 \input{../preambules/preCorrection.tex}

\begin{document}

\chead{Correction Calculs C4}
\lfoot{}
\cfoot{Calcul}

\begin{center}
\fbox{ \Large Correction Calculs du 30/11 au 6/12}
\end{center}
\vspace{30pt}

\setcounter{theorem}{133}


\begin{exo}[\'Equations]
\begin{enumerate}
\item On résout l'équation 
\begin{align*}
e^{2x^2} - 3 = 0 & \Longleftrightarrow e^{2x^2} = 3 \\
& \Longleftrightarrow 2x^2 = \ln(3) \\
& \Longleftrightarrow x^2 = \dfrac{\ln(3)}{2} \\
& \Longleftrightarrow x = \pm \sqrt{\dfrac{\ln(3)}{2}}
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{$\mathscr{S}_1 = \left\{ - \sqrt{\dfrac{\ln(3)}{2}} ; \sqrt{\dfrac{\ln(3)}{2}} \right\}$}
\end{center}

\item On résout l'équation 
\begin{align*}
x^4 - 1 = 0 & \Longleftrightarrow (x^2 - 1 )(x^2 + 1) = 0 \\
& \Longleftrightarrow (x-1)(x+1) (x^2 + 1) = 0 \\
& \Longleftrightarrow x=-1 \quad \text{ou} \quad x = 1 
\end{align*}
 
L'ensemble des solutions de l'équation est donc
\begin{center}
\fbox{$\mathscr{S}_2 = \left\{ -1 , 1 \right\}$}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo}[Dérivées]
\begin{enumerate}
\item On résout l'inéquation 
$$
\dfrac{3x+2}{-2x +5} \geq 0
$$
à l'aide d'un tableau de signe
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=5,espcl=2]{$x$/1,Signe de $3x+2$/1,Signe de $-2x+5$/1, Signe de $\dfrac{3x+2}{-2x +5}$/2}{$-\infty$,$-2/3$,$5/2$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,t,+} 
\tkzTabLine{,-,t,-,z,+}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,+}
\end{tikzpicture}
\end{center}
La fonction $f$ est donc dérivable sur $\left] - \infty , - \dfrac{2}{3} \right] \cup \left] \dfrac{5}{2} ; + \infty \right[$ en tant que quotient et composée de fonction dérivable.  
On calcule alors 
\begin{align*}
f'(x) & = \dfrac{\dfrac{3\times(-2x+5) - (-2) \times(3x+2) }{(-2x+5)^2}}{2 \sqrt{\dfrac{3x+2}{-2x +5}}} \\
      & \boxed{= \dfrac{19}{2 \times (-2x+5)^2 \sqrt{\dfrac{3x+2}{-2x +5}} } }
\end{align*}
\item On résout 
$$
x-2 > 0 \Longleftrightarrow x >2 
$$
et $\ln(x-2) = 0 \Longleftrightarrow x-2 = 1 \Longleftrightarrow x= 3$. La fonction $g$ est donc 
 dérivable sur $]2;3[ \cup ]3;+\infty[$. On calcule alors 
\begin{align*}
g'(x) & = \dfrac{-\dfrac{1}{x-2}}{(\ln(x-2))^2} \\
& \boxed{= -\dfrac{1}{(x-2)\ln(x-2))^2}}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo}[Inéquations]
\begin{enumerate}
\item On résout l'inéquation $2x^2 - 3x + 2 < 0$ à l'aide du discriminant $\Delta = 9 - 4 \times 2 \times 2 = - 7 < 0$. Ainsi 
le polynôme $2x^2 -3x + 2$ ne change pas de signe et est toujours positif. 
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est alors $\mathscr{S}_1 = 
\emptyset$.}
\end{center}

\item On résout l'inéquation $2x^2 < 5x - 2 \Longleftrightarrow 2x^2 - 5x + 2 < 0$ en utilisant le discriminant $\Delta = 25 - 4 \times 2 \times 2 = 9$. On a alors deux racines : 
\begin{align*}
x_1 = \dfrac{5 - 3}{4} = \dfrac{1}{2} \qquad x_2 = \dfrac{5+3}{4} = 2
\end{align*}
Ainsi,
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_2 = \left] \dfrac{1}{2} ; 2 \right[ $.}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Récurrence]
Soit $x \in \R$. On considère la suite $(u_n)_{n \in \N^*}$ définie par $u_0=1$ et  $u_{n+1} = u_n + x^{n+1}$. 
On va montrer par récurrence les propositions 
$$\P_n : \left\{  u_n = \dfrac{1 - x^{n+1}}{1 - x}  \right\}.$$

