 \input{../preambules/preCorrection.tex}




\begin{document}

\chead{Correction Calculs A6}
\lfoot{}
\cfoot{Calcul}

\begin{center}
\fbox{ \Large Correction Calculs du 10/08 au 16/08}
\end{center}
\vspace{30pt}

\setcounter{theorem}{35}

\begin{exo}[Équations du premier degré]
Résoudre les équations suivantes. 

\reponset{
(1) & \Longleftrightarrow  & 3x + 27 & =  0 \\
    & \Longleftrightarrow  & 3x & =  -27 \\
    & \Longleftrightarrow  & x & =  - \dfrac{27}{3} \\
    & \Longleftrightarrow  & x & = - 9  \\
    \\
	&  & \boxed{\mathscr{S}_1 = \{ - 9 \}}
}{
(2) & \Longleftrightarrow  & 4x - 6 & = 2x +8 \\
    & \Longleftrightarrow  & 2x & =  14 \\
    & \Longleftrightarrow  & x & =   \dfrac{14}{2} \\
    & \Longleftrightarrow  & x & = 7  \\
    \\
	&  & \boxed{\mathscr{S}_2 = \{ 7 \}}
}{
(3) & \Longleftrightarrow  & 3 - 3x & = 3(x+5) \\
    & \Longleftrightarrow  & 3 - 3x & = 3x + 15 \\
    & \Longleftrightarrow  & -12 & =   6x \\
    & \Longleftrightarrow  & x & =   - \dfrac{12}{6} \\
    & \Longleftrightarrow  & x & = -2  \\
    \\
	&  & \boxed{\mathscr{S}_3 = \{ -2 \}}
}
\end{exo}

\begin{exo}[Équations du premier degré avec fractions]
Résoudre les équations suivantes. 

\reponset{
(1) & \Longleftrightarrow  &  \dfrac{2x}{5} - \dfrac{1}{10} & =  \dfrac{1}{2} \\
    & \Longleftrightarrow  & \dfrac{4x}{10} - \dfrac{1}{10}	 & = \dfrac{5}{10} \\
    & \Longleftrightarrow  & 4x - 1 & =  5 \\
    & \Longleftrightarrow  & 4x & = 6  \\
    & \Longleftrightarrow  & x & = \dfrac{3}{2}  \\
    \\
	&  & \boxed{\mathscr{S}_1 = \left\{ \dfrac{3}{2} \right\}}
}{
(2) & \Longleftrightarrow  & \dfrac{2}{5} - \dfrac{x}{3} & = 4x + \dfrac{-1}{15} \\
    & \Longleftrightarrow  & \dfrac{6}{15} - \dfrac{5x}{15} & =  \dfrac{60x}{15} - \dfrac{1}{15} \\
    & \Longleftrightarrow  & 6 - 5x & =  60x -1  \\
    & \Longleftrightarrow  & 65 x & = 7  \\
    & \Longleftrightarrow  &  x & = \dfrac{7}{65}  \\
    \\
	&  & \boxed{\mathscr{S}_2 = \left\{ \dfrac{7}{65} \right\}}
}{
(3) & \Longleftrightarrow  & \dfrac{3x}{2}  - \dfrac{7}{2} & =  \dfrac{3x}{4} + \dfrac{9}{4} \\
    & \Longleftrightarrow  & \dfrac{6x}{4} - \dfrac{14}{4} & = \dfrac{3x}{4} + \dfrac{9}{4} \\
    & \Longleftrightarrow  & 6x - 14 & =  3x + 9 \\
    & \Longleftrightarrow  & 3x & =   23 \\
    & \Longleftrightarrow  & x & = \dfrac{23}{3}  \\
    \\
	&  &  \boxed{\mathscr{S}_2 = \left\{ \dfrac{23}{3} \right\}}
}
\end{exo}

\begin{exo}[Équations produits] 
\begin{enumerate}
\item On résout l'équation \begin{align*}
(3x+1)(x-5) = 0 & \Longleftrightarrow	3x +1 = 0 \; \text{ou} \; x - 5 = 0\\
				& \Longleftrightarrow	x = - \dfrac{1}{3} \; \text{ou} \; x = 5
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{On a ainsi $\mathscr{S}_1 = \left\{ - \dfrac{1}{3} ; 5 \right\}$}
\end{center}
\item On résout l'équation \begin{align*}
(9x-3)(-5x-13) = 0 & \Longleftrightarrow	9x - 3 = 0 \; \text{ou} \; -5x - 13 = 0\\
				& \Longleftrightarrow	9x = 3 \; \text{ou} \; 5x = -13 \\
				& \Longleftrightarrow	x = \dfrac{1}{3} \; \text{ou} \; x = -\dfrac{13}{5} \\
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{On a ainsi $\mathscr{S}_2 = \left\{ - \dfrac{13}{5} ; \dfrac{1}{3} \right\}$}
\end{center}
\item On résout l'équation \begin{align*}
(3x+7)(4x-8) = 0 = 0 & \Longleftrightarrow	3x + 7= 0 \; \text{ou} \; 4x - 8 = 0\\
				& \Longleftrightarrow	3x = -7 \; \text{ou} \; 4x = 8 \\
				& \Longleftrightarrow	x = -\dfrac{7}{3} \; \text{ou} \; x = 2 \\
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{On a ainsi $\mathscr{S}_3 = \left\{ - \dfrac{7}{3} ; 2 \right\}$}
\end{center}

