 \input{../preambules/preCorrection.tex}

\begin{document}

\chead{Correction Calculs B7}
\lfoot{}
\cfoot{Calcul}

\begin{center}
\fbox{ \Large Correction Calculs du 12/10 au 18/10}
\end{center}
\vspace{30pt}

\setcounter{theorem}{98}


\begin{exo}[Puissances et racines]
Simplifier au maximum les expressions suivantes.

\begin{reponsed}{
A & = \dfrac{(x \sqrt{x})^4}{(x^3 \times x)^2} \\
  & = \dfrac{x^4 \sqrt{x}^4}{x^6 \times x^2} \\
  & = \dfrac{x^6}{x^8} \\
  & = \boxed{\dfrac{1}{x^2}}
}{
B & = 8^n - 4^n \times 2^{n+2} \\
  & = (2^3)^n - (2^2)^n \times 2^{n+2} \\
  & = 2^{3n} - 2^{2n + n +2} \\
  & = 2^{3n} - 2^{3n+2} \\
  & = 2^{3n} - 4 \times 2^{3n} \\
  & = \boxed{-3 \times 2^{3n}}  
} 
\end{reponsed}
\end{exo}

\begin{exo}[Fonctions usuelles]
\begin{enumerate}
\item On regarde si le terme dans la valeur absolue est positif ou négatif. Or 
\begin{align*}
3 \ln(2) + \ln \left(\dfrac{1}{9}\right) & = \ln(2^3) + \ln \left(\dfrac{1}{9}\right) \\
& = \ln(8) + \ln \left(\dfrac{1}{9}\right) \\
& = \ln \left(\dfrac{8}{9}\right) < 0
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{Ainsi, $C = \ln \left(\dfrac{9}{8}\right)$. }
\end{center}

\item On sait que $e^2+ 1 \geq e^2$ donc $\ln(e^2 +1) \geq 2$ et ainsi \begin{center}
\fbox{$D =  \ln(e^2 +1)$.}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[\'Equations]
Résoudre les équations suivantes :
\begin{enumerate}
\item \begin{align*}
(1) & \Longleftrightarrow  &  x^3 & =  x \\
    & \Longleftrightarrow  & x^3 -x	 & = 0 \\
    & \Longleftrightarrow  & x(x^2 - 1) & =  0 \\
    & \Longleftrightarrow  & (x-1)x(x+1) & = 0  \\
    \\
	&  & \boxed{\mathscr{S}_1 = \left\{ -1 , 0, 1 \right\}}
\end{align*}
\item \begin{align*}
(2) & \Longleftrightarrow  & (x^2+1)^2 & = (x^2 - 1)^2 \\
    & \Longleftrightarrow  & (x^2+1)^2 - (x^2 - 1)^2 & = 0 \\
    & \Longleftrightarrow  & ((x^2 +1) - (x^2 -1))((x^2 +1) + (x^2 - 1)) & = 0 \\
    & \Longleftrightarrow  & 2 \times 2x^2 & = 0  \\
    \\
	&  & \boxed{\mathscr{S}_2 = \left\{ 0 \right\}}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Limites]
\begin{enumerate}
\item On a $\lim\limits_{x \to + \infty} x \sqrt{x} = + \infty$ donc $\lim\limits_{x \to + \infty} \dfrac{1}{x \sqrt{x}} = 0$. De plus, $\lim\limits_{x \to + \infty} x^2 = + \infty$. Finalement
\begin{center}
\fbox{$\lim\limits_{x \to + \infty} x^2 \left( 1 - \dfrac{1}{x \sqrt{x}} \right) = + \infty $.}
\end{center}

\item On a $\lim\limits_{x \to + \infty} -x = - \infty$ donc $\lim\limits_{x \to + \infty} (-x)^3 = - \infty$. De plus, $\lim\limits_{x \to + \infty} \sqrt{x} = + \infty$. Finalement
\begin{center}
\fbox{$\lim\limits_{x \to + \infty} ((-x)^3\sqrt{x}) = - \infty$.}
\end{center}
\end{enumerate}

\end{exo}

\begin{exo}[Dérivées]
Calculer les dérivées des fonctions suivantes.

