 \input{../preambules/preCorrection.tex}




\begin{document}

\chead{Correction Calculs A8}
\lfoot{}
\cfoot{Calcul}

\begin{center}
\fbox{ \Large Correction Calculs du 24/08 au 30/08}
\end{center}
\vspace{30pt}

\setcounter{theorem}{49}


\begin{exo}[Inéquations simple]

\begin{enumerate}
\item On résout l'inéquation 
\begin{align*}
x+4 < -7 & \Longleftrightarrow x < - 7 - 4 \\
& \Longleftrightarrow x < -11
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_1 = ]- \infty ; -11 [$.}
\end{center}
\item On résout l'inéquation 
\begin{align*}
3x < -2 & \Longleftrightarrow x < - \dfrac{2}{3} 
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_2 = ]- \infty ; -2/3 [$.}
\end{center}
\item On résout l'inéquation 
\begin{align*}
-2x < 8 & \Longleftrightarrow x > - 4 
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_3 = ]- 4 ; + \infty [$.}
\end{center}
\item On résout l'inéquation 
\begin{align*}
-5x \geq -15 & \Longleftrightarrow x \leq 3 
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_4 = ] -\infty; 3]$.}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Inéquations]
\begin{enumerate}
\item On résout l'inéquation 
\begin{align*}
5x-3 < -4x & \Longleftrightarrow 5x + 4x < 3 \\
& \Longleftrightarrow 9x < 3 \\
& \Longleftrightarrow x < \dfrac{1}{3}
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_1 = \left]- \infty ; \dfrac{1}{3} \right[$.}
\end{center}
\item On résout l'inéquation 
\begin{align*}
-3x +15 < - 72 - 2x & \Longleftrightarrow 15 + 72 < -2x + 3x \\
& \Longleftrightarrow 87 < x 
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_2 = ]87 ; + \infty [$.}
\end{center}
\item On résout l'inéquation 
\begin{align*}
14x - 25 \leq 17x + 50 & \Longleftrightarrow -25 - 50 \leq  17x - 14 x \\
& \Longleftrightarrow -75 \leq 3x \\
& \Longleftrightarrow -25 \leq x
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_3 = [- 25 ; + \infty [$.}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exo}

\newpage
\begin{exo}[Inéquations et fractions]
\begin{enumerate}
\item On résout l'inéquation 
\begin{align*}
\dfrac{3x}{4} - \dfrac{2}{3} < -\dfrac{4}{9}  & \Longleftrightarrow \dfrac{27x}{36} - \dfrac{24}{36} < -\dfrac{16}{36}  \\
& \Longleftrightarrow 27x - 24 < -16 \\
& \Longleftrightarrow 27x < 8 \\
& \Longleftrightarrow x < \dfrac{8}{27}
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_1 = \left]- \infty ; \dfrac{8}{27} \right[$.}
\end{center}
\item On résout l'inéquation 
\begin{align*}
\dfrac{2x}{5} + \dfrac{4}{7} \geq \dfrac{7x}{10} - \dfrac{3}{14}  & \Longleftrightarrow \dfrac{4x}{10} + \dfrac{8}{14} \geq \dfrac{7x}{10} - \dfrac{3}{14}  \\
& \Longleftrightarrow  \dfrac{8}{14} + \dfrac{3}{14} \geq \dfrac{7x}{10} - \dfrac{4x}{10} \\  
& \Longleftrightarrow \dfrac{11}{14} \geq \dfrac{3x}{10}  \\
& \Longleftrightarrow \dfrac{11}{14} \times \dfrac{10}{3} \geq x \\
& \Longleftrightarrow \dfrac{55}{21} \geq x
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_2 = \left]- \infty ; \dfrac{55}{21} \right]$.}
\end{center}
\item On résout l'inéquation 
\begin{align*}
\dfrac{-3x}{7} + \dfrac{2}{5} \leq \dfrac{7x}{2} + \dfrac{3}{7} & \Longleftrightarrow \dfrac{-6x}{14} + \dfrac{14}{35} \leq \dfrac{49x}{14} + \dfrac{15}{35} \\
& \Longleftrightarrow \dfrac{14}{35} - \dfrac{15}{35} \leq \dfrac{49x}{14} + \dfrac{6x}{14} \\
& \Longleftrightarrow - \dfrac{1}{35} \leq \dfrac{55x}{14} \\
& \Longleftrightarrow - \dfrac{1}{7 \times 5} \times \dfrac{7 \times 2}{55} \leq x \\
& \Longleftrightarrow - \dfrac{2}{275} \leq x
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_3 = \left[ - \dfrac{2}{275} ; + \infty \right[$.}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exo}