\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Équations produits et factorisation]
Factoriser les expressions suivantes et résoudre l'équation produit qui en découle. 
\begin{enumerate}
\item On résout l'équation 
\begin{align*}
(3x+2)(4x-2) + (4x-2)(x-6) = 0 & \Longleftrightarrow & (4x - 2) ((3x+2) + (x-6)) & =  0 \\
& \Longleftrightarrow & (4x - 2)(4x -4)  & =   0 \\
& \Longleftrightarrow & 4x - 2 = 0 \; \text{ou} \;  4x - 4 = 0 \\
& \Longleftrightarrow &  4x = 2 \; \text{ou} \;  4x = 4 \\ 
& \Longleftrightarrow &  x = \dfrac{1}{2} \; \text{ou} \;  x = 1 
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{On a ainsi $\mathscr{S}_1 = \left\{ \dfrac{1}{2} ; 1 \right\}$}
\end{center}
\item On résout l'équation 
\begin{align*}
(7x-2)(2-3x) + (4x+3) (7x-2)  = 0 & \Longleftrightarrow & (7x - 2) ((2-3x) + (4x+3)) & =  0 \\
& \Longleftrightarrow & (7x - 2)(x + 5)  & =   0 \\
& \Longleftrightarrow & 7x - 2 = 0 \; \text{ou} \;  x + 5 = 0 \\
& \Longleftrightarrow &  7x = 2 \; \text{ou} \;  x = -5 \\ 
& \Longleftrightarrow &  x = \dfrac{2}{7} \; \text{ou} \;  x = -5 
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{On a ainsi $\mathscr{S}_2 = \left\{ - 5 ; \dfrac{2}{7} \right\}$}
\end{center}

\item On résout l'équation 
\begin{align*}
(9x-4)(-2+5x) - (9x-4)(3x-5) = 0 & \Longleftrightarrow & (9x - 4) ((-2+5x) - (3x-5)) & =  0 \\
& \Longleftrightarrow & (9x - 4)(2x +3)  & =   0 \\
& \Longleftrightarrow & 9x - 4 = 0 \; \text{ou} \;  2x + 3 = 0 \\
& \Longleftrightarrow &  9x = 4 \; \text{ou} \;  2x = -3 \\ 
& \Longleftrightarrow &  x = \dfrac{4}{9} \; \text{ou} \;  x = -\dfrac{3}{2} 
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{On a ainsi $\mathscr{S}_3 = \left\{ \dfrac{4}{9} ; - \dfrac{3}{2} \right\}$}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Équations produits et identité remarquable]
\begin{enumerate}
\item On résout l'équation 
\begin{align*}
4x^2 - 40x + 100 = 0 & \Longleftrightarrow & (2x - 10)^2 & =  0 \\
& \Longleftrightarrow & 2x - 10  & =   0 \\
& \Longleftrightarrow & 2x   & =   10 \\
& \Longleftrightarrow &  x   & = 5
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{On a ainsi $\mathscr{S}_1 = \left\{ 5 \right\}$}
\end{center}
\item On résout l'équation 
\begin{align*}
(2x+1)^2 - 49  = 0 & \Longleftrightarrow & (2x+1-7) (2x+1 +7) & =  0 \\
& \Longleftrightarrow & (2x-6)(2x + 8)  & =   0 \\
& \Longleftrightarrow & 2x - 6 = 0 \; \text{ou} \;  2x + 8 = 0 \\
& \Longleftrightarrow &  2x = 6 \; \text{ou} \;  2x = -8 \\ 
& \Longleftrightarrow &  x = 3 \; \text{ou} \;  x = -4 
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{On a ainsi $\mathscr{S}_2 = \left\{ -4 ; 3 \right\}$}
\end{center}

