 \input{../preambules/preCorrection.tex}

\begin{document}

\chead{Correction Calculs B8}
\lfoot{}
\cfoot{Calcul}

\begin{center}
\fbox{ \Large Correction Calculs du 19/10 au 01/11}
\end{center}
\vspace{30pt}

\setcounter{theorem}{105}

\begin{exo}[Par récurrence]

\begin{enumerate}
\item On va montrer par récurrence les propositions $\P_n : \left\{ \ds\sum_{k=1}^n k = \dfrac{n(n+1)}{2} \right\}$. 

\renewcommand\labelitemi{\textbullet}
\begin{itemize}
\item {\bf Initialisation :} On a bien $\ds \sum_{k=1}^1 k = 1$ et $\dfrac{1(1+1)}{2} = 1$  donc $\P_1$ est vraie.
\item {\bf Hérédité :} On suppose que la proposition $\P_n$ est vraie pour un certain rang $n \geq 1$. On a alors
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{n+1} k & = \sum_{k=1}^n k + (n+1) \quad \text{(relation de Chasles)} \\
&  = \dfrac{n(n+1)}{2} + (n+1) \\
& = \dfrac{n(n+1) + 2(n+1)}{2} \\
& = \dfrac{(n+1)(n+2)}{2}
\end{align*}
Donc la proposition $\P_{n+1}$ est vraie. La suite de proposition $(\P_n)$ est héréditaire.
\item {\bf Conclusion :} \fbox{$\ds \sum_{k=1}^n k = \dfrac{n(n+1)}{2}$}.
\end{itemize}

\item On va montrer par récurrence les propositions $\P_n : \left\{ \ds\sum_{k=1}^n k(k+1) = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3} \right\}$. 

\renewcommand\labelitemi{\textbullet}
\begin{itemize}
\item {\bf Initialisation :} On a bien $\ds \sum_{k=1}^1 k(k+1) = 2$ et $\dfrac{1(1+1)(1+2)}{3} = 2$  donc $\P_1$ est vraie.
\item {\bf Hérédité :} On suppose que la proposition $\P_n$ est vraie pour un certain rang $n \geq 1$. On a alors
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{n+1} k(k+1) & = \sum_{k=1}^n k(k+1) + (n+1)(n+2) \quad \text{(relation de Chasles)} \\
&  = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3} + (n+1)(n+2) \\
& = \dfrac{n(n+1)(n+2) + 3(n+1)(n+2)}{3} \\
& = \dfrac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}
\end{align*}
Donc la proposition $\P_{n+1}$ est vraie. La suite de proposition $(\P_n)$ est héréditaire.
\item {\bf Conclusion :} \fbox{$\ds\sum_{k=1}^n k(k+1) = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$}.
\end{itemize}
\end{enumerate}

\end{exo}

\newpage
\begin{exo}[En factorisant]
Calculer les sommes suivantes en utilisant la propriété de factorisation.

\reponset{ 
\sum_{k=0}^n u_0 q^k & = u_0 \sum_{k=0}^n q^k \\
& \boxed{= u_0 \left( \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \right)}
}{ 
\sum_{k=0}^n 3^{k-2} & = \dfrac{1}{9} \sum_{k=0}^n 3^{k} \\
& = \dfrac{1}{9} \left( \dfrac{1 - 3^{n+1}}{1 - 3} \right) \\
& \boxed{= -\dfrac{1}{18} \left( 1 - 3^{n+1} \right)}
}{
\sum_{k=0}^n x^{2k+2} & = x^2 \sum_{k=0}^n x^{2k} \\
& = x^2 \sum_{k=0}^n (x^{2})^k \\
&\boxed{ = x^2\left( \dfrac{1 - (x^2)^{n+1}}{1 - x^2} \right)}
}

\end{exo}

\vspace{-10pt}
\begin{exo}[En développant]
Calculer les sommes suivantes en développant les termes à l'intérieur.

\reponsed{
\sum_{k=0}^n k + k^2 & = \sum_{k=0}^n k + \sum_{k=0}^n  k^2 \\
& = \dfrac{n(n+1)}{2} + \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\
& = n(n+1) \left( \dfrac{1}{2} + \dfrac{2n+1}{6} \right)\\
& = n(n+1) \left( \dfrac{2n+4}{6} \right)\\ 
& \boxed{= \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}}
}{
\sum_{k=0}^n k(k^2+1) & = \sum_{k=0}^n k^3 + k^2 \\
& = \sum_{k=0}^n k^3 + \sum_{k=0}^n k^2 \\
& = \left( \dfrac{n(n+1)}{2} \right)^2 + \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\
& = \dfrac{(n(n+1))^2}{4} + \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\
& = \dfrac{3(n(n+1)^2 + 2n(n+1)(2n+1)}{12} \\
& = \dfrac{n(n+1)(3(n(n + 1)) +2(2n+1)) }{12} \\
& = \dfrac{n(n+1)(3n^2 + 3n + 4n + 2) }{12} \\
& \boxed{= \dfrac{n(n+1)(3n^2 + 7n + 2 )}{12} }
}

On calcule enfin: 
\begin{align*}
\sum_{k=0}^n 2k^3 + 3k & = \sum_{k=0}^n 2k^3 + \sum_{k=0}^n 3k \\
& = 2 \sum_{k=0}^n  k^3 + 3 \sum_{k=0}^n k \\
& = 2 \left( \dfrac{n(n+1)}{2} \right)^2 + 3 \dfrac{n(n+1)}{2} \\
& = \dfrac{2(n(n+1))^2 + 6n(n+1)}{4} \\
& = \dfrac{n(n+1)(2(n(n+1)) + 6)}{4} \\
& = \dfrac{n(n+1)(2n^2 + 2n + 6)}{4} \\
& \boxed{= \dfrac{n(n+1)(n^2 + n + 3)}{2}}
\end{align*}



\end{exo}

\newpage
\begin{exo}
Calculer les sommes en ajoutant ou retranchant des termes.

