 \input{../preambules/preCorrection.tex}

\begin{document}

\chead{Correction Calculs D4}
\lfoot{}
\cfoot{Calcul}

\begin{center}
\fbox{ \Large Correction Calculs du 01/02 au 07/02}
\end{center}
\vspace{30pt}

\setcounter{theorem}{175}


\begin{exo}[Dérivées]
\begin{enumerate}
\item La fonction $x \to x^2 + 4$ est dérivable sur $\R$. La fonction $X \to X^3$ est dérivable sur $\R$. Donc par composée de fonctions, la fonction $f$ est dérivable sur $\R$. 
On calcule alors 
\begin{center}
\fbox{$
f'(x) = 3 (2x)(x^2 +4)^2 = 6x(x^2 +4)^2 
$}
\end{center}
\item Afin de déterminer le domaine de dérivabilité de $g$, il faudrait résoudre $x^3 + x^2 + 1 > 0$. Or, ce polynôme n'a pas de racines évidente. On ne peut donc pas factoriser ni résoudre cette inéquation. On remarque néanmoins que pour $x \geq 0$, $x^3 + x^2 +1 >0$. Donc la fonction $g$ est à minima dérivable sur $[0 ;+ \infty[$.

On calcule alors pour tout $x \in \R_+$, 
\begin{center}
\fbox{$
g'(x) = \dfrac{3x^2 + 2x}{x^3 + x^2 + 1} 
$}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Inéquations]
Résoudre les inéquations suivantes.
\begin{enumerate}
\item On résout pour tout $x \in \R \setminus \{1 \}$, 
\begin{align*}
\dfrac{1}{x^2 +1} \geq \dfrac{1}{x-1} & \Longleftrightarrow 1 \geq \dfrac{x^2 +1}{x-1}
\end{align*}
car pour tout $x$ réel, $x^2 +1  > 0$. On poursuit
\begin{align*}
\dfrac{1}{x^2 +1} \geq \dfrac{1}{x-1} & \Longleftrightarrow  \dfrac{x^2 +1}{x-1} - 1 \leq 0 \\
& \Longleftrightarrow  \dfrac{x^2 + 1 - (x-1)}{x-1)} \leq 0 \\
& \Longleftrightarrow \dfrac{x^2 - x +2}{x-1} \leq 0
\end{align*}
On résout alors $x^2- x + 2 =0$. Le discriminant de cette équation est $\Delta = 1 -8 = -7$. Cette équation n'a pas de solution donc 
$$
\forall x \in \R, x^2 - x +2 > 0.
$$
Donc la fraction est du signe de $x-1$. Elle est donc négative sur $]- \infty ; 1[$. Ainsi
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_1 = 
]- \infty ; 1[$.}
\end{center}
\item L'expression $\ds \sum_{k=0}^n e^{-k}$ est une somme de termes strictement positif donc elle ne pourra jamais être négative quel que soit le nombre $n$
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_2 = \emptyset $.}
\end{center}
\end{enumerate}


\end{exo}


\begin{exo}[Récurrence]
On va montrer par récurrence les propositions 
$$\P_n : \left\{ f \text{ est dérivable n fois et } f^{(n)}(x) = P_n(x)e^{x^2+3x} \text{ où $P_n$ est un polynôme de degré $n$}\right\}.$$

