 \input{../preambules/preCorrection.tex}

\begin{document}

\chead{Correction Calculs D3}
\lfoot{}
\cfoot{Calcul}

\begin{center}
\fbox{ \Large Correction Calculs du 25/01 au 31/01}
\end{center}
\vspace{30pt}

\setcounter{theorem}{168}


\begin{exo}[D�riv�es]
\begin{enumerate}
\item Pour tout $x$ r�el, la quantit� $x^2 + 4$ est positive ou nulle. De plus les fonctions $x \to x^2 + 4$ et racine carr�e sont respectivement d�rivables sur $\R$ et sur $\R_+$ donc (par compos�e) la fonction $f$ est d�finie et d�rivable sur $\R$.   
On calcule alors 
\begin{center}
\fbox{$
f'(x) = \dfrac{2x}{2 \sqrt{x^2 + 4}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 +4}} 
$}
\end{center}
\item On r�sout $x^3 - x = 0 \Longleftrightarrow x(x^2 - 1) = 0 \Longleftrightarrow x(x-1)(x+1) = 0$. Les solutions de cette �quation sont donc $\{-1,0,1 \}$.
Par compos�e, la fonction $x \to \dfrac{1}{x^3 - x}$ est d�rivable sur $\R \setminus \{-1,0,1 \}$.   \\

On calcule alors pour tout $x \in \R \setminus \{-1,0,1 \}$, 
\begin{center}
\fbox{$
g'(x) = - \dfrac{3x^2 - 1}{(x^3 - x)^2} 
$}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[In�quations]
R�soudre les in�quations suivantes.
\begin{enumerate}
\item On r�sout pour tout $x \in \R$, 
\begin{align*}
x - xe^x \geq 0 & \Longleftrightarrow x(1-e^x) \geq 0
\end{align*}
Il faut alors construire un tableau de signe. On rappelle que $1-e^x \geq 0 \Longleftrightarrow 1 \geq e^x \Longleftrightarrow x \leq 0$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=5,espcl=2]{$x$/1,Signe de $x$/1,Signe de $1-ex$/1, Signe de $x-xe^x$/2}{$-\infty$,$0$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,} 
\tkzTabLine{,+,z,-,}
\tkzTabLine{,-,z,-,}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est alors $\mathscr{S}_1 = 
\left\{ 0 \right\}$.}
\end{center}
\item On r�sout l'in�quation $x^3 - 1 < 0$ � l'aide d'un tableau de signe. Pour cela il faut connaitre les racines des polyn�mes $x^3 - 1$. Or $1$ est une racine �vidente du polyn�me $x^3 - 1$ donc, � l'aide d'une division euclidienne, on obtient 
$$
x^3 - 1 = (x-1)(x^2 +x +1)
$$
Le discriminant de l'�quation $x^2 + x + 1 = 0$ est $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$ donc la quantit� $x^2 + x + 1$ est toujours positive. Le signe de $x^3 - 1$ est donc le m�me que le signe de $x-1$. Ainsi, 
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_2 = ]-\infty;1[ $.}
\end{center}
\end{enumerate}


\end{exo}


\begin{exo}[R�currence]
On va montrer par r�currence les propositions 
$$\P_n : \left\{ \sum_{k=0}^n k2^k = (n-1)2^{n+1} +2 \right\}.$$

\renewcommand\labelitemi{\textbullet}
\begin{itemize}
\item {\bf Initialisation :} On calcule d'une part $\sum_{k=0}^0 k2^k = 0$. D'autre part $(0-1)2^{0+1} +2 = -2 +2 = 0$. Donc la proposition $\P_0$ est vraie.
\item {\bf H�r�dit� :} On suppose que la proposition $\P_n$, est vraie pour un certain rang $n \geq 0$. On a alors 
$$\sum_{k=0}^n k2^k = (n-1)2^{n+1} +2.$$ 
En utilisant la relation de Chasles pour les sommes, on obtient,
\begin{align*}
\sum_{k=0}^{n+1} k2^k & = \sum_{k=0}^{n} k 2^k + (n+1)2^{n+1} \\
& = (n-1)2^{n+1} + 2 + (n+1)2^{n+1} \\
& = (n-1 + n+1) 2^{n+1}  + 2 \quad \text{On factorise par $2^{n+1}$} \\
& = 2n \times 2^{n+1} + 2 \\
& = n 2^{n+2} + 2
\end{align*}
La proposition $\P_{n+1}$ est vraie. La suite de proposition $(\P_n)$ est h�r�ditaire.
\item {\bf Conclusion :} \fbox{ Pour tout $n \geq 0$, $\ds  \sum_{k=0}^n k2^k = (n-1)2^{n+1} +2 $ }.
\end{itemize}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{exo}[Sommes ]
Donner le r�sultat de la somme ou du produit suivant :
\begin{enumerate}
\item On calcule en s�parant les deux sommes (propri�t� de lin�arit�) :
\begin{align*}
\sum_{k=0}^{n} (k^3 - 2 \times 3^k) & = \sum_{k=0}^n k^3 - 2 \sum_{k=0}^n 3^k \\
& = \left(\dfrac{n(n+1)}{2} \right)^2 - 2 \dfrac{1-3^{n+1}}{1-3} \\
 & = \boxed{\left(\dfrac{n(n+1)}{2} \right)^2 + 1 - 3^{n+1}}
\end{align*}

