)z & 0 & L_2 + 2L_1 \to L_2\\
&& (1+\lambda) y &+& (-\lambda^2 - \lambda +1)  z    & 0 & L_3 - (1-\lambda)L_1 \to L_3
\end{array}\right. \\
& \Longleftrightarrow 
\left\{\begin{array}{rrrrr @{\quad =\quad} r  @{\qquad} r}
x   &+& y &-& (2+\lambda)z   & 0 & \\
&-& (1+\lambda)y &-& (1 +2\lambda)z & 0 & \\
&& 0 &+& (-\lambda^2 - 3\lambda)  z    & 0 & L_3 + L_2 \to L_3
\end{array}\right.  \\
& \Longleftrightarrow 
\left\{\begin{array}{rrrrr @{\quad =\quad} r  @{\qquad} r}
x   &+& y &-& (2+\lambda)z   & 0 & \\
&-& (1+\lambda)y &-& (1 +2\lambda)z & 0 & \\
&& 0 &+& - \lambda(\lambda + 3)  z    & 0 & 
\end{array}\right. 
\end{align*}
Ce système est de Cramer si et seulement si les pivots sont non nuls. Or les pivots sont nuls si et seulement si 
$$
1 + \lambda = 0 \Longleftrightarrow \lambda= -1 \et \lambda(\lambda + 3) = 0 \Longleftrightarrow \lambda = 0 \quad \text{ou} \quad \lambda = -3 
$$
Il y a donc 4 cas possibles.
\begin{enumerate}
\item Si $\lambda \in \R \setminus \{-3, -1, 0 \}$ : Dans ce cas, le système est de Cramer et il n'a qu'une unique solution qui est forcément $(0,0,0)$. 

\item Si $\lambda = -1$, le système est équivalent à
$$
\left\{\begin{array}{rrrrr @{\quad =\quad} r  @{\qquad} r}
x   &+& y &-& z   & 0 & \\
&& 0 &-& 0 & 0 & \\
&&&& 2  z    & 0 & 
\end{array}\right.
 \Longleftrightarrow 
\left\{\begin{array}{rrrrr @{\quad =\quad} r  @{\qquad} r}
&&&& x   & -y & \\
&& 0 &+& z & 0 & \\
&&&&  z    & 0 & 
\end{array}\right.
$$

\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions du système est $ \mathcal{S} = \left\{ \vect{-y}{y}{0}, y \in \R \right\}$}
\end{center}

\item Si $\lambda = -3$, le système est équivalent à
$$
\left\{\begin{array}{rrrrr @{\quad =\quad} r  @{\qquad} r}
x   &+& y &+& z   & 0 & \\
&& 2y &+& 5z & 0 & \\
&& && 0    & 0 & 
\end{array}\right. 
 \Longleftrightarrow 
\left\{\begin{array}{rrrrr @{\quad =\quad} r  @{\qquad} r}
&&&& x   & + \frac{3}{2}z & \\
&&&& y & - \frac{5}{2}z & \\
&&&&  0    & 0 & 
\end{array}\right.
$$

\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions du système est $ \mathcal{S} = \left\{ \vect{\frac32 z}{-\frac52 z}{z}, z \in \R \right\}$}
\end{center}

\item Si $\lambda = 0$, le système est équivalent à
$$
\left\{\begin{array}{rrrrr @{\quad =\quad} r  @{\qquad} r}
x   &+& y &-& 2z   & 0 & \\
&-& y &-& z & 0 & \\
&&&& 0    & 0 & 
\end{array}\right.  
 \Longleftrightarrow 
\left\{\begin{array}{rrrrr @{\quad =\quad} r  @{\qquad} r}
&&&& x & 3z & \\
&&&& y & -z & \\
&&&& 0 & 0  & 
\end{array}\right. 
$$

\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions du système est $ \mathcal{S} = \left\{ \vect{3 z}{-z}{z}, z \in \R \right\}$}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Intégrales / Primitives]

\begin{enumerate}
\item La fonction $x \to - \dfrac{3}{x^2}$ est continue sur $[1,3]$ car $x^2$ différent de 0 sur cet intervalle. On calcule donc 
\begin{align*}
\int_{1}^{3} - \dfrac{3}{x^2} dx & = \left[ \dfrac{3}{x} \right]_1^3  \\
& = \dfrac{3}{3} - \dfrac{3}{1}  \\
& \boxed{= - 2}
\end{align*}
\item La fonction $x \to e^{5x+1}$ est continue sur $[0,4]$ en tant que composée de fonction continue. On calcule donc
\begin{align*}
\int_{0}^{4} e^{5x+1}  dx & = \left[\dfrac{1}{5} e^{5x+1} \right]_0^4 \\
& \boxed{= \dfrac{e^{21} - e}{5}}
\end{align*}
\item Pour $x \in [0,2]$, $3x^3 +1 \neq 0$. La fonction $x \to \dfrac{x^2}{3x^3 +1}$ est continue sur $[0,2]$ en tant que quotient de fonctions continues. On calcule donc
\begin{align*}
\int_{0}^{2} \dfrac{x^2}{3x^3 +1} dx &= \left[ \dfrac{1}{9} \ln(3x^3 + 1) \right]_0^2 \\
& \boxed{= \dfrac{\ln(25)}{9} - 0}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{exo}

\end{document}