\vspace{+3pt}
\begin{exo}[Factorisation et inéquation]
\begin{enumerate}
\item On résout l'inéquation 
\begin{align*}
(x-2)(2x+5) - (3x+3)(2x+5) > 0  & \Longleftrightarrow (2x+5) ((x-2) - (3x+3)) > 0  \\
& \Longleftrightarrow (2x+5)(-2x - 5) > 0 \\
& \Longleftrightarrow - (2x+5)(2x+5) > 0 \\
& \Longleftrightarrow - (2x+5)^2 >0
\end{align*}
Or un carré étant toujours positif, $-(2x+5)^2 \leq 0$ et donc
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_1 = \emptyset $.}
\end{center}
\item On résout l'inéquation 
\begin{align*}
x \leq 2x(5x+3)  & \Longleftrightarrow 0 \leq 2x(5x+3) - x  \\
& \Longleftrightarrow  0 \leq x (10x +6 -1) \\  
& \Longleftrightarrow  0 \leq x (10x +5) \\
& \Longleftrightarrow  0 \leq 5x (2x + 1)
\end{align*}
On réalise alors un tableau de signe pour déterminer quand l'expression de droite est positive
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=2]{$x$/1,Signe de $x$/2, Signe de $2x+1$/2, Signe de $5x(2x+1)$/2}{$-\infty$,$-1/2$,0,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,t,-,z,+} 
\tkzTabLine{,-,z,+,t,+}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_2 = \left]- \infty ; -  \dfrac{1}{2} \right] \cup \left[0 ; +\infty \right[$.}
\end{center}
\item On résout l'inéquation 
\begin{align*}
(x+7)(3x-4) \geq (x+7)(-5x+3) & \Longleftrightarrow (x+7)(3x-4) - (x+7)(-5x+3) \geq 0 \\
& \Longleftrightarrow (x+7)((3x -4) - (-5x +3)) \geq 0 \\
& \Longleftrightarrow (x+7) (3x - 4 +5x - 3) \geq 0 \\
& \Longleftrightarrow (x+7) (8x - 7) \geq 0
\end{align*}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=2]{$x$/1,Signe de $x+7$/2, Signe de $8x -7$/2, Signe de $(x+7)(8x-7)$/2}{$-\infty$,$-7$,$7/8$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,t,+} 
\tkzTabLine{,-,t,-,z,+}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_3 = \left]- \infty ; - 7 \right] \cup \left[\dfrac{7}{8} ; +\infty \right[$.}
\end{center}

\item On résout l'inéquation 
\begin{align*}
(x+3)(2x+1) \leq (2x+1)(4x+2) & \Longleftrightarrow (x+3)(2x+1) - (2x+1)(4x+2) \leq 0 \\
& \Longleftrightarrow (2x+1)((x+3) - (4x +2)) \leq 0 \\
& \Longleftrightarrow (2x+1) (-3x+1) \leq 0 
\end{align*}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=2]{$x$/1,Signe de $2x+1$/2, Signe de $-3x+1$/2, Signe de $(2x+1) (-3x+1)$/2}{$-\infty$,$-1/2$,$1/3$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,t,+} 
\tkzTabLine{,+,t,+,z,-}
\tkzTabLine{,-,z,+,z,-}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_4 = \left]- \infty ; - \dfrac{1}{2} \right] \cup \left[\dfrac{1}{3} ; +\infty \right[$.}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exo}

\vspace{+3pt}
\begin{exo}[Inéquations du second degré]
\begin{enumerate}
\item Pour résoudre l'inéquation $ x^2 +x - 2 > 0 $, on cherche les solutions de $x^2 + x - 2 = 0$. Le discriminant de cette équation est $\Delta = 1 - 4 \times (-2) \times 1 = 9$. Cette équation a donc deux solutions 
$$
x_1 = \dfrac{-1 - 3 }{2} = - 2 \quad \text{ou} \quad x_2 = \dfrac{-1+3}{2} = 1
$$
On en déduit le tableau de signe 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=2]{$x$/1, Signe de $x^2 + x - 2$/2}{$-\infty$,$-2$,$1$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+} 
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_1 = \left]- \infty ; - 2 \right[ \cup \left]1 ; +\infty \right[$.}
\end{center}

\item Pour résoudre l'inéquation $ -3x^2 +x - 2 \leq 0$ , on cherche les solutions de $-3x^2 + x - 2 = 0$. Le discriminant de cette équation est $\Delta = 1 - 4 \times (-2) \times (-3) = -23$. Cette équation n'a donc pas de solutions, par conséquent, pour tout $x \in \R$, $-3x^2 + x - 2 < 0$ (car le signe de $a$ est négatif)

