 \input{../preambules/preCorrection.tex}




\begin{document}

\chead{Correction Calculs B1}
\lfoot{}
\cfoot{Calcul}

\begin{center}
\fbox{ \Large Correction Calculs du 1/09 au 06/09}
\end{center}
\vspace{30pt}

\setcounter{theorem}{56}


\begin{exo}[Fonctions polyn�miales]
\begin{enumerate}
\item La fonction $x \to x^2$ est d�rivable sur $\R$ en tant que fonction polynomiale et
\begin{center}
\fbox{$f'(x) = 2x$.}
\end{center}
\item La fonction $x \to x^3- 2x^2 +5x$ est d�rivable sur $\R$ en tant que fonction polynomiale et
\begin{center}
\fbox{$f'(x) = 3x^2 -4x +5$.}
\end{center}
\item La fonction $x \to (x-2)(x+2) = x^2 - 4$ est d�rivable sur $\R$ en tant que fonction polynomiale et
\begin{center}
\fbox{$f'(x) = 2x $.}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Fonctions rationnelles]
\begin{enumerate}
\item Comme $x^2 + 1 \neq 0$, la fonction  $x \to \dfrac{1}{x^2+1}$ est d�rivable sur $\R$ en tant que quotient de fonctions d�rivables et
\begin{center}
\fbox{$f'(x) = \dfrac{-2x}{(x^2 +1)^2}$.}
\end{center}
\item Comme $2x + 5 = 0 \Longleftrightarrow x = - \dfrac{5}{2}$, la fonction  $x \to \dfrac{x^2 - 2x + 3}{2x + 5}$ est d�rivable sur $\R \setminus \{ - 5/2 \}$ en tant que quotient de fonctions d�rivables et
\begin{align*}
f'(x) & = \dfrac{(2x - 2)(2x +5) - 2(x^2 - 2x +3)}{(2x + 5)^2} \\
& = \dfrac{4x^2 -4x + 10x - 10 -2x^2 + 4x -6}{(2x+5)^2} \\
& = \boxed{\dfrac{2x^2 + 10x - 16}{(2x+5)^2} }
\end{align*}
\item Comme $x^2 + 1 \neq 0$, la fonction  $x \to \dfrac{x^3 + 2x - 6}{x^2 + 1}$ est d�rivable sur $\R$ en tant que quotient de fonctions d�rivables et
\begin{align*}
f'(x) & = \dfrac{(3x^2+2)(x^2 +1) - 2x(x^3 + 2x -6)}{(x^2 +1)^2} \\
& = \dfrac{3x^4 + 2x^2 + 3x^2 + 2 - 2x^4 - 4x^2 + 12x)}{(x^2 +1)^2} \\
& = \boxed{\dfrac{x^4 +  x^2 + 12x + 2}{(x^2 +1)^2} }
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Fonctions exponentielles]
\begin{enumerate}
\item La fonction $x \to e^{x}+ e^{-x}$ est d�rivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions d�rivables sur $\R$ et 
\begin{center}
\fbox{$f'(x) = e^x - e^{-x}$.}
\end{center}
\item La fonction $x \to e^{3x}$ est d�rivable sur $\R$ en tant que compos�e de fonctions d�rivables sur $\R$ et 
\begin{center}
\fbox{$f'(x) = 3e^{3x}$.}
\end{center}
\item La fonction $x \to e^{1-ax}$ est d�rivable sur $\R$ en tant que compos�e de fonctions d�rivables sur $\R$ et 
\begin{center}
\fbox{$f'(x) = -ae^{1-ax} $.}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Fonctions logarithme]
\begin{enumerate}
\item Comme $x^3 > 0 \Longleftrightarrow x > 0$, la fonction $x \to \ln(x^3)$ est d�rivable sur $\R_+^*$ en tant que compos�e de fonctions d�rivables et 
\begin{center}
\fbox{$f'(x) = \dfrac{3x^2}{x^3} = \dfrac{3}{x}$.}
\end{center}
\remarque{On pouvait �galement remarquer que $\ln(x^3) = 3 \ln(x)$ et d�river cette expression.}
\item La fonction $x \to x \ln(x) - x$ est d�rivable sur $\R_+^*$ en tant que somme et produit de fonctions d�rivables et 
\begin{center}
\fbox{$f'(x) = \dfrac{x}{x} + \ln(x) - 1 = \ln(x)$.
}
\end{center}
\remarque{La fonction $f$ est donc une primitive de $\ln$}
\item La fonction $x \to \ln(2x) - \ln(x)$ est d�rivable sur $\R_+^*$ en tant que somme et produit de fonctions d�rivables et 
\begin{center}
\fbox{$f'(x) = \dfrac{2}{2x} -\dfrac{1}{x} =  0$.
}
\remarque{On aurait �galement pu utiliser $\ln(2x) - \ln(x) = \ln \left( \dfrac{2x}{x} \right) = \ln(2)$. Cette expression �tant constante, sa d�riv�e est nulle.}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Fonctions Racine carr�e]
