 \input{../preambules/preCorrection.tex}

\begin{document}

\chead{Correction Calculs B4}
\lfoot{}
\cfoot{Calcul}

\begin{center}
\fbox{ \Large Correction Calculs du 21/09 au 27/09}
\end{center}
\vspace{30pt}

\setcounter{theorem}{77}


\begin{exo}[Somme de limites]
On calcule les limites suivantes.
\begin{enumerate}
\item On sait que $\li_{x \to + \infty} e^{-2x} = \li_{x \to + \infty} \dfrac{1}{e^{2x}} = 0$ et $\li_{x \to + \infty} \ln(x) = + \infty $ donc 
\begin{center}
\fbox{$\li_{x \to + \infty} e^{-2x} + \ln(x) = + \infty$.}
\end{center}
\item On sait que $\li_{x \to - \infty} e^{-2x} = \li_{x \to - \infty} \dfrac{1}{e^{2x}} = + \infty$ et $\li_{x \to + \infty} x^2 = + \infty $ donc
\begin{center}
\fbox{$\li_{x \to - \infty} e^{-2x} + x^2 = + \infty$ .}
\end{center}

\item On sait que $\li_{x \tos 0} \ln(x) = - \infty$ et $\li_{x \tos 0} \dfrac{1}{x} = + \infty$. Donc
\begin{center}
\fbox{$\li_{x \tos 0} \ln(x) - \dfrac{1}{x} = - \infty$.}
\end{center}
\end{enumerate}

\end{exo}

\begin{exo}[Produit de limites]
On calcule les limites suivantes.

\begin{enumerate}
\item On sait que $\li_{x \tos 0} \dfrac{1}{x} = + \infty $ et que $\li_{x \tos 0} \ln(x) = - \infty$. Donc
\begin{center}
\fbox{$\li_{x \tos 0} \dfrac{1}{x} \ln(x) = - \infty$.}
\end{center}

\item On sait que $\li_{x \to 0} e^{-x} = 1$ et $\li_{x \to 0} |x| = 0$. Donc 
\begin{center}
\fbox{$\li_{x \to 0} e^{-x} |x| = 0$}
\end{center}

\item On sait que $ \li_{x \toi 1} 1-x = 0^+$ donc $ \li_{x \toi 1} \dfrac{1}{1-x} = + \infty$ et $\li_{x \toi 1} \ln \left(x-\dfrac{1}{2}\right) = \ln \left(\dfrac{1}{2} \right) = - \ln(2) < 0$. On a donc 
\begin{center}
\fbox{$\li_{x \toi 1} \dfrac{1}{1-x} \ln \left(x-\dfrac{1}{2}\right) = - \infty $.}
\end{center}
\end{enumerate}

\end{exo}

\begin{exo}[Quotient de limites]
On calcule les limites suivantes.
\begin{enumerate}
\item On sait que $\li_{x \to 2^+} x^2 +3 = 7$ et $\li_{x \to 2^+} 2-x = 0^{-}$. Donc
\begin{center}
\fbox{$\lim\limits_{x \to 2^+} \dfrac{x^2+3}{2-x} = - \infty$.}
\end{center}

\item On sait que $\li_{x \tos 0} \sqrt{x} = 0^+$ donc 
\begin{center}
\fbox{$\li_{x \tos 0} \dfrac{1}{\sqrt{x}} = + \infty$.}
\end{center}

\item On sait que $\li_{x \to + \infty} e^{-x} = 0$ et $\li_{x \to + \infty} x^2 + x = + \infty$. Donc
\begin{center}
\fbox{$\li_{x \to + \infty} \dfrac{e^{-x}}{x^2 +x} = 0$.}
\end{center}
\end{enumerate}

\end{exo}

\begin{exo}[Limites de composée]
On calcule les limites suivantes.
\begin{enumerate}
\item On sait que $\li_{x \tos 2} x^2 - 4 = 0^+$ et que $\li_{ X \tos 0} \ln (X) = - \infty$. Donc
\begin{center}
\fbox{$ \li_{x \tos 2} \ln(x^2 - 4) = - \infty$.}
\end{center}

\item On sait que $\li_{x \toi 0} -\dfrac{1}{x} = + \infty$ et que $\li_{X \to + \infty} e^{X} = + \infty$. Donc
\begin{center}
\fbox{$ \li_{x \toi 0} e^{- 1/x} = + \infty$.}
\end{center}

\item On sait que $\li_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0^+$ et que $\li_{X \to 0^+} \ln(X) = - \infty$ donc 
\begin{center}
\fbox{$ \li_{x \to + \infty} \ln \left( \dfrac{1}{x} \right) = -\infty$.  }
\end{center}
\end{enumerate}

\end{exo}

\begin{exo}[Limites]
On calcule les limites suivantes.
\begin{enumerate}
\item On sait que $\li_{x \toi 1} x- 1 = 0^-$ donc $\li_{x \toi 1} \dfrac{1}{x-1} = - \infty$ et on sait que $\li_{x \toi 1} \ln(x) = 0$. Donc 
\begin{center}
\fbox{$ \li_{x \toi 1}\; \dfrac{1}{x-1} + \ln(x) = - \infty$.}
\end{center}

