 \input{../preambules/preCorrection.tex}

\begin{document}

\chead{Correction Calculs D5}
\lfoot{}
\cfoot{Calcul}

\begin{center}
\fbox{ \Large Correction Calculs du 08/02 au 14/02}
\end{center}
\vspace{30pt}

\setcounter{theorem}{182}


\begin{exo}[Dérivées]
\begin{enumerate}
\item La fonction $x \to -x^2 + 4x$ est dérivable sur $\R$. La fonction $X \to X^4$ est dérivable sur $\R$. Donc par composée de fonctions, la fonction $f$ est dérivable sur $\R$. 
On calcule alors 
\begin{center}
\fbox{$
f'(x) = 4 \times (-2x+4)(-x^2 +4x)^3  
$}
\end{center}
\item Afin de déterminer le domaine de dérivabilité de $g$, il faudrait résoudre $x^2 + 3x +1 > 0$. Le discriminant de ce polynôme est $\Delta = 9 - 4 = 5$. Ainsi 
$$
x_1 = \dfrac{-3 - \sqrt{5}}{2}, \qquad x_2 = \dfrac{-3 + \sqrt{5}}{2}
$$
 La fonction $g$ est donc dérivable sur $\left] - \infty ; x_1 \right[ \cup ]x_2 ; +\infty[$. On a dans ce cas,
\begin{align*}
g'(x) & = \dfrac{(x^2 +3x +1) - (2x+3)(x-5)}{(x^2 + 3x +1)^2} \\
& = \dfrac{x^2 + 3x + 1 - 2x^2 + 7x +15}{(x^2 + 3x +1)^2} \\
& = \dfrac{-x^2 + 10x + 16}{(x^2 + 3x +1)^2} 
\end{align*}

\begin{center}
\fbox{$
g'(x) = \dfrac{-x^2 + 10x + 16}{(x^2 + 3x +1)^2} 
$}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Inéquations]
Résoudre les inéquations suivantes.
\begin{enumerate}
\item On résout pour tout $x \in \R$, 
\begin{align*}
e^{x^2 +2x + \ln(2)} \geq 2 & \Longleftrightarrow x^2 +2x + \ln(2) \geq \ln(2) \\
& \Longleftrightarrow x^2 + 2x \geq 0 \\
& \Longleftrightarrow x(x+2) \geq 0
\end{align*}
En traçant un tableau de signe, on détermine l'ensemble des solutions
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_1 = 
]- \infty ; -2[ \cup ]0;+\infty[$.}
\end{center}
\item Pour tout $x$ réel, on a $x^2 \geq 0$ et notamment $x^2 + 2 \geq 0$
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_2 = \R $.}
\end{center}
\end{enumerate}


\end{exo}


\begin{exo}[Récurrence]
On considère la fonction $f : x \to e^{-x^2}$.On va montrer par récurrence les propositions 
$$\P_n : \left\{ f \text{ est dérivable n fois et } f^{(n)}(x) = P_n(x)e^{-x^2} \text{ où $P_n$ est un polynôme de degré $n$}\right\}.$$

\renewcommand\labelitemi{\textbullet}
\begin{itemize}
\item {\bf Initialisation :} Par définition $f^{(0)} = f$ Or en posant $P_0(X) = 1$, on a bien $deg(P_0) = 0$ et 
$$
\forall x \in \R, f(x) = P_0(x) e^{-x^2} := f^{(0)}(x)
$$
\item {\bf Hérédité :} On suppose que la proposition $\P_n$, est vraie pour un certain rang $n \geq 0$. On sait alors que la fonction $f$ est dérivable $n$ fois et que sa dérivée vérifie
$$
\forall x \in \R, f^{(n)}(x) = P_n(x)e^{-x^2}
$$
avec $P_n \in \R[X]$ et $deg(P_n) = n$. Or
La fonction $P_n$ est dérivable sur $\R$ (Polynôme) et la fonction $x \to e^{-x^2}$ est dérivable sur $\R$ (en tant que composée). Donc, par produit la fonction $f^{(n)}$ est dérivable sur $\R$ et donc la fonction $f$ est dérivable $(n+1)$ fois sur $\R$. En dérivant, on obtient pour tout $x$ réel :
\begin{align*}
f^{(n+1)} (x) = (f^{(n)})'(x) & = P_n'(x) e^{-x^2} + P_n(x) \times (-2x) e^{-x^2}\\
& = (P_n'(x) + -2xP_n(x))e^{-x^2} 
\end{align*}
On pose alors le polynôme $P_{n+1}(X) = P_n'(X) -2XP_n(X)$. (Il s'agit bien d'un polynôme puisque la dérivée d'un polynôme est un polynôme, le produit et la somme de 2 polynômes sont des polynômes).  \\

