 \input{../preambules/preCorrection.tex}

\begin{document}

\chead{Correction Calculs D2}
\lfoot{}
\cfoot{Calcul}

\begin{center}
\fbox{ \Large Correction Calculs du 18/01 au 24/01}
\end{center}
\vspace{30pt}

\setcounter{theorem}{161}


\begin{exo}[Dérivées]
\begin{enumerate}
\item Pour tout $x$ réel, la quantité $x^2 + 4$ est strictement positive. De plus les fonctions $x \to x^2 + 4$ et $\ln$ sont respectivement dérivables sur $\R$ et sur $\R_+^*$ donc la fonction $f$ est définie et dérivable sur $\R$.   
On calcule alors 
\begin{center}
\fbox{$
f'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 4} 
$}
\end{center}
\item La fonction $x \to \dfrac{1}{x^2}$ est dérivable sur $\R^*$. La fonction $x \to e^x$ est dérivable sur $\R$. Donc par composée, la fonction $g$ est dérivable sur $\R^*$.  \\

On calcule alors pour tout $x \in \R$, 
\begin{center}
\fbox{$
g'(x) = -\dfrac{2}{x^3} e^{\frac{1}{x^2}} 
$}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Inéquations]
Résoudre les inéquations suivantes.
\begin{enumerate}
\item On résout pour tout $x \in \R$, 
\begin{align*}
x^3 - 5x - 3 \geq 1 & \Longleftrightarrow x^3 - 5x - 4 \geq 0
\end{align*}
La méthode appropriée ici est de factoriser le polynôme $P(x) = x^3 - 5x - 4$ afin de pouvoir tracer un tableau de signe. Or $P(-1) = -1 + 5 - 4 = 0$ donc $-1$ est une racine évidente. On divise donc $P$ par le polynôme $x+1$ (méthode de la division euclidienne). On obtient alors : 
$$
P(x) = (x+1)(x^2 - x - 4)
$$
Il faut ensuite regarder si l'on peut factoriser $x^2 - x - 4$. Le discriminant de ce polynôme de degré 2 est $\Delta = 1 - 4 \times (-4) = 17$. L'équation $x^2 - x - 4 = 0$ possède donc deux solutions 
$$
x_1 = \dfrac{1 - \sqrt{17}}{2} \quad \text{et} \quad x_2 = \dfrac{1 + \sqrt{17}}{2}
$$
Il faut comparer ces nombres à -1 afin de pouvoir tracer correctement le tableau de signe. On a évidemment $x_2 > - 1$ car $x_2$ est positif. Pour $x_1$, remarquons que 
\begin{align*}
4 \leq \sqrt{17} \leq 5 &\Longleftrightarrow -4 \geq  - \sqrt{17} \geq -5 \\
 &\Longleftrightarrow -3 \geq 1 - \sqrt{17} \geq -4 \\
& \Longleftrightarrow - \dfrac{3}{2} \geq \dfrac{1-\sqrt{17}}{2} \geq -2
\end{align*}
Or $-3/2 < -1$ donc $x_1 < -1$. On en déduit le tableau de variation suivant. 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=5,espcl=2]{$x$/1,Signe de $x+1$/1,Signe de $x^2 - x - 4$/1, Signe de $x^3 - 5x - 4$/2}{$-\infty$,$\dfrac{1-\sqrt{17}}{2}$,$-1$,$\dfrac{1+\sqrt{17}}{2}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,t,+} 
\tkzTabLine{,+,z,-,t,-,z,+}
\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,z,+}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_1 = 
\left[ \dfrac{1-\sqrt{17}}{2} ; -1 \right] \cup \left[ \dfrac{1+\sqrt{17}}{2} ; + \infty \right[$.}
\end{center}
\item On résout l'inéquation $\dfrac{x^3-8}{x^2-1} > 0$ à l'aide d'un tableau de signe. Pour cela il faut connaitre les racines des polynômes $x^3 - 8$ et du polynôme $x^2 - 1$. Or $2$ est une racine évidente du polynôme $x^3 - 8$ donc, à l'aide d'une division euclidienne, on obtient 
$$
x^3 - 8 = (x-2)(x^2 +2x +4)
$$
Le discriminant de l'équation $x^2 + 2x + 4 = 0$ est $\Delta = 4 - 16 = -12 < 0$ donc la quantité $x^2 + 2x + 4$ est toujours positive. Enfin les racines du polynôme $x^2 - 1$ sont $1$ et $-1$. On en déduit alors le tableau de signe suivant: 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=5,espcl=2]{$x$/1,Signe de $x-2$/1,Signe de $x^2 + 2x + 4$/1,Signe de $x^2-1$/1, Signe de $\dfrac{x^3-8}{x^2-1}$/2}{$-\infty$,$-1$,$1$,$2$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,t,-,t,-,z,+} 
\tkzTabLine{,+,t,+,t,+,t,+}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,t,+}
\tkzTabLine{,-,d,+,d,-,z,+}
\end{tikzpicture}
\end{center}
Ainsi, 
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_2 = ]-1;1[ \cup \left] 2 ; + \infty \right[$.}
\end{center}
\end{enumerate}


