 \input{../preambules/preCorrection.tex}

\begin{document}

\chead{Correction Calculs B5}
\lfoot{}
\cfoot{Calcul}

\begin{center}
\fbox{ \Large Correction Calculs du 28/09 au 04/10}
\end{center}
\vspace{30pt}

\setcounter{theorem}{84}

\begin{exo}[Puissances et racines]
Simplifier au maximum les expressions suivantes.

\reponsed{
A & = \dfrac{2+\sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}\\
  & = \dfrac{(2+\sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} \\
  & = \dfrac{4 + 4 \sqrt{3} + 3}{4 - 3} \\
  & \boxed{= 7 + 4 \sqrt{3}}
}{
B & =\dfrac{10^{n+1} - 9 \times 10^n - 10^{n+2}}{20 \times 10^{n-2} + 8\times 10^{n-1} } \\
  & = \dfrac{10^n \left( 10 - 9 - 100 \right)}{10^{n-1}(2 + 8)} \\
  & = \dfrac{-99 \times 10^n}{10^n} \\
  & \boxed{= - 99}
}

\end{exo}

\begin{exo}[\'Equations]
On résout les équations suivantes :

\reponsed{
\dfrac{2}{x} + 4 = 2 & \Longleftrightarrow \dfrac{2}{x} = -2 \\
& \Longleftrightarrow \dfrac{x}{2} = -2 \\
& \Longleftrightarrow \boxed{x = -1}
}{
(-2x+4)(3x-5) = 0 & \Longleftrightarrow -2x + 4 = 0 \quad \text{ou} \quad 3x - 5 = 0 \\
& \Longleftrightarrow -2x = -4 \quad \text{ou} \quad 3x =5 \\
& \Longleftrightarrow \boxed{x = 2 \quad \text{ou} \quad x =\dfrac{5}{3}}
}

\end{exo}

\begin{exo}[Logarithme et Exponentielle]
Simplifier au maximum les expressions suivantes.

\reponsed{
C & = \exp ( 4 \ln(e^{-3/4})) \\
  & = \exp (\ln(e^{-3/4}))^4 \\
  & = \exp (-3/4)^4 \\
  & \boxed{= e^{-3}}
}{
D & = \ln \left( \sqrt{5} + 2 \right) + \ln \left( \sqrt{5} - 2 \right) \\
  & = \ln((\sqrt{5} + 2 )(\sqrt{5} - 2) ) \\
  & = \ln(5 - 4) \\
  &\boxed{ = 0 } 
}
\end{exo}

\begin{exo}[Limites]
On calcule les limites suivantes. 
\begin{enumerate}
\item On a $
\li_{x \to 1} (x-1)^2 = 0+ 
$ donc 
\begin{center}
\fbox{$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1}{(x-1)^2} = + \infty$}
\end{center}

\item On a $\li_{x \tos 0} \sqrt{x} = 0^+$ et $\li_{x \tos 0} \ln(x) = - \infty$. Enfin, $\li_{x \tos 0} x^3 = 0^+$ donc 
\begin{center}
\fbox{$\lim\limits_{x \tos 0} \dfrac{\ln(\sqrt{x})}{x^3} = - \infty $.}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Dérivées]
On calcule les dérivées des fonctions suivantes.
\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$. On a 
\begin{center}
\fbox{$f'(x) = e^{x} + e^{-x}$. }
\end{center}

\item On résout $2x + 5 = 0 \Longleftrightarrow x = -\dfrac{5}{2}$. La fonction $g$ est dérivable sur $\R \setminus \left\{ - \dfrac{5}{2} \right\}$ et 
\begin{align*}
g'(x) & = \dfrac{(2x-2)(2x +5) - 2(x^2 - 2x)}{(2x+5)^2} \\
& = \dfrac{4x^2 +10x - 4x - 10 - 2x^2 + 4x}{(2x +5)^2} \\
& \boxed{= \dfrac{2x^2 + 10x - 10}{(2x +5)^2}}
\end{align*}
\end{enumerate}

