 \input{../preambules/preCorrection.tex}

\begin{document}

\chead{Correction Calculs B2}
\lfoot{}
\cfoot{Calcul}

\begin{center}
\fbox{ \Large Correction Calculs du 7/09 au 13/09}
\end{center}
\vspace{30pt}

\setcounter{theorem}{63}


\begin{exo}[Calcul littéral]
Factoriser chaque expression.

\begin{reponsed}{
A & = (2x + 3)^2 + (x-2) (2x+3) \\
  & = (2x+3)(2x+ 3 + x -2) \\
  & = \boxed{(2x+3)(3x+1)}
}{
B & = (2t - 7) - (5t + 1)(2t - 7) \\
  & = (2t - 7)(1 - (5t+1)) \\
  & = \boxed{-5t(2t-7)}  
} 
\end{reponsed}
\end{exo}

\begin{exo}[Fractions]
Simplifier au maximum les expressions suivantes. 

\begin{reponsed}{
C & = \dfrac{9\times 8 \times 10}{6} - \dfrac{21 \times 13}{42} \\
  & = \dfrac{3 \times 3 \times 4 \times 2 \times 10}{3 \times 2} - \dfrac{21 \times 13}{21 \times 2} \\
  & = 3 \times 4 \times 10 - \dfrac{13}{2} \\
  & = 120 - \dfrac{13}{2} = \boxed{\dfrac{227}{2}} 
}{
D & = n(n+1) - 4n \times \dfrac{n+2}{6} \\
  & = n^2 + n - \dfrac{4}{6}n^2 - \dfrac{8}{6} n \\
  & = \dfrac{2}{6} n^2 - \dfrac{2}{6}n \\
  & = \boxed{\dfrac{1}{3} n^2 - \dfrac{1}{3}n}
}
\end{reponsed}
\end{exo}

\begin{exo}[Puissances et racines]
Simplifier au maximum les expressions suivantes en supprimant la racine du dénominateur le cas échéant.
\reponsed{
E & = \dfrac{1 + 2x^2}{\sqrt{4 + 8x^2}} \\
  & = \dfrac{1 + 2x^2}{\sqrt{4(1 + 2x^2)}} \\
  & = \dfrac{1+2x^2}{2\sqrt{1+2x^2}} \\
  & = \boxed{\dfrac{1}{2} \sqrt{1+2x^2}}
}{
 F & = (-1)^{n+1} + 2 (-1)^n + (-1)^{n+2} \\
   & = (-1)^n ((-1) + 2 + (-1)^2) \\
   & = (-1)^n ((-1) + 2 + 1) \\
   & = \boxed{2 \times (-1)^n}
}
\end{exo}

\begin{exo}[\'Equations]
Résoudre les équations suivantes :

\reponsed{
(1) & \Longleftrightarrow  &  e^{3x+2} & =  e \\
    & \Longleftrightarrow  & 3x + 2	 & = 1 \\
    & \Longleftrightarrow  & 3x & =  -1 \\
    & \Longleftrightarrow  & x & = -\dfrac{1}{3}  \\
    \\
	&  & \boxed{\mathscr{S}_1 = \left\{ - \dfrac{1}{3} \right\}}
}{
(2) & \Longleftrightarrow  & 4x - 6 & = -10 + 6x \\
    & \Longleftrightarrow  & 10 - 6 & = 6x - 4x \\
    & \Longleftrightarrow  & 2 x & = 4 \\
    & \Longleftrightarrow  &  x & = 2  \\
    \\
	&  & \boxed{\mathscr{S}_2 = \left\{ 2 \right\}}
}
\end{exo}

\begin{exo}[Logarithme et Exponentielle]
Simplifier au maximum les expressions suivantes.

\reponsed{
G & = \ln \left(\frac{\sqrt{2} + 1}{2} \right) + \ln \left(\frac{\sqrt{2} - 1}{2} \right) \\
  & = \ln \left(\frac{\sqrt{2} + 1}{2} \times \frac{\sqrt{2} -1}{2} \right) \\
  & = \ln \left(\frac{1}{4} \times (\sqrt{2}^2 - 1^2 ) \right) \\
  & = \boxed{\ln \left(\frac{1}{4} \right) = - \ln(4)} \\
}{H & = e^{3 \ln(2)} \\
	& = 2^3 \\
	& \boxed{= 8}
}
\end{exo}

\begin{exo}[Dérivées]
Calculer les dérivées des fonctions suivantes.

\begin{enumerate}
\item La fonction $x \to 2x^3 - 2\ln(x)$ est dérivable sur $\R_+^*$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R_+^*$ et 
\begin{center}
\fbox{$f'(x) = 6x^2 - \dfrac{2}{x}$.}
\end{center}
\item La fonction $x \to x^2 e^x$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit  de fonctions dérivables sur $\R$ et 
\begin{center}
\fbox{$g'(x) = (3x^2 +1)e^x + (x^3 + x)e^x = (x^3 + 3x^2 + x + 1)e^x$.}
\end{center}
\item La fonction $x \to (\ln x)^2 $ est dérivable sur $\R_+^*$ en tant que composée de fonctions dérivables sur $\R_+^*$ et 
\begin{center}
\fbox{$h'(x) = \dfrac{2\ln(x)}{x} $.}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Inéquations]
\begin{enumerate}
\item On résout l'inéquation 
\begin{align*}
- x +4 \geq 2x-7 & \Longleftrightarrow 4+7 \geq  2x + x \\
& \Longleftrightarrow 11 \geq 3x \\
& \Longleftrightarrow \dfrac{11}{3} \geq x
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_1 = \left[- \infty ; \dfrac{11}{3} \right[$.}
\end{center}

\item On résout l'inéquation $(2x +5)(x-2)x^2 >0$ à l'aide d'un tableau de signe
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=5,espcl=2]{$x$/1,Signe de $2x+5$/1, Signe de $x -2$/1, Signe de $x^2$/1, Signe de $(2x +5)(x-2)x^2$/1}{$-\infty$,$-5/2$,$0$,$2$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,t,+} 
\tkzTabLine{,-,t,-,t,-,z,+}
\tkzTabLine{,+,t,+,z,+,t,+}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,-,z,+}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_3 = \left]- \infty ; - \dfrac{5}{2} \right[ \cup \left]2 ; +\infty \right[$.}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exo}

\end{document}
