 \input{../preambules/preCorrection.tex}

\begin{document}

\chead{Correction Calculs C2}
\lfoot{}
\cfoot{Calcul}

\begin{center}
\fbox{ \Large Correction Calculs du 16/11 au 22/11}
\end{center}
\vspace{30pt}

\setcounter{theorem}{119}


\begin{exo}[\'Equations]
\begin{enumerate}
\item On résout l'équation $x^2 + x - 2 = 0$. Le discriminant d'une telle équation est $\Delta = 1 - 4 \times 1  \times (-2) = 9$. Cette équation a donc deux solutions 
\begin{align*}
x_1 = \dfrac{-1 - 3 }{2} \quad & \quad  x_2 = \dfrac{-1 + 3}{2} \\
x_1 = -2 \quad & \quad  x_2 = 1
\end{align*}
L'ensemble des solutions de cette équation est 
\begin{center}
\fbox{$\mathscr{S}_1 = \left\{ -2 ; 1 \right\}$}
\end{center}

\item On résout l'équation $ \left(\ln{x}\right)^2 + \ln(x) -2 = 0$ en posant le changement de variable $X = \ln(x)$ pour tout $x > 0$. L'équation est alors équivalente à $X^2 + X - 2 =0$. D'après la question précédente, les solutions de cette équations sont $X_1 = -2$ et $X_2 = 1$. 
L'ensemble des solutions de l'équation $ \left(\ln{x}\right)^2 + \ln(x) -2 = 0$ est donc
\begin{center}
\fbox{$\mathscr{S}_2 = \left\{ e^{-2} , e \right\}$}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Limites]
\begin{enumerate}
\item On a $\lim\limits_{x \to + \infty} \left(1 + \dfrac{1}{x^3} \right) = 1$, $\li_{x \to + \infty} \left(1 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{2x^2}\right) = 1$ et $\li_{x \to + \infty} 2x = + \infty$. Finalement
\begin{center}
\fbox{$\lim\limits_{x \to + \infty} \dfrac{\left(1 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{2x^2}\right)}{2x\left(1 + \dfrac{1}{x^3} \right)} = 0 $.}
\end{center}

\item On a $\lim\limits_{x \to + \infty} e^x = + \infty $ et $\lim\limits_{x \to + \infty} e^{-x} = 0$. Donc (par somme)
\begin{center}
\fbox{$\lim\limits_{x \to + \infty}  \dfrac{e^x = e^{-x}}{2} = + \infty$.}
\end{center}

\item On a $\li_{x \to + \infty} 1 + e^{-2x} = 1$ et $\li_{x \to + \infty} 3 - e^{-2x} = 3$ donc 
\begin{center}
\fbox{$
\li_{x \to +\infty} \dfrac{1 + e^{-2x}}{3 - e^{-2x}} = \dfrac{1}{3}
$}
\end{center}
\end{enumerate}

\end{exo}


\begin{exo}[Dérivées]
\begin{enumerate}
\item On résout l'équation $e^x - e^{-x} = 0 \Longleftrightarrow e^x = e^{-x} \Longleftrightarrow x = -x \Longleftrightarrow x= 0$. Ainsi la fonction $f$ est dérivable sur $\R^*$ en tant que quotient de fonctions dérivable sur cet intervalle. De plus, on a vérifié que le dénominateur ne s'annulait pas. 
\begin{align*}
f'(x) & = \dfrac{(e^x - e^{-x})(e^x - e^{-x}) - (e^x +e^{-x})(e^x + e^{-x})}{(e^x - e^{-x})^2} \\
      & = \dfrac{e^{2x} -2 +e^{-2x}  - (e^{2x} + 2 +e^{-2x})}{(e^x - e^{-x})^2} \\
      & \boxed{= \dfrac{-4}{(e^x - e^{-x})^2}}
\end{align*}
\item La fonction $x \to 1+x^2$ est dérivable et strictement positive sur $\R$ donc $x \to \sqrt{1+x^2}$ est dérivable et strictement positive sur $\R$ et ainsi $g$ est dérivable sur $\R$. On calcule alors 
\begin{align*}
g'(x) & = \dfrac{\dfrac{2x}{2 \sqrt{1+x^2}}}{\sqrt{1+x^2}} \\
& \boxed{= \dfrac{x}{1+x^2}}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo}[Inéquations]
\begin{enumerate}
\item On résout l'inéquation en factorisant par $e^x$. On a donc
\begin{align*}
e^{2x} - e^x \geq 0 & \Longleftrightarrow e^{x}(e^x - 1) \geq 0 \\
& \Longleftrightarrow e^x - 1 \geq 0 \qquad \text{car} \quad e^x \geq 0 \\
& \Longleftrightarrow e^x - 1 \geq 0  \\
& \Longleftrightarrow e^x \geq 1 \\
& \Longleftrightarrow \boxed{x \geq 0}
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est alors $\mathscr{S}_1 = \R_+$.}
\end{center}

