 \input{../preambules/preCorrection.tex}

\begin{document}

\chead{Correction Calculs B6}
\lfoot{}
\cfoot{Calcul}

\begin{center}
\fbox{ \Large Correction Calculs du 5/10 au 11/10}
\end{center}
\vspace{30pt}

\setcounter{theorem}{91}


\begin{exo}[Puissances et racines]
On simplifie au maximum les expressions suivantes.

\reponsed{ 
A & = \left( \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{2 + \sqrt{3}} \right)^2 \\
  & = 2 - \sqrt{3} +2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} \sqrt{2 +  \sqrt{3}} + 2 + \sqrt{3} \\
  & = 4 + 2 \sqrt{(2 - \sqrt3)(2 + \sqrt3)} \\
  & = 4 + 2 \sqrt{4-3} \\
  & \boxed{= 4 + 2 = 6}
}{
B & = 2(-1)^{2n-1} + (-1)^{-n}(-1)^{-n+2} \\
  & = 2 \times (-1) + (-1)^{-2n +2} \\
  & = - 2 + 1 \\
  & \boxed{= -1}
}
\end{exo}

\begin{exo}[\'Equations]
On résout les équations suivantes :

\reponsed{
\ln(e^x - 3) = 0 & \Longleftrightarrow e^x - 3 = 1 \\
& \Longleftrightarrow e^x = 4 \\
& \Longleftrightarrow \boxed{x = \ln(4) = 2 \ln(2)}
}{
(2x + 5)^2 = 25 & \Longleftrightarrow (2x + 5)^2 - 25 = 0 \\
& \Longleftrightarrow (2x + 5 - 5)(2x + 5 + 5) = 0 \\
& \Longleftrightarrow 2x(2x +10)= 0 \\
& \Longleftrightarrow \boxed{x = 0 \quad ou \quad x = -5}
}

\end{exo}

\begin{exo}[Logarithme et Exponentielle]
On simplifie au maximum les expressions suivantes.

\reponsed{ 
C & = e^{- \ln(\ln(2))} \\
  & = \dfrac{1}{e^{\ln(\ln(2))}} \\
  & \boxed{= \dfrac{1}{\ln(2)}} 
}{
D & = \ln \left( \dfrac{1+ e^{2x}}{1+ e^{-2x}} \right) \\
  & = \ln \left( \dfrac{e^{2x}(1+ e^{-2x})}{1+ e^{-2x}}  \right) \\
  & = \ln \left( e^{2x} \right) \\
  & \boxed{= 2x}
}
\end{exo}

\begin{exo}[Limites]
On calcule les limites suivantes

\begin{enumerate}
\item On a (puisque $\ln(2) > 0$)
\begin{center}
\fbox{$\li_{x \to - \infty} 2^x = \li_{x \to -\infty} e^{x \ln(2)} = 0 $.}
\end{center}
\item On a $\li_{x \to + \infty} x^2 = + \infty $ et $\li_{x \to + \infty} \sqrt{x} = + \infty$ donc 
\begin{center}
\fbox{$ \lim\limits_{x \to + \infty} (x^2 \sqrt{x} ) = + \infty$.}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Dérivées]
\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction usuelle et 
\begin{center}
\fbox{$f'(x) = - e^{-x}$.}
\end{center}

\item La fonction $g$ est dérivable sur $]0;1[ \cup ]1, + \infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle. 
\begin{center}
\fbox{$g'(x) = - \dfrac{\dfrac{1}{x}}{(\ln(x)^2} = - \dfrac{1}{x \ln(x)^2}$.}
\end{center}