\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_2 = \R$.}
\end{center}

\item Pour résoudre l'inéquation $2x^2 +3x \geq 0$, on cherche les solutions de $2x^2 + 3x = 0$. Le discriminant de cette équation est $\Delta = 9 - 4 \times (2) \times 0 = 9$. Cette équation a donc deux solutions 
$$
x_1 = \dfrac{-3 - 3 }{4} = - \dfrac{3}{2} \quad \text{ou} \quad x_2 = \dfrac{-3+3}{2} = 0
$$
On en déduit le tableau de signe 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=2]{$x$/1, Signe de $2x^2 +3x$/2}{$-\infty$,$-3/2$,$0$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+} 
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_1 = \left]- \infty ; - \dfrac{3}{2} \right] \cup \left[0 ; +\infty \right[$.}
\end{center}

\remarque{On aurait également pu factoriser le membre de gauche par $x$ et étudier le signe des 2 termes en $x$ comme à l'exercice précédent.}

\item Pour résoudre l'inéquation $2x^2 -8  \geq 0$, on cherche les solutions de $2x^2 -8 = 0$. Le discriminant de cette équation est $\Delta = 0 - 4 \times (-8) \times 2 = 64$. Cette équation a donc deux solutions 
$$
x_1 = \dfrac{-8 }{4} = - 2 \quad \text{ou} \quad x_2 = \dfrac{8}{4} = 2
$$
On en déduit le tableau de signe 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=2]{$x$/1, Signe de $2x^2 - 8$/2}{$-\infty$,$-2$,$2$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+} 
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_1 = \left]- 2 ; 2 \right[$.}
\end{center}

\remarque{Un autre raisonnement, source d'erreurs fréquentes est pourtant très prisé des étudiants, à savoir}

\begin{align*}
2x^2 - 8 < 0 & \Longleftrightarrow 2x^2 < 8 \\
& \Longleftrightarrow \sqrt{x^2} < \sqrt{4}  
\end{align*}
A partir de là, on prend la racine carrée de chaque côté et on en déduit que $x < 2$. Ceci est faux ! Car $\sqrt {x^2} \neq x$. Le vrai raisonnement est
\begin{align*}
2x^2 - 8 < 0 & \Longleftrightarrow \sqrt{x^2} < \sqrt{4} \\
& \Longleftrightarrow |x| < 2  \\
& \Longleftrightarrow x \in ]-2 ; 2[ 
\end{align*}
On verra cette dernière propriété en cours. 
\end{enumerate}
\end{exo}

\newpage
\vspace{+3pt}
\begin{exo}[Inéquations et fractions]
\begin{enumerate}
\item On résout l'inéquation 
\begin{align*}
1 - \dfrac{1}{x+3} \leq 0  & \Longleftrightarrow \dfrac{x+3 - 1}{x+3} \leq 0  \\
& \Longleftrightarrow \dfrac{x+2}{x+3} \leq 0 
\end{align*}
On a alors le tableau de signe suivant
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=2]{$x$/1,Signe de $x+2$/2, Signe de $x+3$/2, Signe de $\dfrac{x+2}{x+3}$/2}{$-\infty$,$-3$,$-2$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,t,-,z,+} 
\tkzTabLine{,-,z,+,t,+}
\tkzTabLine{,+,d,-,z,+}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_1 = ]-3 ; -2] $.}
\end{center}

\item On résout l'inéquation 
\begin{align*}
\dfrac{1}{x-1} < \dfrac{2}{x+3}  & \Longleftrightarrow \dfrac{1}{x-1} - \dfrac{2}{x+3} < 0 \\
& \Longleftrightarrow  \dfrac{x+3}{(x-1)(x+3)} - \dfrac{2(x-1)}{(x-1)(x+3)} < 0 \\  
& \Longleftrightarrow  \dfrac{x+3 - 2x +2}{(x-1)(x+3)} < 0 \\
& \Longleftrightarrow  \dfrac{-x+5}{(x-1)(x+3)} < 0 
\end{align*}
On réalise alors le tableau de signe suivant
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=2]{$x$/1,Signe de $-x+5$/2, Signe de $x-1$/2,Signe de $x+3$/2, Signe de $\dfrac{-x+5}{(x-1)(x+3)}$/2}{$-\infty$,$-3$,$1$,$5$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,t,+,t,+,z,-} 
\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,t,+}
\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,t,+}
\tkzTabLine{,+,d,-,d,+,z,-}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_2 = \left]- 3 ; 1 \right] \cup \left] 5 ; +\infty \right[$.}
\end{center}
\item Pour résoudre l'inéquation $ \dfrac{x^2 - 3x +2}{e^x - 1} \geq 0$, on s'intéresse au signe du numérateur et du dénominateur. Pour le numérateur, on s'intéresse aux solutions de $x^2 -3x +2 = 0$. Le discriminant de cette équation est $\Delta = 9 - 4 \times 2 \times 1 = 1$. Cette équation a donc 2 solutions 
$$
x_1  = \dfrac{-(-3) -1}{2} = 1 \quad \text{et} \quad x_2 = \dfrac{-(-3) + 1}{2} = 2
$$
Pour le dénominateur, on résout une inéquation de manière directe:
\begin{align*}
e^x - 1 \geq 0 & \Longleftrightarrow e^x \geq 1 \\
& \Longleftrightarrow x \geq 0 
\end{align*}
On en déduit le tableau de signe suivant
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=2]{$x$/1,Signe de $x^2 - 3x +2$/2, Signe de $e^x - 1$/2, Signe de $\dfrac{x^2 - 3x +2}{e^x - 1}$/2}{$-\infty$,$0$,$1$,$2$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,t,+,z,-,z,+} 
\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,t,+}
\tkzTabLine{,-,d,+,z,-,z,+}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_3 = \left]0 ; 1 \right] \cup \left[2 ; + \infty \right[$.}
\end{center}
\end{enumerate}