\renewcommand\labelitemi{\textbullet}
\begin{itemize}
\item {\bf Initialisation :} On sait que d'une part $u_0 = 1$ et $\dfrac{1-x^{0+1}}{1-x} = 1$.  
Donc $\P_0$ est vraie.
\item {\bf Hérédité :} On suppose que la proposition $\P_n$ est vraie pour un certain rang $n \geq 0$. On a alors
\begin{align*}
u_{n+1} & = u_n + x^{n+1} \\
        & = \dfrac{1-x^{n+1}}{1 - x} + x^{n+1} \\
        & = \dfrac{1-x^{n+1} + x^{n+1} - x^{n+2}}{1 - x} \\
        & \boxed{= \dfrac{1- x^{n+2}}{1-x}}
\end{align*}
Donc la proposition $\P_{n+1}$ est vraie. La suite de proposition $(\P_n)$ est héréditaire.
\item {\bf Conclusion :} \fbox{ Pour tout $n \geq 0$, $\ds  u_n = \dfrac{1 - x^{n+1}}{1 - x} $ }.
\end{itemize}
\end{exo}

\begin{exo}[Sommes ]
Donner le résultat de la somme ou du produit suivant :
\begin{enumerate}
\item On calcule en factorisant :
\begin{align*}
 \sum_{k=0}^{n} e^{k+1} & = e \sum_{k=0}^n e^k \\
 & = \boxed{e \times \left( \dfrac{1-e^{n+1}}{1 - e} \right)}
\end{align*}

\item En utilisant un changement d'indice $j = n-k$ on calcule 
\begin{align*}
\sum_{k=0}^{n} (n-k)& =\sum_{j=0}^n j \\
& \boxed{= \dfrac{n(n+1)}{2}}
\end{align*}

\item On calcule enfin
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{n}(-1)^k 2^{n-k} & = 2^n \sum_{k=1}^{n} \left( \dfrac{-1}{2} \right)^k  \\
& = 2^n \times \left( \dfrac{-1}{2} \right) \times \dfrac{1 - \left( \dfrac{-1}{2} \right)^n}{1 - \left( \dfrac{-1}{2} \right)} \\
& =- 2^{n-1} \times \dfrac{2}{3} \left( 1 - \left( \dfrac{-1}{2} \right)^n \right) \\
& \boxed{= \dfrac{2^n}{3} \left(  \left( \dfrac{-1}{2}\right)^n - 1  \right)}
\end{align*}
\end{enumerate}

\end{exo}

\begin{exo}[Probabilité]
On tire trois cartes simultanément dans un paquet de 32 cartes.On note $A$ l'évènement "n'obtenir que des coeurs", $B$ l'évènement "n'obtenir que des as" et $C$ l'évènement "Obtenir deux coeurs et un pique". \\

A l'aide du dénombrement : On note $E$ l'ensemble des cartes $(\# E = 32)$ et $\Omega$ est donc une combinaison de 3 éléments de $E$ ainsi
$$
\# \Omega = \binom{32}{3}
$$
On note alors $F$ l'ensemble des cartes de c\oe{}urs ($\# F = 8$) L'évènement $A$ est donc l'ensemble des combinaisons de 3 \begin{align*}
P(A) & = \dfrac{\binom{8}{3}}{\binom{32}{3}} \\
     & = \dfrac{\dfrac{8!}{5! \times 3!}}{\dfrac{32!}{3! \times 29!}} \\
     & = \dfrac{8 \times 7 \times 6}{32 \times 31 \times 30} \\
     & = \dfrac{7}{4 \times 31 \times 5} \\
     & \boxed{= \dfrac{7}{620}}
\end{align*}
On note $G$ l'ensemble des cartes d'As ($\# G = 4$) L'évènement $B$ est donc l'ensemble des combinaisons de 3 éléments de $G$ ainsi $\# B = \binom{4}{3}$ et donc 
\begin{align*}
P(A) & = \dfrac{\binom{4}{3}}{\binom{32}{3}} \\
     & = \dfrac{\dfrac{4!}{1! \times 3!}}{\dfrac{32!}{3! \times 29!}} \\
     & = \dfrac{4 \times 3 \times 2}{32 \times 31 \times 30} \\
     & = \dfrac{1}{8 \times 31 \times 5} \\
     & \boxed{= \dfrac{1}{1240}}
\end{align*}
Enfin, on note $H$ l'ensemble des cartes de piques. On compte le nombre de possibilités dans $C$ ainsi :
\begin{itemize}
\item On doit obtenir 2 c\oe{}urs (donc combinaison de deux cartes de $F$
\item On doit obtenir 1 pique (donc 1 combinaison de $H$  
\end{itemize}
Ainsi 
$$
\# C = \binom{8}{2} \times \binom{8}{1} = \dfrac{8 \times 7}{2} \times 8
$$
Ainsi 
\begin{align*}
P(C) & = \dfrac{4 \times 7 \times 8}{\binom{32}{3}} \\
     & = \dfrac{3 \times 8 \times 7 \times 8}{32 \times 31 \times 30} \\
     & = \dfrac{7}{31 \times 5} \\
     & \boxed{= \dfrac{7}{155}}
\end{align*}

