 \input{../preambules/preCorrection.tex}




\begin{document}

\chead{Correction Calculs A7}
\lfoot{}
\cfoot{Calcul}

\begin{center}
\fbox{ \Large Correction Calculs du 17/08 au 23/08}
\end{center}
\vspace{30pt}

\setcounter{theorem}{42}


\begin{exo}[Simplification en fonction de $\ln(2)$]
\'Ecrire sous la forme $a\ln(2)$ o� $a$ est un entier :
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item \fbox{$\ln(16) = \ln(2^4) = 4 \ln(2)$}
\item \fbox{$\ln(512) = \ln(2^9) = 9 \ln(2)$}

\end{enumerate}
\end{multicols}
Et pour le dernier, 
\begin{align*}
\ln(72) - 2\ln(3) & = \ln(9 \times 8) - 2 \ln(3) \\
				  & = \ln(9) + \ln(8) - 2 \ln(3) \\
				  & = 2 \ln(3) + \ln(2^3) - 2 \ln(3) \\
				  & = \boxed{3 \ln(2)}
\end{align*}
\end{exo}

\begin{exo}[Simplification de logarithme]
\'Ecrire les expressions suivantes sous la forme $a \ln(b)$. Pour les expressions 1. et 2. 

\reponsed{ 
 \ln(2x) - \ln(x) & = \ln(2) + \ln(x) - \ln(x)\\
& = \boxed{\ln(2)}
}{
\ln(2x+2) + \ln \left(\dfrac{1}{x+1} \right) & = \ln(2) + \ln(x+1) - \ln(x+1) \\
& = \boxed{\ln(2)}
}

\vspace{15pt}
Pour les expressions 3. et 4. 

\reponsed{ 
2\ln(x^4) - 3\ln(x^2) + \ln(x) & = 8 \ln(x) - 6 \ln(x) + \ln(x) \\
& = \boxed{3 \ln(x)}
}{
 \ln(x+1) - \ln(x+2) & = \boxed{\ln \left( \dfrac{x+1}{x+2} \right)}
}
\end{exo}



\begin{exo}[Simplification en fonction de $\ln(2)$ et $\ln(5)$]
Simplifier les expressions suivantes en fonction de $\ln(2)$ et de $\ln(5)$.

\reponsed{
\ln(500) & = \ln(5) + \ln(100) \\
    	 & = \ln(5) + \ln(25) + \ln(4) \\
    	 & = \boxed{2 \ln(2) + 3 \ln(5)}
}{
\ln\left( \dfrac{16}{25} \right) & = \ln(16) - \ln(25) \\
& = \boxed{4 \ln(2) - 2 \ln(5)}
}

\vspace{15pt}
Pour les expressions 3. et 4. 

\reponsed{ 
\ln (0,25) & = \ln \left( \dfrac{1}{4} \right) \\
		   & = - \ln(4) \\
		   & = \boxed{- 2 \ln(2)}
}{
& \ln\left( \dfrac{1}{2} \right) + \ln\left( \dfrac{2}{3} \right) + \ldots +  \ln\left( \dfrac{98}{99} \right) +  \ln\left( \dfrac{99}{100} \right) \\
= & \ln\left( \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{3} \times \ldots \times \dfrac{98}{99} \times \dfrac{99}{100} \right) \\
= & \ln\left( \dfrac{1}{100} \right) \\
= & - \ln(100)\\
= & - (\ln(25) + \ln(4)) \\
= & \boxed{- 2 \ln(5) - 2 \ln(2)}
}
\end{exo}

\newpage

\begin{exo}[Simplification de l'exponentielle]
Simplifier les expressions suivantes :

\reponsed{
\ln(\sqrt{e}) & = \dfrac{1}{2} \ln(e) \\
& = \boxed{\dfrac{1}{2}}
}{
\ln \left(e^{\frac{1}{3}} \right) & = \dfrac{1}{3} \ln(e) \\
& = \boxed{\dfrac{1}{3}}
}

\vspace{15pt}
Pour les expressions 3. et 4. 

\reponsed{ 
e^{\ln(3) - \ln(2)} & = \dfrac{e^{\ln(3)}}{e^{\ln(2)}} \\
& = \boxed{\dfrac{3}{2}}
}{
\ln \left(e^{- \frac{1}{2}} \right) & = - \dfrac{1}{2} \ln(e) \\
& = \boxed{- \dfrac{1}{2} }
}
\end{exo}