\end{exo}


\begin{exo}[Récurrence]
On considère les suites réelles $(u_n)_{n \geq 1}$ vérifiant 
\begin{equation}
\forall n \geq 1, 9 u_{n+3} - 9 u_{n+2} - 7 u_{n+1} + 7 u_n = 0.
\end{equation} 
Soit $(v_n)_{n \in \N^*}$ une suite vérifiant $(1)$ avec $v_1 = v_2 = v_3 = 0$.
On va montrer par récurrence (forte) les propositions 
$$\P_n : \left\{ v_n = 0  \right\}.$$

\renewcommand\labelitemi{\textbullet}
\begin{itemize}
\item {\bf Initialisation :} On sait que d'une part $v_0 = v_1 = v_2 = 0$. Donc $\P_0, \P_1, \P_2$ sont vraies.
\item {\bf Hérédité :} On suppose que les propositions $\P_n$, $\P_{n+1}$ et $\P_{n+2}$ sont vraies pour un certain rang $n \geq 0$. On a alors $v_n = v_{n+1} = v_{n+2} = 0$. En utilisant la relation (1), on obtient,
\begin{align*}
9v_{n+3} & = 9 v_{n+2} + 7 v_{n+1} + 7 v_n \\
        & = 0 
\end{align*}
Donc $v_{n+3} = 0$. la proposition $\P_{n+3}$ est vraie. La suite de proposition $(\P_n)$ est héréditaire.
\item {\bf Conclusion :} \fbox{ Pour tout $n \geq 0$, $\ds  v_n = 0 $ }.
\end{itemize}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{exo}[Sommes ]
Donner le résultat de la somme ou du produit suivant :
\begin{enumerate}
\item On calcule en faisant apparaitre une somme géométrique :
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{n} e^{-k} & = \sum_{k=1}^n \left(\dfrac{1}{e}\right)^k \\
& = \dfrac{1}{e^1} \dfrac{1- (1/e)^n}{1 - 1/e} \\
 & = \boxed{\dfrac{1 - (1/e)^n}{e-1}}
\end{align*}

\item En utilisant la formule du binôme de Newton, on calcule 
\begin{align*}
 \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} 3^k & = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} 3^k \times 1^{n-k} \\
 & = (3+1)^n \\
& \boxed{= 4^n}
\end{align*}

\item On calcule en remarquant une somme télescopique,
\begin{align*}
\sum_{k=2}^{n} \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k-1} & = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{2-1} \\
& \boxed{= \dfrac{1}{n} - 1}
\end{align*}
\end{enumerate}

\end{exo}

\begin{exo}[Probabilité]
On lance 2 fois un dé équilibré à 12 faces et on note $X$ la variable aléatoire qui vaut $0$ si on fait 2 ou 11 et 1 sinon. Donnez la loi, l'espérance et la variance de $X$.\\