\item En utilisant la formule du bin�me de Newton, on calcule 
\begin{align*}
 \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} 4^k 3^{n-k} &  = (4+3)^n \\
& \boxed{= 7^n}
\end{align*}

\item On remarque que $\ln(1) = 0$ or si l'on multiplie des termes par 0, on obtient 0. Donc
\begin{center}
\fbox{$\ds \prod_{k=1}^n \ln(k) = 0$.}
\end{center}
\end{enumerate}

\end{exo}

\begin{exo}[Probabilit�]
Dans un magasin, il y a $n$ clients et $m$ caisses. Chaque client choisit une caisse au hasard et on appelle $X$ le nombre de client choisissant la caisse num\'ero 1. \\

L'exp�rience "Un client choisit la caisse num\'ero 1 ou non" est une exp�rience de Bernoulli (il n'y a que 2 issues possibles) de probabilit� de succ�s $p = \dfrac{1}{m}$. On r�p�te cette exp�rience $n$ fois (pour chaque client) de fa�on ind�pendante et $X$ compte le nombre de succ�s de cette exp�rience. Donc $X$ suit une loi binomiale de param�tre $n$ et $\dfrac{1}{m}$. 
\begin{center}
\fbox{$
X \loi{B} \left( n, \dfrac{1}{m} \right)
$}
\end{center}
On a donc 
\begin{center}
\fbox{$E(X) = \dfrac{n}{m}$ et $V(X) = \dfrac{n}{m} \times \dfrac{(m-n)}{m}$}
\end{center}

\end{exo}

\begin{exo}[Limites]
\begin{enumerate}
\item On rappelle que $(1+x)^{1/x} = e^{\frac{1}{x} \ln(1+x)}$. Or par taux d'accroissement,
$$
\li_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+x)}{x} = 1
$$
Donc 
\begin{center}
\fbox{$ \li_{x \to + \infty} (1+x)^{1/x} = e$.}
\end{center}
 

\item On factorise l'expression par $x^3$ c'est-�-dire 
$$
x^3 - x\ln(x) = x^3\left( 1 - \dfrac{\ln(x)}{x^2} \right)
$$
Or $\li_{x \to + \infty} \dfrac{\ln(x)}{x^2} = 0 $ par croissance compar�e et $\li_{x \to + \infty} x^3 = + \infty$ donc 
\begin{center}
\fbox{$
\li_{x \to + \infty} x^3 - x\ln(x) = + \infty
$
}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Syst�me]

On utilise la m�thode du pivot de Gauss pour inverser la matrice :
\begin{align*}
\begin{array}{c|cr}
\begin{pmatrix}
0 & 2 & -1 \\
-2 & -4 & 3 \\
1 & 1 & -3
\end{pmatrix} & \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} & \begin{array}{r}
\blank
\end{array} \\
& & \\
\begin{pmatrix}
1 & 1 & -3 \\
-2 & -4 & 3 \\
0 & 2 & -1
\end{pmatrix} & \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix} & \begin{array}{r}
\blank
L_1 \leftrightarrow L_3
\end{array} \\
& & \\
\begin{pmatrix}
1 & 1 & -3 \\
0 & -2 & -3 \\
0 & 2 & -1
\end{pmatrix} & \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 2 \\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix} & \begin{array}{r}
\blank \\
2L_1 + L_2 \to L_2\\
\blank
\end{array} \\
 & & \\
\begin{pmatrix}
2 & 0 & -9 \\
0 & -2 & -3 \\
0 & 0 & -4
\end{pmatrix} & \begin{pmatrix}
0 & 1 & 4 \\
0 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 2
\end{pmatrix} & \begin{array}{r}
2L_1 + L_2 \to L_1\\
\blank \\
L_2 + L_3 \to L_3
\end{array} \\
 & & \\
\end{array}
\end{align*}
Les pivots sont tous non-nuls donc la matrice $A$ est inversible. 
\begin{align*}
\begin{array}{c|cr}
\begin{pmatrix}
8 & 0 & 0 \\
0 & -8 & 0 \\
0 & 0 & -4
\end{pmatrix} & \begin{pmatrix}
-9 & -5 & -2 \\
-3 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 2
\end{pmatrix} & \begin{array}{r}
4L_1 - 9L_3 \to L_1\\
4 L_2 - 3 L_3 \to L_2\\
\blank
\end{array} \\
 & & \\
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 
\end{pmatrix} & \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix}
-9/8 & -5/8 & -2/8 \\
3/8 & -1/8 & -2/8 \\
-1/4 & -1/4 & -2/4
\end{pmatrix} & \begin{array}{r}
1/8 L_1 \to L_1\\
-1/8 L_2 \to L_2 \\
-1/4 L_3 \to L_3
\end{array} \\
 & & \\
\end{array}
\end{align*}
En mettant tout les termes sur $8$, on en d�duit que 
\begin{center}
\fbox{$A^{-1} = \dfrac{1}{8} \begin{pmatrix}
-9 & -5 & -2 \\
3 & -1 & -2 \\
-2 & -2 & -4
\end{pmatrix}$}
\end{center}

\end{exo}

\end{document}