\item On résout l'inéquation 
\begin{align*}
\dfrac{x}{1 - x^2} < 0 & \Longleftrightarrow \dfrac{x}{(1-x)(1+x)} < 0
\end{align*}
à l'aide d'un tableau de signe
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=5,espcl=2]{$x$/1,Signe de $x$/1,Signe de $1-x^2$/1, Signe de $\dfrac{x}{1 - x^2)}$/2}{$-\infty$,$-1$,$0$,$1$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,t,+} 
\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,z,-}
\tkzTabLine{,+,d,-,z,+,d,-}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_2 = \left]-1 ; -0 \right[ \cup \left] 1 ; + \infty \right[$.}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Récurrence]
On va montrer par récurrence les propositions 
$$\P_n : \left\{ \sum_{k=3}^n \ln \left( \dfrac{k+2}{k+1} \right) = \ln \left( \dfrac{n+2}{4} \right) \right\}.$$

\renewcommand\labelitemi{\textbullet}
\begin{itemize}
\item {\bf Initialisation :} On sait que $\ds \sum_{k=3}^3 \ln \left( \dfrac{k+2}{k+1} \right) = \ln \left( \dfrac{5}{4} \right)$ et $ \ln \left( \dfrac{3+2}{4} \right) = \ln \left( \dfrac{5}{4} \right)$ 
Donc $\P_3$ est vraie.
\item {\bf Hérédité :} On suppose que la proposition $\P_n$ est vraie pour un certain rang $n \geq 3$. On a alors
\begin{align*}
\sum_{k=3}^{n+1} \ln \left( \dfrac{k+2}{k+1} \right)  & = \sum_{k=3}^{n} \ln \left( \dfrac{k+2}{k+1} \right) + \ln \left( \dfrac{n+3}{n+2} \right)
  \\
 &  = \ln \left( \dfrac{n+2}{4} \right) + \ln \left( \dfrac{n+3}{n+2} \right) \\
 & =  \ln \left( \dfrac{(n+2)(n+3)}{4(n+2)} \right) \\
 & =  \ln \left( \dfrac{n+3}{4} \right)
\end{align*}
Donc la proposition $\P_{n+1}$ est vraie. La suite de proposition $(\P_n)$ est héréditaire.
\item {\bf Conclusion :} \fbox{ Pour tout $n \geq 3$, $\ds \sum_{k=3}^n \ln \left( \dfrac{k+2}{k+1} \right) = \ln \left( \dfrac{n+2}{4} \right)$ }.
\end{itemize}
\end{exo}

\begin{exo}[Sommes ]
Donner le résultat de la somme ou du produit suivant :
\begin{enumerate}
\item On calcule (en remplaçant dans la formule le $n$ par $2n$ :
\begin{center}
\fbox{$ \ds
\sum_{k=1}^{2n} k^2 = \dfrac{2n(2n+1)(4n+1)}{6} 
$}
\end{center}

\item En utilisant un changement d'indice $j = k-2$ on calcule 
\begin{align*}
\sum_{k=2}^{n+2} (k-2)^2 & =\sum_{j=0}^n j^2 \\
& \boxed{= \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}}
\end{align*}