Il n'y a donc que deux valeurs prises par $X$ possibles : 0 ou $1$. Donc $X(\Omega) = \{ 0,1 \}$. $X$ suit donc une loi de Bernoulli dont la probabilité de succès est à déterminer. Notons les évènements $A_2$ : "Obtenir 2 avec les deux dés" et  $A_{11}$ : "Obtenir 11 avec les deux dés". On calcule les probabilités de $A_2$ et $A_11$ en utilisant le dénombrement. Ici, $\Omega = \entier{1,6}^2$ (tirages de deux dés donc ordre et remise) et $card(\Omega) = 36$. De plus 
$$
A_2 = \{ (1,1)\} \et A_{11} = \{ (6,5); (5,6) \}
$$
On en déduit donc les probabilités
$$
P(A_2) = \dfrac{card(A_2)}{card(\Omega)} = \dfrac{1}{36} \et P(A_{11}) = \dfrac{2}{36}
$$

Or, comme les évènements $A_2$ et $A_{11}$ sont incompatibles, 
\begin{align*}
P(X= 0) & = P(A_2 \cup A_{11}) \\
& = P(A_2) + P(A_11) \\
& \boxed{= \dfrac{3}{36} = \dfrac{1}{12}}
\end{align*}

Donc $(X=0),(X=1)$ formant un système complet d'évènement, on a 
\begin{center}
\fbox{$P(X=1) = 1 - \dfrac{1}{12} = \dfrac{11}{12}$}
\end{center}

 \begin{center}
\fbox{On a $X \loi{B} \left( \dfrac{11}{12} \right)$}
\end{center}
D'après le cours 
\begin{center}
\fbox{$
E(X) = \dfrac{11}{12} $ et $V(X) = \dfrac{11}{12} \times \dfrac{1}{12} = \dfrac{11}{144}$ }
\end{center}

\end{exo}

\begin{exo}[Limites]
\begin{enumerate}
\item On a $1 + 3 \times 1 - 4 = 0$ donc on est bien face à une forme indéterminée (0/0). $1$ est racine du polynôme $x^2 + 3x - 4$, en posant par exemple la division euclidienne de $x^2 + 3x -4$ par $x-1$, on obtient, 
$$
x^2 +3X - 4 = (x-1)(x+4)
$$
Donc 
\begin{align*}
\li_{x \tos 1} \dfrac{x^2 +3x -4}{x-1} & = \ds \li_{x \tos 1} \dfrac{(x-1)(x+4)}{x-1} \\
& = \li_{x \tos 1} x+4 \\
& \boxed{= 5}
\end{align*}
 

\item On reconnait une fraction rationnelle donc
\begin{align*}
\li_{x \to + \infty} \dfrac{x^2 + 34}{x^7 - x^6 + 5} & = \li_{x \to + \infty} \dfrac{x^2}{x^7} \\
&= \li_{x \to + \infty} \dfrac{1}{x^5} \\
& \boxed{= 0}
\end{align*} 

\end{enumerate}
\end{exo}

\newpage
\begin{exo}[Système]

On utilise la méthode du pivot de Gauss pour résoudre le système: 
\begin{align*}
\left\{\begin{array}{rrrrr @{\quad =\quad} r}
x&-&2y&+&5z& 13\\
2x&+&4y&-&5z&-12\\
3x&-&2y&-&z&3
\end{array}\right. & \Longleftrightarrow 
\left\{\begin{array}{rrrrr @{\quad =\quad} r @{\qquad} r}
x&-&2y&+&5z& 13\\
&&8y&-&15z & -38 & L_2 - 2L_1 \to L_2\\
&&4y&-&16z & -36  & L_3 - 3L_1 \to L_3
\end{array}\right. \\
& \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rrrrr @{\quad =\quad} r @{\qquad} r}
x&-&2y&+&5z& 13\\
&&8y&-&15z & -38  & \\
&&&-&17z & -34 &  2L_3-L_2 \leftrightarrow  L_3
\end{array}\right. \\
& \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rrrrr @{\quad =\quad} r @{\qquad} r}
x&-&2y&+&10& 13\\
&&8y&-&30 & -38  &  \\
&&&&z & 2 & 
\end{array}\right. \\
& \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rrrrr @{\quad =\quad} r @{\qquad} r}
&&&&x & 1\\
&&&&y & -1  &  \\
&&&&z & 2 & 
\end{array}\right.
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions du système est $ \mathcal{S} = \left\{ (1,-1,2) \right\}$}
\end{center}
\end{exo}

\end{document}