De plus, $deg(-2X P_n(X)) = n+1$ et $deg(P_n'(X)) = n-1$ donc $deg(P_{n+1}(X)) = n+1$. \\

La proposition $\P_{n+1}$ est vraie. La suite de proposition $(\P_n)$ est héréditaire.
\item {\bf Conclusion :} \fbox{ Pour tout $n \geq 0$, $f \text{ est dérivable n fois et } f^{(n)}(x) = P_n(x)e^{-x^2} $ }.
De plus, $P_n$ est bien un polynôme de degré $n$ obtenu par la relation : 
\begin{center}
\fbox{$ P_0 = 1, \qquad P_{n+1}(X) = P_n'(X) - 2X P_n(X)$.}
\end{center}
\end{itemize}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Arrêt de la correction %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{exo}[Sommes ]
On détermine $a$ et $b$ tels que 
\begin{align*}
\dfrac{1}{k^2 - 1} = \dfrac{a}{k-1} + \dfrac{b}{k+1} & \Longleftrightarrow \dfrac{1}{k^2 - 1} = \dfrac{a(k+1)}{k^2 - 1} + \dfrac{b(k-1)}{k^2 - 1} \\
& \Longleftrightarrow \dfrac{1}{k^2 - 1} = \dfrac{ak+ a + bk - b}{(k+1)(k+2)}  \\
& \Longleftrightarrow (a+b)k + a - b = 1 
\end{align*}
Par identification, on pose le système, 
\begin{align*}
\begin{cases}
a + b = 0 \\
a - b = 1
\end{cases} & \Longleftrightarrow 
\begin{cases}
a + b = 0 \\
a = \dfrac{1}{2}
\end{cases} \\
& \Longleftrightarrow 
\begin{cases}
b = -\dfrac{1}{2} \\
a = \dfrac{1}{2}
\end{cases}
\end{align*}
On a donc 
$$
\dfrac{1}{k^2 - 1} = \dfrac{1}{2(k-1)} - \dfrac{1}{2(k+1)}
$$
Ainsi, on reconnait une somme télescopique
\begin{align*}
S_n & = \sum_{k=2}^n \dfrac{1}{k^2 - 1} \\
& = \sum_{k=2}^n \dfrac{1}{2(k-1)} - \dfrac{1}{2(k+1)} \\
& = \dfrac{1}{2} \sum_{k=2}^n \dfrac{1}{k-1} - \dfrac{1}{k+1} \\
& = \dfrac{1}{2} \sum_{k=2}^n \dfrac{1}{k-1} - \dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1} \\
& = \dfrac{1}{2} \sum_{k=2}^n \dfrac{1}{k-1} - \dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{2} \sum_{k=2}^n  \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1} \\
& = \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{1}{2-1} - \dfrac{1}{n}\right) + \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{n+1} \right) \\
& \boxed{= \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{2n} - \dfrac{1}{2(n+1)}}
\end{align*}

\end{exo}

\begin{exo}[Probabilité]
Un joueur lance 3 fois une pièce truquée ayant pour probabilité $p  \in ]0,1[$ de faire Pile. Le joueur gagnera $j$ euros si pile tombe pour la première fois au $j$-ème tirage. Il perd 1 euro si pile ne tombe pas lors des 3 tirages. On note $G$ le gain du joueur. \\

La variable aléatoire $G$ peut prendre les valeurs $0$, $1$, $2$ et $3$. Donc 
$$
G(\Omega) = \entier{0,3}
$$