\renewcommand\labelitemi{\textbullet}
\begin{itemize}
\item {\bf Initialisation :} Par définition $f^{(0)} = f$ Or en posant $P_0(X) = 1$, on a bien $deg(P_0) = 0$ et 
$$
\forall x \in \R, f(x) = P_0(x) e^{x^2 +3x} := f^{(0)}(x)
$$
\item {\bf Hérédité :} On suppose que la proposition $\P_n$, est vraie pour un certain rang $n \geq 0$. On sait alors que la fonction $f$ est dérivable $n$ fois et que sa dérivée vérifie
$$
\forall x \in \R, f^{(n)}(x) = P_n(x)e^{x^2+3x}
$$
avec $P_n \in \R[X]$ et $deg(P_n) = n$. Or
La fonction $P_n$ est dérivable sur $\R$ (Polynôme) et la fonction $x \to e^{x^2 + 3x}$ est dérivable sur $\R$ (en tant que composée). Donc, par produit la fonction $f^{(n)}$ est dérivable sur $\R$ et donc la fonction $f$ est dérivable $(n+1)$ fois sur $\R$. En dérivant, on obtient pour tout $x$ réel :
\begin{align*}
f^{(n+1)} (x) = (f^{(n)})'(x) & = P_n'(x) e^{x^2+3x} + P_n(x) \times (2x+3) e^{x^2 + 3x}\\
& = (P_n'(x) + (2x+3)P_n(x))e^{x^2 + 3x} 
\end{align*}
On pose alors le polynôme $P_{n+1}(X) = P_n'(X) + (2X+3)P_n(X)$. (Il s'agit bien d'un polynôme puisque la dérivée d'un polynôme est un polynôme, le produit et la somme de 2 polynômes sont des polynômes).  \\

De plus, $deg((2X+3)P_n(X)) = n+1$ et $deg(P_n'(X)) = n-1$ donc $deg(P_{n+1}(X)) = n+1$. \\

La proposition $\P_{n+1}$ est vraie. La suite de proposition $(\P_n)$ est héréditaire.
\item {\bf Conclusion :} \fbox{ Pour tout $n \geq 0$, $f \text{ est dérivable n fois et } f^{(n)}(x) = P_n(x)e^{x^2+3x} $ }.
De plus, $P_n$ est bien un polynôme de degré $n$ obtenu par la relation : 
\begin{center}
\fbox{$ P_0 = 1, \qquad P_{n+1}(X) = P_n'(X) + (2X+3)P_n(X)$.}
\end{center}
\end{itemize}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Arrêt de la correction %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{exo}[Sommes ]
On détermine $a$ et $b$ tels que 
\begin{align*}
\dfrac{1}{(k+1)(k+2)} = \dfrac{a}{k+1} + \dfrac{b}{k+2} & \Longleftrightarrow \dfrac{1}{(k+1)(k+2)} = \dfrac{a(k+2)}{(k+1)(k+2)} + \dfrac{b(k+1)}{(k+1)(k+2)} \\
& \Longleftrightarrow \dfrac{1}{(k+1)(k+2)} = \dfrac{ak+2a + bk + b}{(k+1)(k+2)}  \\
& \Longleftrightarrow (a+b)k + 2a + b = 1 
\end{align*}
Par identification, on pose le système, 
\begin{align*}
\begin{cases}
a+b = 0 \\
2a + b = 1
\end{cases} & \Longleftrightarrow 
\begin{cases}
a + b = 0 \\
a = 1
\end{cases} \\
& \Longleftrightarrow 
\begin{cases}
b = -1 \\
a = 1
\end{cases}
\end{align*}
On a donc 
$$
\dfrac{1}{(k+1)(k+2)} = \dfrac{1}{k+1} - \dfrac{1}{k+2}
$$
Ainsi, on reconnait une somme télescopique
\begin{align*}
S_n & = \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{(k+1)(k+2)} \\
& = \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k+1} - \dfrac{1}{k+2} \\
& = \dfrac{1}{0+1} - \dfrac{1}{n+2} \\
& \boxed{= 1 - \dfrac{1}{n+2}}
\end{align*}

\end{exo}

\begin{exo}[Probabilité]
Un avion peut accueillir 20 personnes. On sait que 25\% des clients ayant réservé ne viennent pas. Soit
$X$ la variable aléatoire : "nombre de clients qui viennent après avoir réservé". \\