\end{exo}

\newpage
\vspace{+3pt}
\begin{exo}[Inéquations plus difficile]


\begin{enumerate}
\item On résout la première équation par une {\bf méthode directe}:
\begin{align*}
\ln(2x-3) \leq \ln ( 5) & \Longleftrightarrow 2x-3 \leq 5 \quad \text{(On prend $x \to e^x$ de chaque côté)} \\  
& \Longleftrightarrow 2x \leq 8 \\
& \Longleftrightarrow x \leq 4
\end{align*}
L'ensemble des solutions est donc à priori $ ]- \infty ; 4]$. Mais il faut également vérifier pour que $\ln(2x-3)$ existe :
$$
2x - 3 >0 \Longleftrightarrow x > \dfrac{3}{2}
$$
\begin{center}
\fbox{En conclusion, l'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_1 = \left[\dfrac{3}{2} ; 4 \right]$.}
\end{center}

\item La deuxième méthode consiste à factoriser ce que l'on peut et d'étudier le signe à l'aide d'un \textbf{tableau de signe.} 
\begin{align*}
\dfrac{x^3 + 5 x^2}{6x} \leq 1 & \Longleftrightarrow \dfrac{x^2(x + 5)}{6x} -1  \leq 0 \\
& \Longleftrightarrow \dfrac{1}{6} (x(x+5)) - 1 \leq 0 \\
& \Longleftrightarrow \dfrac{1}{6}x^2 + \dfrac{5}{6}x - 1 \leq 0
\end{align*}
On cherche alors les solutions de $\dfrac{1}{6}x^2 + \dfrac{5}{6}x - 1 = 0$. Le discriminant de cette équation est $\Delta = \dfrac{25}{36} - 4 \times \dfrac{1}{6} \times (-1) = \dfrac{49}{36}$. On a alors deux solutions 
$$
x_1 = \dfrac{- \dfrac{5}{6} - \dfrac{7}{6}}{\dfrac{2}{6}} = -6 \quad \text{et} \quad x_2 = \dfrac{- \dfrac{5}{6} + \dfrac{7}{6}}{\dfrac{2}{6}} = 1
$$
On a le tableau de signe suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=2]{$x$/1, Signe de $\dfrac{1}{6}x^2 + \dfrac{5}{6}x - 1$/2}{$-\infty$,$-6$,$1$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+} 
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_2 = \left[- 6 ; 1 \right]$.}
\end{center}

\item Enfin, la dernière méthode est à privilégier quand les 2 premières ont échouées. \textbf{On pose et étudie une fonction adaptée. }
$$
e^x > x  \Longleftrightarrow e^x - x > 0
$$
On décide alors de poser la fonction $f: x \to e^x - x$. Cette fonction est dérivable sur $\R$ et pour tout $x \in \R$,
\begin{align*}
f'(x) & = e^x -1
\end{align*}
On résout alors l'inéquation 
$$
e^x - 1  \geq 0 \Longleftrightarrow e^x \geq 1 \Longleftrightarrow x \geq 0
$$
On en déduit alors le tableau de variation suivant
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$ /1,Signe de $f'(x)$ /2, Variations de $f$ /3}
{$-\infty$,$0$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,}
\tkzTabVar{+/ ,-/ $1$ ,+/}
\end{tikzpicture}
\end{center}

D'après le tableau de variation de $f$, on voit que pour tout $x$ réel, $e^x - x \geq 1 >0$, donc $e^x >x$. 
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_3 = \R$.}
\end{center}
\end{enumerate}

\remarque{Cet exercice illustre les 3 méthodes principales pour résoudre les inéquations. }
\end{exo}


\end{document}