\item On résout l'équation 
\begin{align*}
(x+5)^2 + 2(x+5)(x-3) + (x-3)^2 = 0 & \Longleftrightarrow & (x+5 + x - 3)^2 & =  0 \\
& \Longleftrightarrow & (2x +2)^2  & =   0 \\
& \Longleftrightarrow & 2x + 2  & = 0 \\
& \Longleftrightarrow &  2x   & = -2 \\
& \Longleftrightarrow &  x  & = -1
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{On a ainsi $\mathscr{S}_3 = \left\{ -1 \right\}$}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Équations du second degré]
Résoudre les équations suivantes en utilisant le discriminant. 
\begin{enumerate}
\item Le discriminant de l'équation $x^2+x-2 = 0$ est $\Delta = 1 - 4 \times 1 \times (-2) = 9$. Il y a donc deux solutions 
\begin{align*}
x_1 = \dfrac{-1 - 3}{2} = -2 \quad \text{et} \quad x_2 = \dfrac{-1 +3}{2} = 1
\end{align*}
L'ensemble des solutions est 
\begin{center}
\fbox{$\mathscr{S}_1 = \left\{ -2 ; 1 \right\}$}
\end{center}
\item Le discriminant de l'équation $3x^2 +2x-1 = 0$ est $\Delta = 4 - 4 \times 3 \times (-1) = 16$. Il y a donc deux solutions 
\begin{align*}
x_1 = \dfrac{-2 - 4}{6} = -1 \quad \text{et} \quad x_2 = \dfrac{-2 +4}{6} = \dfrac{1}{3}
\end{align*}
L'ensemble des solutions est 
\begin{center}
\fbox{$\mathscr{S}_2 = \left\{ -1 ; \dfrac{1}{3} \right\}$}
\end{center}
\item Le discriminant de l'équation $-3x^2+1 = 0 $ est $\Delta = 0 - 4 \times 1 \times (-3) = 12$. Il y a donc deux solutions 
\begin{align*}
x_1 = \dfrac{0 - \sqrt{12}}{-6} = - \dfrac{2\sqrt{3}}{2 \times 3} = - \dfrac{\sqrt 3}{3}  \quad \text{et} \quad x_2 = \dfrac{ 0 + \sqrt{12}}{6} =\dfrac{2\sqrt{3}}{2 \times 3} =  \dfrac{\sqrt 3}{3} 
\end{align*}
L'ensemble des solutions est 
\begin{center}
\fbox{$\mathscr{S}_3 = \left\{ -\dfrac{\sqrt 3}{3}  ; \dfrac{\sqrt 3}{3}  \right\}$}
\end{center}
\end{enumerate}
Une autre méthode peut être utilisée :
\begin{align*}
-3x^2 + 1 = 0 & \Longleftrightarrow -3x^2 = -1 \\
& \Longleftrightarrow x^2 = \dfrac{1}{3} \\
& \Longleftrightarrow x^2 = \sqrt{\dfrac{1}{3}} \quad \text{ou} \quad - \sqrt{\dfrac{1}{3}} 
\end{align*}
\end{exo}

\begin{exo}[Équations du troisième ou quatrième degré]
\begin{enumerate}
\item On résout l'équation 
\begin{align*}
x(4x^2+2x+1) = 0 & \Longleftrightarrow x = 0 \quad \text{ou} \quad 4x^2 +2x +1= 0
\end{align*}
On résout alors $4x^2 + 2x + 1 = 0$. Le discriminant est $\Delta = 4 - 4 \times 4 \times 1 = -12 < 0$ Cette équation n'a donc pas de solution. \begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est alors $\mathscr{S}_1 = \left\{ 0 \right\}$}
\end{center}
\item On résout l'équation 
\begin{align*}
(2x -5)(x^2 - 49) = 0 & \Longleftrightarrow 2x - 5 = 0 \quad \text{ou} \quad x^2 - 49 = 0 \\
& \Longleftrightarrow 2x - 5 = 0 \quad \text{ou} \quad (x-7)(x+7) = 0 \\
& \Longleftrightarrow 2x  = 5 \quad \text{ou} \quad (x-7) = 0  \quad \text{ou} \quad (x+7) = 0 \\
& \Longleftrightarrow x  = \dfrac{5}{2} \quad \text{ou} \quad x = 7  \quad \text{ou} \quad x = -7
\end{align*}
 \begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est alors $\mathscr{S}_2 = \left\{ -7 ; \dfrac{2}{5} ; 7 \right\}$}
\end{center}
\item On résout l'équation 
\begin{align*}
x^4 - 8x^2 + 16 = 0 & \Longleftrightarrow (x^2 - 4)^2 = 0 \\
 & \Longleftrightarrow x^2 - 4 =0 \\
 & \Longleftrightarrow x^2 = 4 \\
 & \Longleftrightarrow x = 2 \quad \text{ou} \quad x = -2
\end{align*}
 \begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est alors $\mathscr{S}_2 = \left\{ -2 ; 2 \right\}$}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exo}


\end{document}