L'expérience "Un client vient après avoir réservé" est une expérience de Bernoulli (il n'y a que 2 issues possibles) de probabilité de succès $p = 0,75$. On répète cette expérience $20$ fois (pour chaque client) de façon indépendante et $X$ compte le nombre de succès de cette expérience. Donc $X$ suit une loi binomiale de paramètre $20$ et $0,75$. 
\begin{center}
\fbox{$
X \loi{B} \left( 20, 3/4 \right)
$}
\end{center}
On a donc 
\begin{center}
\fbox{$E(X) = 20 \times \dfrac{3}{4} = 15$ et $V(X) = 20 \times \dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{15}{4}$}
\end{center}

\end{exo}

\begin{exo}[Limites]
\begin{enumerate}
\item On rappelle que par taux d'accroissement,
$$
\li_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} = 1
$$
Donc 
\begin{center}
\fbox{$ \li_{x \to 0} \dfrac{x }{e^x - 1} = 1$.}
\end{center}
 

\item A l'aide du changement de variable $X = x^2$, on a par croissance comparée,
\begin{center}
\fbox{$
\li_{x \to + \infty} \dfrac{e^{x^2}}{x^2} = \li_{X \to +\infty} \dfrac{e^X}{X} = + \infty $
}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Système]
On utilise la méthode du pivot de Gauss pour résoudre le système: 
\begin{align*}
\left\{\begin{array}{rrr @{\quad =\quad} r}
(2 - \lambda)x&+&y& 0 \\
x&+&(2-\lambda)y& 0 
\end{array}\right. & \Longleftrightarrow 
\left\{\begin{array}{rrr @{\quad =\quad} r  @{\qquad} r}
x&+&(2-\lambda)y& 0 & \\
(2 - \lambda)x&+&y& 0  & L_1 \leftrightarrow L_2
\end{array}\right. \\
& \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rrr @{\quad =\quad} r  @{\qquad} r}
x&+&(2-\lambda)y& 0 & \\
&&(1 - (2-\lambda)^2)y& 0  & L_2 - (2-\lambda)L_1 \to L_2
\end{array}\right. \\
& \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rrr @{\quad =\quad} r  @{\qquad} r}
x&+&(2-\lambda)y& 0 & \\
&&(\lambda -1)(3 - \lambda)y& 0  & L_2 - (2-\lambda)L_1 \to L_2
\end{array}\right. 
\end{align*}
Ce système est de Cramer si et seulement si les pivots sont non nuls. Or les pivots sont nuls si et seulement si 
$$
(\lambda -1)(3 - \lambda) = 0 \Longleftrightarrow \lambda= 1 \et \lambda = 3
$$
Il y a donc 3 cas possibles.
\begin{enumerate}
\item Si $\lambda \in \R \setminus \{1 , 3 \}$ : Dans ce cas, le système est de Cramer et il n'a qu'une unique solution qui est forcément $(0,0)$. 

\item Si $\lambda = 1$, le système est équivalent à
$$
\left\{\begin{array}{rrr @{\quad =\quad} r  @{\qquad} r}
x&+&y& 0 & \\
&&0& 0  & 
\end{array}\right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rrr @{\quad =\quad} r  @{\qquad} r}
&&x & -y & \\
&&0 & 0  &
\end{array}\right.
$$

\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions du système est $ \mathcal{S} = \left\{ \vect{-y}{y}{}, y \in \R \right\}$}
\end{center}

\item Si $\lambda = 3$, le système est équivalent à
$$
\left\{\begin{array}{rrr @{\quad =\quad} r  @{\qquad} r}
x&-&y& 0 & \\
&&0& 0  & 
\end{array}\right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rrr @{\quad =\quad} r  @{\qquad} r}
&&x & y & \\
&&0 & 0  &
\end{array}\right.
$$

\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions du système est $ \mathcal{S} = \left\{ \vect{y}{y}{}, y \in \R \right\}$}
\end{center}
\end{enumerate}


\end{exo}

\end{document}
