 \input{../preambules/preCorrection.tex}

\begin{document}

\chead{Correction Calculs B3}
\lfoot{}
\cfoot{Calcul}

\begin{center}
\fbox{ \Large Correction Calculs du 14/09 au 20/09}
\end{center}
\vspace{30pt}

\setcounter{theorem}{70}

\begin{exo}[Calcul littéral]
Développer puis réduire chaque expression.

\reponsed{
A & = (x + 2)^2(x-2)^2 \\
  & = ((x+2)(x-2))^2 \\
  & = (x^2 - 4)^2 \\
  & \boxed{= x^4 - 8 x^2 + 16}
}{
B & = (5x + 4)(2x+3) - (2x+5)\\
  & = 10x^2 +8x +15x + 12 - 2x - 5 \\
  & \boxed{= 10x^2 +21x +7}
}

\end{exo}

\begin{exo}[Fractions]
Simplifier au maximum les expressions suivantes.

\reponsed{
C & = \dfrac{x^8(x + x^4)}{x^3 + x^6} \\
  & = \dfrac{x^9(1 + x^3)}{x^3(1+x^3)} \\
  & = \dfrac{x^9}{x^3}	\\
  & \boxed{= x^6}
}{
D & = 1 + \dfrac{x^4 - x^2}{x^2 - 1} \\
  & = 1 + \dfrac{x^2 (x^2 - 1)}{x^2 - 1} \\
  & \boxed{= 1 + x^2}
}

\end{exo}

\begin{exo}[Puissances et racines]
Simplifier au maximum les expressions suivantes.

\reponsed{
E & = \sqrt{27} - \sqrt{75} + 4 \sqrt{12} \\
  & = \sqrt{9 \times 3} - \sqrt{25 \times 3} + 4 \sqrt{4 \times 3} \\
   & = 3 \sqrt{3} - 5 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} \\
   & = \boxed{6 \sqrt{3} }
}{
F & = 8^{n+1} - 4^n \times 2^{n+2} \\
  & = 2^{3n+3} - 2^{2n} \times 2^{n+2} \\
  & = 2^{3n +3} - 2^{3n+2} \\
  & = 2^{3n+2} (2 - 1) \\
  & \boxed{= 2^{3n+2}}
}

\end{exo}

\begin{exo}[\'Equations]
On résout les équations suivantes :

\reponsed{
(1) & \Longleftrightarrow  &  \dfrac{3}{2}x + 5 & =  -\dfrac{4}{3} \\
    & \Longleftrightarrow  & \dfrac{3}{2}x	 & = - \dfrac{4}{3} - \dfrac{15}{3} \\
    & \Longleftrightarrow  & \dfrac{3}{2}x & =  -\dfrac{19}{3} \\
    & \Longleftrightarrow  & x & = -\dfrac{38}{9} \\
    \\
	&  & \boxed{\mathscr{S}_1 = \left\{ -\dfrac{38}{9}  \right\}}
}{
(2) & \Longleftrightarrow  & x^2 + 4x + 2 = 0 \\
    &   & \text{Le discriminant est } \Delta = 16 - 8 =8 \\
    &   & \text{l'équation a donc deux solutions :  } \\
    &   &  x_1 =  \dfrac{-4- \sqrt{8}}{2} \qquad x_2 = \dfrac{-4 + \sqrt{8}}{2}\
    \\
    & \Longleftrightarrow   &  x_1 =  \dfrac{-4- 2\sqrt{2}}{2} \qquad x_2 = \dfrac{-4 + 2\sqrt{2}}{2}\
    \\
	&  & \boxed{\mathscr{S}_2 = \left\{ -2-\sqrt2 ; -2 + \sqrt2 \right\}}
}

\end{exo}

\begin{exo}[Logarithme et Exponentielle]
Simplifier au maximum les expressions suivantes.

\reponsed{
G & = \ln(\sqrt[5]{e}) \\
  & = \ln(e^{1/5}) \\
  & = \dfrac{1}{5} \ln(e) \\
  & \boxed{= \dfrac{1}{5} }
}{
H & = \ln(\sqrt[]{e^4}) - \ln(\sqrt[]{e^2}) \\
  & = \dfrac{1}{2} \ln(e^4) - \dfrac{1}{2} \ln(e^2) \\
  & = 2 \ln(e) - 1 \ln(e) \\
  & = 2 - 1 \\
  & \boxed{= 1}
}

\end{exo}

\begin{exo}[Dérivées]
Calculer les dérivées des fonctions suivantes.

\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables et 
\begin{center}
\fbox{$f'(x) = 2x e^x + x^2 e^x = (x^2 +2x)e^x $}
\end{center}

\item La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $\R$ ($1+x^2 \neq 0$ pour tout $x$ réel. De plus 

\begin{center}
\fbox{$g'(x) = - \dfrac{2x}{(1+x^2)^2}$}
\end{center}

\item On peut écrire $h(x) = x \sqrt x = x^{3/2}$. La fonction $h$ est dérivable sur $\R_+^* $ (cours). Donc 
\begin{center}
\fbox{$h'(x) = \dfrac{3}{2} x^{1/2} = \dfrac{3}{2}\sqrt{x}$}
\end{center}
\end{enumerate}

\end{exo}

\begin{exo}[Inéquations]
On résout les inéquations suivantes.
\begin{enumerate}
\item L'inéquation $(2x-2)(4x+16) <0$ se résout à l'aide d'un tableau de signe. \\

On a $2x - 2  > 0 \Longleftrightarrow 2x > 2 \Longleftrightarrow x > 1$ et $4x + 16 >0 \Longleftrightarrow x > -4$. 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=5,espcl=2]{$x$/1,Signe de $2x-2$/1, Signe de $4x +16$/1, Signe de $(2x -2)(4x+16)$/1}{$-\infty$,$-4$,$1$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,t,-,z,+} 
\tkzTabLine{,-,z,+,t,+}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_1 = \left]- 4 ; 1 \right[$.}
\end{center}

\item On résout l'inéquation 
\begin{align*}
2(x+1) < 3+2x & \Longleftrightarrow 2x +2 < 3 +2x \\
& \Longleftrightarrow 2 < 3
\end{align*}
Cette dernière inégalité étant toujours vérifiée, 
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_2 = \R$.}
\end{center}
\end{enumerate}

\end{exo}


\end{document}