\begin{enumerate}
\item La fonction $x \to (x^2 - 2x+2)e^x$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$ et 
\begin{center}
\fbox{$f'(x) = (2x - 2)e^x + (x^2 - 2x + 2)e^x = x^2 e^x $.}
\end{center}
\item La fonction $x \to \dfrac{1}{1-e^x}$ est dérivable sur $\R^*$ en tant que produit  de fonctions dérivables sur $\R^*$ et 
\begin{center}
\fbox{$g'(x) = \dfrac{e^x}{(1-e^x)^2}$.}
\end{center}
\item La fonction $x \to (\ln x)^2 $ est dérivable sur $\R$ en tant que quotient et somme de fonctions dérivables sur $\R_+^*$ et
\begin{align*}
h'(x) & = \dfrac{(e^x + e^{-x})^2 - (e^x - e^{-x})^2}{(e^x + e^{-x})^2} \\
	  & = \dfrac{(e^x + e^{-x} + e^x - e^{-x})(e^x +e^{-x} - e^x + e^{-x})}{(e^x + e^{-x})^2} \\
	  & = \dfrac{2e^x \times 2e^{-x}}{(e^x + e^{-x})^2} \\
	  & \boxed{= \dfrac{4}{(e^x + e^{-x})^2}}
\end{align*} 
\end{enumerate}

\end{exo}

\begin{exo}[Inéquations]
\begin{enumerate}
\item On résout l'inéquation 
\begin{align*}
e^{2x-3} - 2 \geq 0 & \Longleftrightarrow e^{2x-3} \geq 2 \\
& \Longleftrightarrow 2x - 3 \geq \ln(2) \\
& \Longleftrightarrow 2x \geq \ln(2) + 3 \\
& \Longleftrightarrow x \geq \dfrac{\ln(2) + 3}{2} 
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_1 = \left[  \dfrac{\ln(2) + 3}{2} ; + \infty \right[$.}
\end{center}

\item On résout l'inéquation 
\begin{align*}
\dfrac{x+3}{x^2-1} \geq \dfrac{3}{x-1} & \Longleftrightarrow \dfrac{x+3}{(x-1)(x+1)} - \dfrac{3}{x-1} \geq 0 \\
& \Longleftrightarrow \dfrac{x+3}{(x-1)(x+1)} - \dfrac{3(x+1)}{(x-1)(x+1)} \geq 0 \\
& \Longleftrightarrow \dfrac{-2x}{(x-1)(x+1)} \geq 0
\end{align*}
à l'aide d'un tableau de signe
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=5,espcl=2]{$x$/1,Signe de $-2x$/1, Signe de $x -1$/1, Signe de $x+1$/1, Signe de $\dfrac{-2x}{(x-1)(x+1)}$/2}{$-\infty$,$-1$,$0$,$1$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,t,+,z,-,t,-} 
\tkzTabLine{,-,t,-,t,-,z,+}
\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,t,+}
\tkzTabLine{,+,d,-,z,+,d,-}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_2 = \left]- \infty ; - 1 \right[ \cup \left[0 ; 1\right[$.}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Récurrence]
%Donner le résultat de la somme ou du produit suivant :
%\def\columnseprulecolor{\color{white}}
%\begin{multicols}{3}
%\begin{enumerate}
%\item $\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} 2^k$.
%\item $\displaystyle \sum_{k=2}^{n+1} (2k-3)$.
%\item $\displaystyle \sum_{k=2}^{n+1} (n-k+1)^3$.
%\end{enumerate}
%\end{multicols}
On considère la suite $(u_n)_{n \in \N}$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{n + u_n}$. 
On va montrer par récurrence que $(u_n)_{n \in \N}$ est croissante, i.e. les propositions $\P_n : \{u_{n+1} \geq u_n \}$. 

\renewcommand\labelitemi{\textbullet}
\begin{itemize}
\item {\bf Initialisation :} On a bien $u_1 = \sqrt{2} \geq u_0$ donc $\P_0$ est vraie.
\item {\bf Hérédité :} On suppose que la proposition $\P_n$ est vraie pour un certain rang $n \geq 0$. On a alors
\begin{align*}
u_{n+1} & \geq u_n \\
u_{n+1} + (n+1) & \geq n + u_n  \quad (\text{On rappelle que $n+1 \geq n$}) \\
\sqrt{u_{n+1} + (n+1)} & = \sqrt{n+ u_n} \\
u_{n+2} & = u_{n+1}
\end{align*}
Donc la proposition $\P_{n+1}$ est vraie. La suite de proposition $(\P_n)$ est héréditaire.
\item {\bf Conclusion :} \fbox{La suite $(u_n)_{n \in \N}$ est croissante}.
\end{itemize}
\end{exo}


\end{document}