\begin{exo}[R�solution d'�quation]
\begin{enumerate}
\item On r�sout l'�quation 
\begin{align*}
e^x = 2 & \Longleftrightarrow x = \ln(2)
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_1 = \left\{ \ln(2) \right\}$. }
\end{center}
\item On r�sout l'�quation 
\begin{align*}
(\ln x - 2)(1+\ln x) = 0 & \Longleftrightarrow \ln(x) - 2 = 0 \quad \text{ou} \quad 1 + \ln(x) = 0 \\ 
& \Longleftrightarrow \ln(x)  = 2 \quad \text{ou} \quad  \ln(x) = -1 \\ 
& \Longleftrightarrow x = e^2 \quad \text{ou} \quad x = e^{-1} 
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_2 = \left\{ e^{-1} ; e^2 \right\}$. }
\end{center}
\item On r�sout l'�quation 
\begin{align*}
(e^x - 3)(e^x + 5) = 0 & \Longleftrightarrow e^x - 3 = 0 \quad \text{ou} \quad e^x + 5 = 0 \\ 
& \Longleftrightarrow e^x  = 3 \quad \text{ou} \quad  e^x = -5 \\ 
& \Longleftrightarrow x = \ln(3) \quad \text{ou impossible car exponentielle positive}  
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_3 = \left\{ \ln(3) \right\}$. }
\end{center}
\item On r�sout l'�quation 
\begin{align*}
(\ln x - 1) (6 - 3 \ln x) = 0 & \Longleftrightarrow \ln x - 1 = 0 \quad \text{ou} \quad 6 - 3 \ln x = 0 \\ 
& \Longleftrightarrow \ln x  = 1 \quad \text{ou} \quad  3 \ln x = 6 \\ 
& \Longleftrightarrow x = e \quad \text{ou} \quad   \ln x = 2 \\  
& \Longleftrightarrow x = e \quad \text{ou} \quad    x = e^2  
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_4 = \left\{ e ; e^2 \right\}$. }
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Changement de variable]
\quad 

\vspace{-6pt}
I) On r�sout l'�quation $X^2 -2X - 15 = 0$. Le discriminant de cette �quation est $\Delta = 4 - 4 \times (-15) \times 1 = 64$. Les solutions sont donc 

\reponsed{ 
X_1 & = \dfrac{2 - 8}{2} \\
    & = -3 
}{
X_2 & = \dfrac{2+8}{2} \\
    & = 5
}
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S} = \left\{ -3 ; 5 \right\}$. }
\end{center}

II) En utilisant le changement de variable $X = e^x$ (on a $X > 0$), l'�quation se r��crit 
\begin{align*}
e^{2x} - 2e^x -15  = 0 & \Longleftrightarrow X^2 - 2X - 15 = 0 \quad \text{et} \quad X >0 \\
&  \Longleftrightarrow X = 5, \; X = -3 \quad \text{et} \quad X >0 \\
& \Longleftrightarrow X = 5 \\
& \Longleftrightarrow x = \ln(5)
\end{align*} 
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_1 = \left\{ \ln(5) \right\}$. }
\end{center}

De m�me, en posant le changement de variable $X = \ln(x)$, l'�quation se r��crit
\begin{align*}
(\ln x)^2 - 2 \ln x - 15 = 0 & \Longleftrightarrow X^2 - 2X - 15 =0 \\
&  \Longleftrightarrow X = 5, \quad \text{ou} \quad  X = -3  \\
& \Longleftrightarrow x = e^5 \quad \text{ou} \quad  x = e^{-3}  
\end{align*} 
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_2 = \left\{ e^{-3} ; e^5 \right\}$. }
\end{center}
\end{exo}

\begin{exo}[Plus difficile]
Simplifier les expressions suivantes :

\reponsed{ 
\ln \left(\dfrac{\sqrt5 +1 }{2}\right) + \ln \left(\dfrac{\sqrt5 -1 }{2}\right) & = \ln \left(\dfrac{\sqrt5 +1 }{2} \times  \dfrac{\sqrt5 -1 }{2}  \right) \\
& = \ln \left(\dfrac{5 - 1 }{4}   \right) \\
& = \boxed{0}
}{
\ln \left( \sqrt{e^4} \right) - \ln \left( \sqrt{e^2} \right) & = \ln(e^2) - \ln(e) \\
& = 2 - 1 \\
& = \boxed{1}
}

\vspace{15pt}
Pour les expressions 2. et 4.

\reponsed{ 
&  \ln \left( (2 + \sqrt{3})^{20} \right)  + \ln \left( (2 - \sqrt{3})^{20} \right) \\
= & 20 \ln \left( 2 + \sqrt{3} \right)+ 20 \ln \left( 2 - \sqrt{3} \right) \\
= & 20 \ln \left( (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt 3) \right) \\
= & 20 \ln \left( 4 - 3 \right) \\
= & \boxed{0}
}{
& \ln \left( \sqrt{\exp(-\ln(e^2))} \right) \\
= &  \dfrac{1}{2} \ln \left( \exp(-\ln(e^2)) \right) \\
= & - \dfrac{1}{2} \ln(e^2) \\
= & \boxed{-1}
} 

\end{exo}


\end{document}