\item On sait que $\li_{x \tos 2} x-2 = 0^+$ donc $\li_{x \tos 2} \ln \left( \dfrac{2}{x-2} \right) = + \infty$ et $\li_{X \to + \infty} \ln(X) = + \infty$. Donc  
\begin{center}
\fbox{$ \li_{x \tos 2} \ln\left( \dfrac{2}{x-2} \right) = + \infty$.}
\end{center}

\item On sait que $\li{x \to - \infty} e^{-x} + 2 = + \infty$ et $\li_{X \to + \infty} \sqrt{X} = + \infty$. Donc 
\begin{center}
\fbox{$ \li_{x \to - \infty} \sqrt{e^{-x} + 2} = + \infty$. }
\end{center}
\end{enumerate}

\end{exo}

\begin{exo}[Forme indéterminée - polynôme]
En factorisant les expressions par le terme de plus haut degré, calculez les limites des polynômes suivants.

\begin{enumerate}
\item On sait que $ x^2 - x +2 = x^2 \left( 1 - \dfrac{x}{x^2} + \dfrac{2}{x^2} \right) = x^2 \left( 1 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{x^2} \right)$. Or $\li_{x \to + \infty} \dfrac{1}{x} = 0$ et $\li_{x \to + \infty} \dfrac{2}{x^2} = 0$. Donc 
\begin{center}
\fbox{$\li_{x \to + \infty}  x^2 - x +2 = + \infty $.}
\end{center}

\item On sait que $ x^3 + x^2 -5 = x^3 \left( 1 + \dfrac{x^2}{x^3} - \dfrac{5}{x^3} \right) = x^3 \left( 1 + \dfrac{1}{x} - \dfrac{5}{x^3} \right)$. Or $\li_{x \to - \infty} \dfrac{1}{x} = 0$ et $\li_{x \to - \infty} \dfrac{5}{x^3} = 0$. Comme $\li_{x \to - \infty} x^3 = - \infty$, on a 
\begin{center}
\fbox{$\li_{x \to - \infty}  x^3 + x^2 -5 = - \infty $.}
\end{center}

\item On sait que $ x^{57} - x^{24} +5 = x^{57} \left( 1 - \dfrac{x^{24}}{x^{57}} + \dfrac{5}{x^{57}} \right) = x^{57} \left( 1 - \dfrac{1}{x^{33}} + \dfrac{5}{x^{57}} \right)$. Or $\li_{x \to - \infty} \dfrac{1}{x^{33}} = 0$ et $\li_{x \to - \infty} \dfrac{5}{x^{57}} = 0$. Comme $\li_{x \to - \infty} x^{57} = - \infty$, on a 
\begin{center}
\fbox{$\li_{x \to - \infty}  x^{57} -x^{24} +5 = - \infty $.}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Forme indéterminée - fractions rationnelles]
En factorisant les expressions au numérateur et au dénominateur par le terme de plus haut degré et en simplifiant, calculez les limites des polynômes suivants.

\begin{enumerate}
\item On calcule
$$
\dfrac{x^3 - x +2}{x^2 +x} = \dfrac{x^3 \left( 1 - \dfrac{x}{x^3} + \dfrac{2}{x^3} \right)}{x^2 \left( 1 + \dfrac{x}{x^2} \right)} = \dfrac{x \left( 1 - \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{2}{x^3} \right)}{ 1 + \dfrac{1}{x}}
$$
Or on sait que $\li_{x \to + \infty} 1 + \dfrac{1}{x} = 1$ et $ \li_{x \to + \infty} 1 - \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{2}{x^3} = 1$. De plus $\li_{x \to + \infty} x = + \infty$ donc 
\begin{center}
\fbox{$\li_{x \to + \infty}\dfrac{x^3 - x +2}{x^2 +x} = + \infty$.}
\end{center}

\item On calcule, 
$$
\dfrac{x^3 + x + 3}{x^4 + 3} = \dfrac{x^3 \left(1 + \dfrac{x}{x^3} + \dfrac{3}{x^3}\right)}{x^4 \left(1 + \dfrac{3}{x^4} \right)} = \dfrac{1 + \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{3}{x^3}}{x \left(1 + \dfrac{3}{x^4} \right)}?
$$
Or on sait que $\li_{x \to - \infty} 1 + \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{3}{x^3} = 1$ et $\li_{x \to - \infty} 1 + \dfrac{3}{x^4} = 1$. De plus $\li_{x \to -\infty} \dfrac{1}{x} = 0$ donc 
\begin{center}
\fbox{$\li_{x \to - \infty} \dfrac{x^3 + x + 3}{x^4 + 3} = 0$.}
\end{center}

\item On calcule 
$$
\dfrac{x^2 - 4x +2}{3x^2 +2} = \dfrac{x^2\left(1 - \dfrac{4x}{x^2} + \dfrac{2}{x^2} \right)}{3x^2 \left(1 + \dfrac{2}{3x^2}\right)} = \dfrac{1 - \dfrac{4}{x} + \dfrac{2}{x^2}}{3\left(1 + \dfrac{2}{3x^2}\right)}
$$
Or, $\li_{x \to - \infty} 1 - \dfrac{4}{x} + \dfrac{2}{x^2}=1$ et $\li_{x \to - \infty} 1 + \dfrac{2}{3x^2} = 1$. 
On conclut donc que 
\begin{center}
\fbox{$\li_{x \to - \infty} \dfrac{x^2 - 4x +2}{3x^2 +2} = \dfrac{1}{3}$.}
\end{center}
\end{enumerate}

\end{exo}


\end{document}