\item On calcule enfin en utilisant le binôme de Newton
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{n-1} \binom{n}{k} 2^k 3^{n-k} & = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} 2^k 3^{n-k} - \binom{n}{0} 2^0 \times 3^n - \binom{n}{n} 2^n \times 3^0 \\
& = (2+3)^n - 3^n - 2^n \\
& \boxed{= 5^n - 3^n - 2^n }
\end{align*}
\end{enumerate}

\end{exo}

\begin{exo}[Probabilité]
On tire trois cartes successivement et avec remise dans un paquet de 32 cartes.On note $A$ l'évènement "n'obtenir que des coeurs", $B$ l'évènement "n'obtenir que des as" et $C$ l'évènement "Obtenir deux coeurs et un pique". \\

A l'aide du dénombrement : On note $E$ l'ensemble des cartes $(\# E = 32)$ et $\Omega$ est donc un $3$-listes de $E$ ainsi
$$
\# \Omega = 32^3
$$
On note alors $F$ l'ensemble des cartes de c\oe{}urs ($\# F = 8$) L'évènement $A$ est donc l'ensemble des $3$-listes de $F$ ainsi $\# A = 8^3$ et donc 
\begin{center}
\fbox{$
P(A) = \dfrac{8^3}{32^3} = \dfrac{1}{4^3} = \dfrac{1}{64}
$}
\end{center}
On note $G$ l'ensemble des cartes d'As ($\# G = 4$) L'évènement $B$ est donc l'ensemble des $3$-listes de $G$ ainsi $\# B = 4^3$ et donc 
\begin{center}
\fbox{$
P(B) = \dfrac{4^3}{32^3} = \dfrac{1}{8^3} = \dfrac{1}{512}
$}
\end{center}
Enfin, on note $H$ l'ensemble des cartes de piques. On compte le nombre de possibilités dans $C$ ainsi :
\begin{itemize}
\item Pour obtenir 2 c\oe{}urs puis un pique (dans cet ordre), on a $8^3$ possibilités ($\# F \times F \times H$)
\item Il y a 3 façons de placer déterminer le numéro du tirage de la carte de pique. 
\end{itemize}
Ainsi 
$$
\# C = 3 \times 8^3
$$
Ainsi 
\begin{center}
\fbox{$
P(C) = \dfrac{3 \times 8^3}{32^3} = \dfrac{3}{64}
$}
\end{center}

En utilisant les probabilités : On note $C_i$ l'évènement "tirer un c\oe{}urs au $i$ ème tirage". Ainsi, comme les évènements $C_1$, $C_2$ et $C_3$ sont mutuellement indépendants 
\begin{align*}
P(A) & = P(C_1 \cap C_2 \cap C_3) \\
& = P(C_1) \times P(C_2) \times P(C_3) \\
& = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{4} \\
& \boxed{= \dfrac{1}{64}}
\end{align*}
\end{exo}

On note les évènements $A_i$ : "On tire un As au $i$-ième tirage". Les évènements $A_1$, $A_2$ et $A_3$ sont mutuellement indépendants donc 
\begin{align*}
P(B) & = P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) \\
& = P(A_1) \times P(A_2) \times P(A_3) \\
& = \dfrac{1}{8} \times \dfrac{1}{8} \times \dfrac{1}{8} \\
& \boxed{= \dfrac{1}{512}}
\end{align*}

On note enfin les évènements $P_i$ : "On tire un pique au $i$-ième tirage". 
Ainsi 
$$
C = (C_1 \cap C_2 \cap P_3) \cup (C_1 \cap P_2 \cap C_3) \cup (P_1 \cap C_2 \cap C_3)  
$$ 
Les évènements dans chaque intersection sont indépendantes et les évènements $(C_1 \cap C_2 \cap P_3)$, $ (C_1 \cap P_2 \cap C_3)$ et $(P_1 \cap C_2 \cap C_3)$ sont deux à deux incompatibles donc
\begin{align*}
P(C) & = P(C_1 \cap C_2 \cap P_3) + P(C_1 \cap P_2 \cap C_3) + P(P_1 \cap C_2 \cap C_3) \\
     & = \dfrac{1}{64} + \dfrac{1}{64} + \dfrac{1}{64} \\
     &\boxed{ = \dfrac{3}{64}}
\end{align*}

\end{document}