\item La fonction $h$ est dérivables sur $\R_+^*$ en tant que somme et quotient de fonctions dérivables sur $\R_+^*$. De plus
\begin{align*}
h'(x) & = \dfrac{x(\ln(x) + 1) - (x \ln(x) - 1)}{x^2} \\
      & = \dfrac{x\ln(x) + x - x \ln(x) + 1}{x^2} \\
      & \boxed{= \dfrac{x+1}{x^2}} 
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Inéquations]
\begin{enumerate}
\item On résout l'inéquation 
\begin{align*}
e^{2x} - 2e^x \geq 0 & \Longleftrightarrow (e^{x})^2 - 2e^x \geq 0 \\
& \Longleftrightarrow e^x (e^x - 2) \geq 0 \\ 
& \Longleftrightarrow e^x - 2 \geq 0 \quad \text{(car $e^x > 0$)} \\
& \Longleftrightarrow e^x \geq 2 \\
& \Longleftrightarrow x \geq \ln(2)
\end{align*}
L'ensemble des solutions de cette inéquation est 
\begin{center}
\fbox{$\mathscr{S}_1 =  \left[ \ln(2); + \infty \right[$.}
\end{center}

\item On résout l'inéquation 
\begin{align*}
\dfrac{x+5}{x-1} \leq \dfrac{x-3}{x+2} & \Longleftrightarrow \dfrac{(x+5)(x+2)}{(x-1)(x+2)} - \dfrac{(x-3)(x-1)}{(x+2)(x-1)} \leq 0 \\
& \dfrac{x^2 + 5x + 2x + 10 - (x^2 -3x - x + 3)}{(x+2)(x-1)} \leq 0 \\
& \dfrac{ 11x + 7}{(x+2)(x-1)} \leq 0
\end{align*}
On étudie cette inéquation à l'aide d'un tableau de signe. 

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=2]{$x$/1, Signe de $11x+7$/1, Signe de $x - 1$/1,Signe de $x+2$/1, Signe de $ \dfrac{ 11x + 7}{(x+2)(x-1)}$/2}{$-\infty$,$-2$,$-\dfrac{7}{11}$,$1$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,t,+,}
\tkzTabLine{,-,t,-,t,-,z,+,}
\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,t,+,} 
\tkzTabLine{,-,d,+,z,-,d,+}  
\end{tikzpicture}
\end{center}

L'ensemble des solutions de cette inéquation est 
\begin{center}
\fbox{$\mathscr{S}_2 =  \left]- \infty ; -2 \right[ \cup \left[ - \dfrac{7}{11}; 1 \right[$.}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Récurrence]
%Donner le résultat de la somme ou du produit suivant :
%\def\columnseprulecolor{\color{white}}
%\begin{multicols}{3}
%\begin{enumerate}
%\item $\displaystyle \sum_{k=0}^{n} x^{k+1} $.
%\item $\displaystyle \sum_{k=1}^n k^3 - k$.
%\item $\displaystyle \sum_{k=2}^{n+2} (k-2)^2$.
%\end{enumerate}
%\end{multicols}
Soit la suite $u_0 > 0$ et $u_{n+1} = \ln(1+u_n)$. On va Montrer par récurrence les propositions $\P_n : \{$ $u_n$ est bien défini et $u_n >0. \}$. 

\renewcommand\labelitemi{\textbullet}
\begin{itemize}
\item {\bf Initialisation :} $u_0$ est donné dans l'énoncé. Il est donc bien défini et $u_0 > 0$. 
\item {\bf Hérédité :} On suppose que la proposition $\P_n$ est vraie pour un certain rang $n \geq 0$. On a alors $u_n$ bien défini et $u_n > 0$. Comme $u_n$ est strictement positif $1+ u_n >1$ et donc le logarithme est bien défini. Ainsi, $u_{n+1}$ est bien défini. De plus
\begin{align*}
u_n > 0 & \Longleftrightarrow 1 + u_n > 1 \\
        & \Longleftrightarrow \ln(1+u_n) > \ln(1) \\
        & \Longleftrightarrow u_{n+1} > 0
\end{align*}
Donc la proposition $\P_{n+1}$ est vraie. La suite de proposition $(\P_n)$ est héréditaire.
\item {\bf Conclusion :} \fbox{Pour tout $n \in \N$, $(1+x)^n \geq 1 + nx.$}.
\end{itemize}
\end{exo}




\end{document}
