 \input{../preambules/preCorrection.tex}

\begin{document}

\chead{Correction Calculs C1}
\lfoot{}
\cfoot{Calcul}

\begin{center}
\fbox{ \Large Correction Calculs du 9/11 au 15/11}
\end{center}
\vspace{30pt}

\setcounter{theorem}{112}


\begin{exo}[Puissances et racines]
On calcule 

\begin{reponsed}{
A & = \sqrt{4x^2 - 4x +1} \\
  & = \sqrt{(2x-1)^2} \\
  & \boxed{= |2x - 1|}
}{
B & = \exp\left( - \dfrac{1}{3} \ln(e^{-3}) \right) \\
  & = \exp\left( - \dfrac{1}{3} \times (-3) \right) \\
  & \boxed{= e^1 = e  }
} 
\end{reponsed}
\end{exo}

\begin{exo}[\'Equations]
\begin{enumerate}
\item On résout l'équation $x^2 - 5x - 6 = 0$. Le discriminant d'une telle équation est $\Delta = 25 - 4 \times 1  \times (-6) = 49$. Cette équation a donc deux solutions 
\begin{align*}
x_1 = \dfrac{5 - 7 }{2} \quad & \quad  x_2 = \dfrac{5 + 7}{2} \\
x_1 = -1 \quad & \quad  x_2 = 6
\end{align*}
L'ensemble des solutions de cette équation est 
\begin{center}
\fbox{$\mathscr{S}_1 = \left\{ -1 ; 6 \right\}$}
\end{center}

\item On résout l'équation $-2x^2 +2x +1 = 0$. Le discriminant d'une telle équation est $\Delta = 4 - 4 \times 1  \times (-2) = 12$. Cette équation a donc deux solutions 
\begin{align*}
x_1 = \dfrac{-2 - \sqrt{12} }{-4} \quad & \quad  x_2 = \dfrac{-2 + \sqrt{12}}{-4} \\
x_1 = \dfrac{1 + \sqrt3 }{2} \quad & \quad  x_2 = \dfrac{1 - \sqrt3}{2}
\end{align*}
L'ensemble des solutions de cette équation est 
\begin{center}
\fbox{$\mathscr{S}_2 = \left\{ \dfrac{1 + \sqrt3 }{2} ; \dfrac{1 - \sqrt3}{2} \right\}$}
\end{center}

\item On factorise \begin{align*}
x^3 -2x^2 +2x = 0 & \Longleftrightarrow  x ( x^2 - 2x +2) = 0 \\
    & \Longleftrightarrow  x=0 \quad \text{ou} \quad x^2 -2x +2 = 0 
\end{align*}
On résout alors l'équation $x^2 - 2x +2 = 0$ en calculant le discriminant $\Delta = 4 - 4 \times 2  \times 1 = - 4$. Le discriminant étant négatif, cette équation n'a pas de solutions. Donc
\begin{center}
\fbox{$\mathscr{S}_3 = \left\{0 \right\}$}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Limites]
\begin{enumerate}
\item On a $\lim\limits_{x \to - \infty} \left(1-\dfrac{2}{x}+ \dfrac{1}{x^2}\right) = 1$, $\li_{x \to - \infty} \left(1-\dfrac{1}{x}\right) = 1$ et $\li_{x \to - \infty} x = - \infty$. Finalement
\begin{center}
\fbox{$\lim\limits_{x \to - \infty} \dfrac{x\left(1-\dfrac{2}{x}+ \dfrac{1}{x^2}\right)}{\left(1-\dfrac{1}{x}\right)} = - \infty $.}
\end{center}

\item On a $\lim\limits_{x \tos 1} x-2 = - 1$ et $\lim\limits_{x \tos 1} \ln(x) = 0^+$. Donc (par quotient)
\begin{center}
\fbox{$\lim\limits_{x \tos 1}  \dfrac{x-2}{\ln(x)} = - \infty$.}
\end{center}
\end{enumerate}

\end{exo}

\begin{exo}[Dérivées]
Calculer les dérivées des fonctions suivantes.

\begin{enumerate}
\item La fonction $x \to xe^x$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$ et 
\begin{center}
\fbox{$f'(x) = e^x + xe^x = (x+1) e^x $.}
\end{center}
\item La fonction $x \to 2^x = e^{x \ln(2)}$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit et composée de fonctions dérivables sur $\R$ et 
\begin{center}
\fbox{$g'(x) = \ln(2) e^{x\ln(2)} = \ln(2)2^x$.}
\end{center}
\item La fonction $x \to \dfrac{1-e^x}{1+e^x} $ est dérivable sur $\R$ en tant que quotient et somme de fonctions dérivables sur $\R$ et
\begin{align*}
h'(x) & = \dfrac{-e^x (1+e^x) - (1-e^x)e^x}{(1+e^x)^2} \\
	  & = \dfrac{-e^x - e^{2x} - e^x + e^{2x}}{(1+e^x)^2} \\
	  &\boxed{ = \dfrac{-2e^x}{(1+e^x)^2}} 
\end{align*} 
\end{enumerate}