\begin{enumerate}
\item Comme $2 - x \geq 0 \Longleftrightarrow x \leq 2$, la fonction $x \to \sqrt{2-x}$ est d�rivable sur $]- \infty ; 2]$ et 
\begin{center}
\fbox{$f'(x) = - \dfrac{1}{2\sqrt{2-x}}$.}
\end{center}
\item Comme $\ln(x) > 0 \Longleftarrow x > 1$, la fonction $x \to \sqrt{\ln(x)}$ est d�rivable sur $]1;+\infty[$ en tant que compos�e de fonctions d�rivables et 
\begin{center}
\fbox{$f'(x) = \dfrac{\dfrac{1}{x}}{2 \sqrt{\ln(x)}} = \dfrac{1}{2x \sqrt{\ln(x)}}$.}
\end{center}
\item Pour d�terminer le domaine de d�rivabilit� de $f$, on r�sout $x(x+1) > 0$. A l'aide d'un tableau de signe, on voit que les solutions de cette in�quation sont sur $D = ]- \infty ; -1[ \cup ]0;+\infty[$. La fonction $x \to \sqrt{x(x+1)}$ est d�rivable sur $D$ en tant que compos�e de fonctions d�rivables et 
\begin{center}
\fbox{$f'(x) = \dfrac{2x + 1}{2\sqrt{x(x+1)}}$.}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item La fonction $x \to \sqrt{x}$ est d�rivable sur $\R_+$ et la fonction $x \to x^2 - 2$ est d�rivable sur $\R$. La fonction $f$ est donc d�rivable sur $\R_+$ en tant que somme et produit de fonctions d�rivables :
\begin{align*}
f'(x) & = \dfrac{x^2 - 2}{2 \sqrt{x}} + 2x (\sqrt{x} +1) \\
& = \dfrac{x^2 - 2}{2 \sqrt{x}} + \dfrac{4x \sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}{2 \sqrt{x}} \\
& = \boxed{\dfrac{5x^2 + 4x \sqrt{x} -2}{2 \sqrt{x}}}
\end{align*}
\item Comme on a $1 - 4x = 0 \Longleftrightarrow x = \dfrac{1}{4}$, la fonction $x \to \dfrac{1}{1-4x}$ est d�rivable sur $\R \setminus \left\{ \dfrac{1}{4} \right\}$ et 
\begin{center}
\fbox{$
f'(x)  = \dfrac{-(-4)}{(1-4x)^2} = \dfrac{4}{(1-4x)^2}
$}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Fonction compos�e]
\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est d�rivable sur $]0;+\infty[$ en tant que compos�e de fonctions d�rivables et 
$$
f'(x) = 3 \times \dfrac{1}{x} (\ln(x))^2 = \boxed{\dfrac{3 (\ln(x))^2}{x}}.
$$
\item On a $3x + 2 > 0 \Longleftrightarrow x > -\dfrac{2}{3}$. De plus $x$ doit �tre diff�rent de $5$ (fraction). Donc la fonction $x \to \dfrac{\sqrt{3x+2}}{x-5}$ est d�rivable sur $\left] - \dfrac{2}{3} ; 5\right[ \cup ]5; + \infty[$ et 
\begin{align*}
f'(x) & = \dfrac{\dfrac{3}{2\sqrt{3x + 2}}(x-5) - \sqrt{3x+2}}{(x-5)^2} \\
& = \dfrac{\dfrac{3x - 15}{2\sqrt{3x + 2}} - \dfrac{3x+2}{\sqrt{3x+2}}}{(x-5)^2} \\
& = \dfrac{\dfrac{3x - 15 - (6x + 4)}{2\sqrt{3x + 2}}}{(x-5)^2} \\
& = \boxed{\dfrac{-3x - 19}{2\sqrt{3x + 2}(x-5)^2}}
\end{align*}
\item Comme $2x - 3 > 0 \Longleftrightarrow x > \dfrac{3}{2}$, la fonction $x \to x^2 \sqrt{2x-3}$ est d�rivable sur $\left] \dfrac{2}{3} ; + \infty \right[$ en tant que compos�e et produit de fonctions d�rivables et 
\begin{align*}
f'(x) & = 2x \sqrt{2x - 3} + \dfrac{2x^2}{2\sqrt{2x-3}} \\
& = \dfrac{2x (2x - 3)}{\sqrt{2x - 3}} + \dfrac{x^2}{\sqrt{2x-3}} \\
& = \dfrac{4x^2 - 6x + x^2}{\sqrt{2x - 3}} \\
& = \dfrac{5x^2 - 6x}{\sqrt{2x - 3}} \\
& = \boxed{\dfrac{x(5x - 6)}{\sqrt{2x - 3}}}
\end{align*}
\item La fonction $ x  \to \left( \dfrac{x+3}{x - 1} \right)^2$ est d�rivable sur $\R \setminus \{ 1 \}$ en tant que quotient et compos�e de fonctions d�rivables et 
\begin{align*}
f'(x) & = 2 \times \dfrac{x-1 - (x+3)}{(x-1)^2} \times \dfrac{x+3}{x-1} \\
& = \boxed{-8 \times \dfrac{x+3}{(x-1)^3}}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{exo}

\end{document}