\reponset{
\sum_{k=2}^n k^2 & = \sum_{k=0}^n k^2 - 1 - 0 \\
& \boxed{= \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 1 }
}{
\sum_{k=1}^{n-1} x^k & = \sum_{k=0}^{n-1} x^k - x^0 \\
& = \dfrac{1 - x^n}{1-x} - 1 \\
& = \dfrac{1-x^n -1 + x}{1 - x} \\
& = \dfrac{x-x^n}{1-x} \\
& \boxed{= x\left( \dfrac{1-x^{n-1}}{1-x} \right)}
}{
\sum_{k=2}^n k(k-1) & = \sum_{k=0}^n k(k-1) -0 - 0  \\
                    & = \sum_{k=0}^n k^2 - \sum_{k=0}^n k \\
                    & = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \dfrac{n(n+1)}{2} \\
                    & = \dfrac{n(n+1)(2n+1) - 3n(n+1)}{6} \\
                    & = \dfrac{n(n+1)(2n+1-3)}{6} \\
                    & = \dfrac{n(n+1)(2n-2)}{6} \\
                    & \boxed{= \dfrac{n(n+1)(n-1)}{3}}
}

\end{exo}

\begin{exo}[Changement d'indice]
Calculer les sommes suivantes à l'aide d'un changement d'indice.
\begin{enumerate}
\item On pose le changement d'indice $j = k-2$. Donc pour $k=2$, $j= 0$ et pour $k = n+2$, $j = n$. 
\begin{align*}
\sum_{k=2}^{n+2} x^{k-2} & = \sum_{j=0}^n x^j \\
& \boxed{= \dfrac{1-x^{n+1}}{1-x}}
\end{align*}

\item On pose le changement d'indice $j = k-2$. Donc pour $k=3$, $j= 1$ et pour $k = n$, $j = n-2$.
\begin{align*}
\sum_{k=3}^n (k-2)^2 & = \sum_{j=1}^{n-2} j^2 \\
& = \sum_{j=0}^{n-2} j^2 - 0 \\
& = \dfrac{(n-2)(n-1)(2(n-2) + 1)}{6} \\
& \boxed{= \dfrac{(n-2)(n-1)(2n-3)}{6}}
\end{align*}

\item On pose le changement d'indice $j = k-1$. Donc pour $k=2$, $j= 1$ et pour $k = n+1$, $j = n$.
\begin{align*}
\sum_{k=2}^{n+1} (k-1)^3 & = \sum_{j=1}^n j^3 \\
& = \sum_{j=0}^n j^3 - 0 \\
& \boxed{= \left( \dfrac{n(n+1)}{2} \right)^2}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{exo}

\vspace{-10pt}
\begin{exo}[En utilisant une somme télescopique]
\begin{enumerate}
\item On calcule $\ds \sum_{k=1}^n k^3 - (k-1)^3$. On reconnait une somme télescopique de la forme $\sum_{k=1}^n u_k - u_{k-1} (= u_n - u_0)$ avec $u_k = k^3$. Ainsi :
\begin{center}
\fbox{$\ds \sum_{k=1}^n k^3 - (k-1)^3 = n^3 - 0^3 = n^3$.}
\end{center}

\item On calcule  $\ds \sum_{k=0}^n e^{k+1} - e^k$. On reconnait une somme télescopique de la forme $\sum_{k=0}^n u_{k+1} - u_{k} (= u_{n+1} - u_0)$ avec $u_k = e^k$. Ainsi :
\begin{center}
\fbox{$\ds \sum_{k=0}^n e^{k+1} - e^k = e^{n+1} -e^0 = e^{n+1} - 1$.}
\end{center}

\item On calcule  
\begin{align*}
\sum_{k=2}^n \ln\left( \dfrac{k+1}{k} \right) & = \sum_{k=2}^n \ln(k+1) - \ln(k)
\end{align*}
On reconnait une somme télescopique de la forme $\sum_{k=2}^n u_{k+1} - u_{k} (= u_{n+1} - u_2)$ avec $u_k = \ln(k)$. Ainsi :
\begin{align*}
\sum_{k=2}^n \ln\left( \dfrac{k+1}{k} \right) & = \sum_{k=2}^n \ln(k+1) - \ln(k) \\
& \boxed{= \ln(n+1) - \ln(2)}
\end{align*}
\end{enumerate}

\end{exo}

\vspace{-10pt}
\begin{exo}[Binôme de Newton]

\begin{enumerate}
\item Par définition du binôme de Newton, on a 
\begin{center}
\fbox{$\ds \sum_{k=0}^n  \binom{n}{k} 2^k 3^{n-k} = (2+3)^n = 5^n$. }
\end{center}

\item En ajoutant les $1$ qui manquent puis en utilisant le binôme de Newton, on a 
\begin{align*}
\sum_{k=0}^n  \binom{n}{k} & = \sum_{k=0}^n  \binom{n}{k} 1^k \times 1^{n-k} \\
& = (1+1)^n \\
&\boxed{ = 2^n}
\end{align*}

\item En appliquant le binôme de Newton, 
\begin{center}
\fbox{$\ds \sum_{k=0}^n  \binom{n}{k} 2^k (-2)^{n-k} = (2-2)^n = 0$.}
\end{center}
\end{enumerate}

\end{exo}




\end{document}