On note $P_j$, l'évènement "obtenir un Pile au $j$-ième tirage et $F_j$, l'évènement "Obtenir un Face au $j$-ième tirage". Ainsi :
$$
P(G=1) = P(P_1) = p
$$
Les évènements $F_1$ et $P_2$ sont 
\begin{align*}
P(G = 2) & = P(F_1 \cap P_2) \\
& = P(F_1) P(P_2) \\
& = (1-p)p
\end{align*}
Enfin, les évènements $F_1$, $F_2$ et $P_3$ sont mutuellement indépendants et donc 
\begin{align*}
P(G = 3) & = P(F_1 \cap F_2 \cap P_3) \\
& = P(F_1) P(F_2) P(P_3) \\
& = (1-p)^2 p 
\end{align*}
Enfin, on n'obtient aucun pile si nous avons obtenu que des Face. 
\begin{align*}
P(G=0) & = P(F_1 \cap F_2 \cap F_3) \\
& = (1-p)^3
\end{align*}

L'espérance de $G$ se calcule ainsi. 
\begin{align*}
E(G) & = 0 \times P(G=0) + 1 \times P(G=1) + 2 \times P(G=2) + 3 \times P(G=3) \\
& = p + 2(1-p)p + 3(1-p)^2 p \\
& = p(1 + 2(1- p) + 3(1- p)^2) \\
& \boxed{= p(6 - 8p + p^2)}
\end{align*}
\end{exo}

\begin{exo}[Limites]
\begin{enumerate}
\item On rappelle que par taux d'accroissement,
$$
\li_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} = 1
$$
Donc  $ \li_{x \to 0} \dfrac{x }{e^x - 1} = 1$ et 
\begin{center}
\fbox{$ \li_{x \to 0} \dfrac{x^2 }{e^x - 1} = \li_{x \to 0} x \times \dfrac{x}{e^x - 1} = 0$.}
\end{center}
 

\item On a par croissance comparée, 
$$
\li_{x \to + \infty} \dfrac{\ln(x)^3}{x} = 0 \et \li_{x \to + \infty} \dfrac{x}{e^{2x}} = 0
$$
Donc
\begin{center}
\fbox{$
\li_{x \to + \infty} \dfrac{\ln(x)^3}{e^{2x}} = \li_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)^3}{x} \times \dfrac{x}{e^{2x}}  = 0$
}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Système]
On utilise la méthode du pivot de Gauss pour résoudre le système: 
\begin{align*}
\left\{\begin{array}{rrr @{\quad =\quad} r}
\lambda x&+&y& 0 \\
x&+&(2-\lambda)y& 0 
\end{array}\right. & \Longleftrightarrow 
\left\{\begin{array}{rrr @{\quad =\quad} r  @{\qquad} r}
x&+&(2-\lambda)y& 0 & \\
\lambda x&+&y& 0  & L_1 \leftrightarrow L_2
\end{array}\right. \\
& \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rrr @{\quad =\quad} r  @{\qquad} r}
x&+&(2-\lambda)y& 0 & \\
&&(1 - \lambda(2-\lambda))y& 0  & L_2 - \lambda L_1 \to L_2
\end{array}\right. \\
& \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rrr @{\quad =\quad} r  @{\qquad} r}
x&+&(2-\lambda)y& 0 & \\
&&(1 - 2 \lambda + \lambda^2)y& 0  & 
\end{array}\right. \\
& \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rrr @{\quad =\quad} r  @{\qquad} r}
x&+&(2-\lambda)y& 0 & \\
&&(1 - \lambda )^2 y& 0  & 
\end{array}\right. 
\end{align*}
Ce système est de Cramer si et seulement si les pivots sont non nuls. Or les pivots sont nuls si et seulement si 
$$
(1 - \lambda)^2 = 0 \Longleftrightarrow \lambda= 1 
$$
Il y a donc 3 cas possibles.
\begin{enumerate}
\item Si $\lambda \in \R \setminus \{1 \}$ : Dans ce cas, le système est de Cramer et il n'a qu'une unique solution qui est forcément $(0,0)$. 

\item Si $\lambda = 1$, le système est équivalent à
$$
\left\{\begin{array}{rrr @{\quad =\quad} r  @{\qquad} r}
x&+&y& 0 & \\
&&0& 0  & 
\end{array}\right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rrr @{\quad =\quad} r  @{\qquad} r}
&&x & -y & \\
&&0 & 0  &
\end{array}\right.
$$

\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions du système est $ \mathcal{S} = \left\{ \vect{-y}{y}{}, y \in \R \right\}$}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exo}

\end{document}
