 \input{../preambules/preCorrection.tex}




\begin{document}

\chead{Correction Calculs A4}
\lfoot{}
\cfoot{Calcul}

\begin{center}
\fbox{ \Large Correction Calculs du 27/07 au 02/08}
\end{center}
\vspace{30pt}

\setcounter{theorem}{21}
\begin{exo}[Simplification de fractions]
Simplifier chacune des fractions suivantes. 

\reponset{
A & = \dfrac{x}{\sqrt{x}} \\
  & = \dfrac{\sqrt{x} \times \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \\
  & = \boxed{\sqrt{x}}
}{
B & = \dfrac{x^3}{x \sqrt{x}} \\
  & = \dfrac{x^2 \sqrt{x} \sqrt{x}}{x \sqrt{x}} \\
  & = \boxed{x \sqrt{x}}
}{
C & =  \dfrac{2x^2}{\sqrt{16x}} \\
  & = \dfrac{2x\sqrt{x}\sqrt{x}}{4 \sqrt{x}} \\
  & = \boxed{\dfrac{1}{2} x \sqrt{x}}
}

Et enfin, 
$$
D  = \displaystyle \frac{x + 2\sqrt{x^2}}{2}  = \dfrac{x + 2|x|}{2}
$$
Il faut alors distinguer deux cas :
\begin{center}
\fbox{Si $x \geq 0$, alors $D = \dfrac{x + 2x}{2} = \dfrac{3}{2}x$}
\end{center}
\begin{center}
\fbox{Si $x < 0$, alors $D = \dfrac{x - 2x}{2} = - \dfrac{1}{2}x$}
\end{center}
\end{exo}

\begin{exo}[R�ductions de racines carr�es]
Dans chacun des cas suivants, �crire $\sqrt{\Delta}$ sous la forme $a\sqrt{b}$ , avec $a$ et $b$ entiers, $b$ �tant le plus petit possible.

\reponseq{
\sqrt{\Delta} & = \sqrt{8} \\
& = \sqrt{4 \times 2} \\
& = \boxed{2 \sqrt{2}}
}{
\sqrt{\Delta} & = \sqrt{48} \\
& = \sqrt{16 \times 3} \\
& = \boxed{4 \sqrt{3}}
}{
\sqrt{\Delta} & = \sqrt{84} \\
& = \sqrt{4 \times 21} \\
& = \boxed{2 \sqrt{21}}
}{
\sqrt{\Delta} & = \sqrt{180} \\
& = \sqrt{36 \times 5} \\
& = \boxed{6 \sqrt{5}}
}

\vspace{10pt}
{\it La derni�re �galit� peut �tre obtenue en 2 �tapes}
\end{exo}

\begin{exo}[Utilisation de la valeur absolue]
Exprimez sans valeur absolue les quantit�s suivantes :

\reponset{|5| = 5}{|-32| = 32}{|x^2+1| = x^2 +1 .}

\vspace{10pt}
car $x^2 +1 > 0$. Pour la derni�re, il faut savoir quand $x+1 \geq 0$,
\begin{center}
\fbox{$
|x + 1| = \begin{cases} 
x+1 & \text{si} \; x \geq -1 \\
-x-1 & \text{si} \; x < -1
\end{cases}
$}
\end{center}

\end{exo}

\newpage
\begin{exo}[D�veloppement]
D�velopper chacune des expressions suivantes, puis en donner une �criture simplifi�e.

\reponset{ 
A & = (\sqrt{2} + 5 \sqrt{3} )(2- \sqrt{3} ) \\
  & = 2\sqrt{2} - \sqrt{2} \times \sqrt{3} + 10 \sqrt{3} - 5 \sqrt{3} \times \sqrt{3} \\
  & = \boxed{2\sqrt{2} - \sqrt{6} + 10 \sqrt{3} - 15}
}{
B & = \left( \sqrt{2} + \sqrt{5} \right)^2 \\
  & = 2 + 2 \sqrt{2} \sqrt{5} + 5 \\
  & = \boxed{7 + 2\sqrt{10}}
}{ 
C & = \left( \sqrt{x^2+1} + x \right)\left(\sqrt{x^2+1}- x\right) \\
  & = x^2 +1 - x^2  \\
  & = \boxed{1}
}
\end{exo}

\begin{exo}[Simplification]
Simplifier au maximum les expressions suivantes.

\reponset{ 
A & = \sqrt{54x^6} \\ 
  & = \sqrt{9x^6 \times 6} \\
  & = \boxed{3x^3 \sqrt{6}}
}{
B & = \displaystyle (\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1) \\
  & = (\sqrt{3})^2 - 1^2 \\
  & = \boxed{2}
}{
C & = (\sqrt{x+1})^2-1 \\
  & = x+1 - 1 \\
  & = \boxed{x}
}
\end{exo}

\begin{exo}[Quantit� conjugu�e]
Simplifier au maximum les expressions suivantes en faisant dispara�tre la racine carr� du d�nominateur:

\reponset{ 
A & =  \dfrac{5}{1+\sqrt{6}} \\ 
  & = \dfrac{5(1 - \sqrt{6})}{(1+\sqrt{6})(1 - \sqrt{6})}  \\
  & = \dfrac{5(1 - \sqrt{6})}{1 - 6} \\
  & = \dfrac{5(1 - \sqrt{6})}{-5} \\
  & = \boxed{\sqrt{6} - 1}
}{
B & = \displaystyle \frac{2}{2-\sqrt{3}} \\
  & = \dfrac{2(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}\\
  & = \dfrac{2(2 + \sqrt{3})}{4-3}\\
  & = \boxed{4 + 2 \sqrt{3}}
}{
C & = \dfrac{x}{x-\sqrt{x}} \\
  & = \dfrac{x(x+\sqrt{x})}{(x- \sqrt{x})(x+\sqrt{x})} \\
  & = \dfrac{x(x+\sqrt{x})}{x^2 - x} \\
  & = \boxed{\dfrac{x + \sqrt{x}}{x - 1}}
}
\end{exo}


\begin{exo}[Plus difficile]
�crire sous forme d'une fraction irr�ductible les expressions suivantes.

\reponsed{ 
A & = \displaystyle \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}} \times \frac{1}{\sqrt{x}+ x} \times 2x \\
  & = \dfrac{2 (x + x\sqrt{x})}{x + x\sqrt{x}} \\
  & = \boxed{2}
}{
B & = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}-1}- \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \\
  & = \dfrac{\sqrt x + 1}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} - \dfrac{\sqrt x - 1}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} \\
  & = \dfrac{\sqrt x + 1 - \sqrt x + 1}{x - 1} \\
  & = \boxed{\dfrac{2}{x-1}}
}

Et enfin 
\begin{align*}
C & =  \displaystyle \frac{1}{\sqrt{t^2+1}} + \frac{t^2}{\sqrt{t^2+1} (1+ \sqrt{t^2+1})} \\
  & = \dfrac{1+ \sqrt{t^2+1}}{\sqrt{t^2+1} (1+ \sqrt{t^2+1})} + \frac{t^2}{\sqrt{t^2+1} (1+ \sqrt{t^2+1})} \\
  & = \dfrac{1 + t^2 + \sqrt{1+t^2}}{\sqrt{t^2+1} + t^2 +1} \\
  & = \boxed{1}
\end{align*}
\end{exo}


\end{document}