En utilisant les probabilités : On note $C_i$ l'évènement "tirer un c\oe{}urs au $i$ ème tirage". Les évènements $C_1$, $C_2$ et $C_3$ ne sont pas mutuellement indépendants. Donc en utilisant la formule des probabilités composées,  
\begin{align*}
P(A) & = P(C_1 \cap C_2 \cap C_3) \\
& = P(C_1) \times P_{C_1}(C_2) \times P_{C_1 \cap C_2}(C_3) \\
& = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{7}{31} \times \dfrac{6}{30} \\
& \boxed{= \dfrac{7}{620}}
\end{align*}
On note les évènements $A_i$ : "On tire un As au $i$-ième tirage". Les évènements $A_1$, $A_2$ et $A_3$ ne sont pas  mutuellement indépendants donc 
\begin{align*}
P(B) & = P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) \\
& = P(A_1) \times P_{A_1}(A_2) \times P_{A_1 \cap A_2}(A_3) \\
& = \dfrac{1}{8} \times \dfrac{3}{31} \times \dfrac{2}{30} \\
& \boxed{= \dfrac{1}{1240}}
\end{align*}

On note enfin les évènements $P_i$ : "On tire un pique au $i$-ième tirage". 
Ainsi 
$$
C = (C_1 \cap C_2 \cap P_3) \cup (C_1 \cap P_2 \cap C_3) \cup (P_1 \cap C_2 \cap C_3)  
$$ 
 Les évènements $(C_1 \cap C_2 \cap P_3)$, $ (C_1 \cap P_2 \cap C_3)$ et $(P_1 \cap C_2 \cap C_3)$ sont deux à deux incompatibles donc
\begin{align*}
P(C) & = P(C_1 \cap C_2 \cap P_3) + P(C_1 \cap P_2 \cap C_3) + P(P_1 \cap C_2 \cap C_3) \\
     & = \dfrac{1}{8} \times \dfrac{7}{31} \times \dfrac{8}{30} + \dfrac{1}{8} \times \dfrac{8}{31} \times \dfrac{7}{30}  + \dfrac{1}{8} \times \dfrac{8}{31} \times \dfrac{7}{30}  \\
     &\boxed{ = \dfrac{7}{155}}
\end{align*}
\end{exo}

\begin{exo}[Limites]
\begin{enumerate}
\item On a la relation 
$$
\dfrac{x^2+3x -1}{x -1} = \dfrac{x^2 \left(1 + \dfrac{3}{x} - \dfrac{1}{x^2}\right)}{x \left(1 - \dfrac{1}{x} \right)} = \dfrac{x \left(1 + \dfrac{3}{x} - \dfrac{1}{x^2}\right)}{ \left(1 - \dfrac{1}{x} \right)}
$$
Or on a $ \li_{x \to + \infty} \left(1 + \dfrac{3}{x} - \dfrac{1}{x^2}\right) = 1$, $\li_{x \to + \infty} \left(1 - \dfrac{1}{x} \right) = 1$ et $ \li_{x \to + \infty} x = + \infty$. Donc 
\begin{center}
\fbox{$
\lim\limits_{x \to + \infty}  \dfrac{x^2+3x -1}{x -1} = + \infty
$}
\end{center}
On sait que par croissance comparée, 
$$
\li_{x \to 0} x \ln(x) = 0
$$
D'autre part, $\li_{x \to 0} e^x = 1$ et donc 
\begin{center}
\fbox{$
\li_{x \to 0}\dfrac{x \ln(x)}{e^x}  = 0
$}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exo}


\end{document}