\end{exo}

\begin{exo}[Inéquations]
\begin{enumerate}
\item On résout l'inéquation 
\begin{align*}
e^{2x} - 9 \geq 0 & \Longleftrightarrow e^{2x} \geq 9 \\
& \Longleftrightarrow 2x \geq \ln(9) \\
& \Longleftrightarrow x \geq \dfrac{2\ln{3}}{2}  \\
& \Longleftrightarrow x \geq \ln(3)
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_1 = \left[  \ln(3) ; + \infty \right[$.}
\end{center}

\item On résout l'inéquation 
\begin{align*}
\dfrac{(2x+1)^2 - 4}{x^2 - 4x} < 0 & \Longleftrightarrow \dfrac{(2x+1 -2)(2x+1+2)}{x(x - 4)} < 0\\
& \Longleftrightarrow \dfrac{(2x -1)(2x+3)}{x(x - 4)} < 0 
\end{align*}
à l'aide d'un tableau de signe
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=5,espcl=2]{$x$/1,Signe de $2x-1$/1,Signe de $2x+3$/1, Signe de $x -4$/1, Signe de $x$/1, Signe de $\dfrac{(2x -1)(2x+3)}{x(x - 4)}$/2}{$-\infty$,$-\dfrac{3}{2}$,$0$,$\dfrac12$,$4$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,t,-,t,-,z,+,t,+} 
\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,t,+,t,+}
\tkzTabLine{,-,t,-,t,-,t,-,z,+}
\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,t,+,t,+}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,+,z,-,d,+}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_2 = \left]- \dfrac{3}{2} ; 0 \right[ \cup \left] \dfrac{1}{2} ; 4 \right[$.}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Récurrence]
%Donner le résultat de la somme ou du produit suivant :
%\def\columnseprulecolor{\color{white}}
%\begin{multicols}{3}
%\begin{enumerate}
%\item $\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} 2^k$.
%\item $\displaystyle \sum_{k=2}^{n+1} (2k-3)$.
%\item $\displaystyle \sum_{k=2}^{n+1} (n-k+1)^3$.
%\end{enumerate}
%\end{multicols}
On considère la matrice $A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$.
On va montrer par récurrence les propositions 
$$\P_n : \left\{ A^n = \begin{pmatrix}
1 & n & \dfrac{n(n+3)}{2} \\
0 & 1 & n \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \right\}.$$

\renewcommand\labelitemi{\textbullet}
\begin{itemize}
\item {\bf Initialisation :} On sait que $A^0 = I_3$ et 
$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & \dfrac{0 \times (0+3)}{2} \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} = I_3
$$
Donc $\P_0$ est vraie.
\item {\bf Hérédité :} On suppose que la proposition $\P_n$ est vraie pour un certain rang $n \geq 0$. On a alors
\begin{align*}
A^{n+1}  & = A^n \times A \\
 &  = \begin{pmatrix}
1 & n & \dfrac{n(n+3)}{2} \\
0 & 1 & n \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \\
 & =  \begin{pmatrix}
1+0+0 & 1+n+0 & 2+n+\dfrac{n(n+3)}{2} \\
0+0+0 & 0+1+0 & 0+1+n \\
0+0+0 & 0+0+0 & 0+0+1
\end{pmatrix} \\
 & =  \begin{pmatrix}
1 & n+1 & \dfrac{n^2 + 5n 
+ 4}{2} \\
0 & 1 & n+1 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\end{align*}
Or 
$$
\dfrac{(n+1)(n+4)}{2} = \dfrac{n^2 + n + 4n + 4}{2} = \dfrac{n^2 + 5n + 4}{2}
$$
Donc la proposition $\P_{n+1}$ est vraie. La suite de proposition $(\P_n)$ est héréditaire.
\item {\bf Conclusion :} \fbox{$A^n = \begin{pmatrix}
1 & n & \dfrac{n(n+3)}{2} \\
0 & 1 & n \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$ }.
\end{itemize}
\end{exo}

\begin{exo}[Sommes ]
Donner le résultat de la somme ou du produit suivant :
\begin{enumerate}
\item On calcule 
\begin{align*}
 \sum_{k=2}^n k^2 & = \sum_{k=0}^n k^2 - 1^2 - 0^2 \\
 & \boxed{= \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 1}
\end{align*}

\item En appliquant la formule du cours 
\begin{center}
\fbox{$ \ds 
\sum_{k=6}^{12} k = \dfrac{7 \times 18}{2} = 63$.}
\end{center}

\item On calcule enfin
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{n-1} \dfrac{2^k}{3^{k+1}} & = \dfrac{1}{3} \sum_{k=1}^{n-1} \dfrac{2^k}{3^k} \\
& = \dfrac{1}{3} \sum_{k=1}^{n-1} \left(\dfrac{2}{3} \right)^k \\
& = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{3} \times \left( \dfrac{1 - \left( \dfrac{2}{3} \right)^{n-1} }{1 - \dfrac{2}{3}} \right) \\
& \boxed{= \dfrac{2}{3} \times \left( 1 - \left( \dfrac{2}{3} \right)^{n-1}  \right)}
\end{align*}
\end{enumerate}

\end{exo}

\end{document}