\item La fonction $h$ est dérivable sur $\R_+^*$ en tant que produit et composée de fonctions sur $\R_+^*$. On a de plus 
\begin{align*}
h'(x) & = \dfrac{n}{2 \sqrt{nx}}e^{nx} + n \sqrt{nx} e^{nx} \\
& \boxed{= n \left(\dfrac{1 + 2nx}{2 \sqrt{nx}} \right) e^{nx}}
\end{align*}
\end{exo}

\begin{exo}[Inéquations]
On résout les inéquations suivantes 
\begin{enumerate}
\item On a 
\begin{align*}
\dfrac{x-2}{3} - \dfrac{1-x}{2} \geq 5 & \Longleftrightarrow \dfrac{2x-4}{6} - \dfrac{3-3x}{6} \geq 5 \\
& \Longleftrightarrow 2x - 4 - 3 +3x \geq 30 \\
& \Longleftrightarrow 5x - 7 \geq 30 \\
& \Longleftrightarrow 5x \geq 37 \\
& \Longleftrightarrow \boxed{x \geq \dfrac{37}{5}}
\end{align*}
L'ensemble des solutions de cette inéquation est 
\begin{center}
\fbox{$\mathscr{S}_1 =  \left[ \dfrac{37}{5}; + \infty \right[$.}
\end{center}
\item On a 
$$
\dfrac{5-3x}{x^2-1} \leq 0 \Longleftrightarrow \dfrac{5-3x}{(x-1)(x+1)} \leq 0
$$
On étudie alors cette inéquation à l'aide d'un tableau de signe.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=2]{$x$/1, Signe de $5-3x$/1, Signe de $x - 1$/1,Signe de $x+1$/1, Signe de $\dfrac{5-3x}{x^2-1}$/2}{$-\infty$,$-1$,$1$,$\dfrac{5}{3}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,t,+,t,+,z,-,}
\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,t,+,}
\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,t,+,} 
\tkzTabLine{,+,d,-,d,+,z,-}  
\end{tikzpicture}
\end{center}
D'après ce tableau de signe 
\begin{center}
\fbox{$\mathscr{S}_2 = ]-1 ; 1[ \cup \left[ \dfrac{5}{3}; + \infty \right[$.}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exo}

\newpage
\begin{exo}[Récurrence]
%Donner le résultat de la somme ou du produit suivant :
%\def\columnseprulecolor{\color{white}}
%\begin{multicols}{3}
%\begin{enumerate}
%\item $\displaystyle \sum_{k=0}^{2n} k$.
%\item $\displaystyle \sum_{k=1}^n 4^k$.
%\item $\displaystyle \sum_{k=0}^n k(k-2)$.
%\end{enumerate}
%\end{multicols}
Soit $x \in \R^+$. On va Montrer par récurrence les propositions $\P_n : \{ (1+x)^n \geq 1 + nx \}$. 

\renewcommand\labelitemi{\textbullet}
\begin{itemize}
\item {\bf Initialisation :} On a $(1+x)^0 = 1$ et $1+ 0 \times x = 1$ donc $\P_0$ est vraie. 
\item {\bf Hérédité :} On suppose que la proposition $\P_n$ est vraie pour un certain rang $n \geq 0$. On a alors
\begin{align*}
(1+ x)^{n+1} & = (1+x)^n (1+x) \\
		     & \geq (1+nx)(1+x) \\
		     & \geq 1 + nx + x + nx^2 \\
		     & \geq 1 + (n+1)x + nx^2 \\
		     & \geq 1 + (n+1)x
\end{align*}
Donc la proposition $\P_{n+1}$ est vraie. La suite de proposition $(\P_n)$ est héréditaire.
\item {\bf Conclusion :} \fbox{Pour tout $n \in \N$, $(1+x)^n \geq 1 + nx.$}.
\end{itemize}
\end{exo}



\end{document}
