 \input{../preambules/preCorrection.tex}




\begin{document}

\chead{Correction Calculs A3}
\lfoot{}
\cfoot{Calcul}

\begin{center}
\fbox{ \Large Correction Calculs du 20/07 au 26/07}
\end{center}
\vspace{30pt}

\setcounter{theorem}{14}

\begin{exo}[Dénominateurs communs]
Trouver les plus petits dénominateur commun des nombres.
\begin{enumerate}
\item $70$ est le plus petit dénominateur commun à $35$ et $10$.
\item $180$ est le plus petit dénominateur commun à $9$, $60$ et $6$.
\item $2x(x+1)(2x-1)(3x-2)$  est le plus petit dénominateur commun à $x(2x-1)(x+1)$ et $x(3x-2)(2x+2)$
\item $ x^2 - 2x +1 = (x-1)^2$ et $x^2 -1 = (x-1)(x+1)$ donc  $(x-1)^2 (x+1)$ est le plus peti dénominateur commun à $x^2 - 2x +1$ et $x^2 - 1$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Somme de fractions]
Écrire sous forme de fractions irréductibles.

\reponset{
A & = \displaystyle \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \\
  & = \dfrac{1+3}{4} \\
  & = \boxed{1}
}{
B & = \displaystyle \frac{2}{6} + \frac{1}{6} - \frac{4}{6} \\
  & = \dfrac{2 + 1 -4}{6} \\
  & = \boxed{- \dfrac{1}{6}}
}{
C & = \displaystyle \frac{x-1}{x^2 - 1} - \frac{x+1}{x^2 - 1} \\
  & = \dfrac{x-1 - (x+1)}{x^2 - 1} \\
  & = \boxed{\dfrac{-2}{x^2 - 1}}
}
\end{exo}

\begin{exo}[Somme de fractions(2)]
Écrire sous forme de fractions irréductibles.

\reponset{
A & = \displaystyle \frac{14}{35} - \frac{3}{10} + \frac{2}{15} \\
  & = \dfrac{84}{210} - \dfrac{63}{210} + \dfrac{28}{210} \\
  & = \dfrac{49}{210} \\
  & = \boxed{\dfrac{7}{30}}
}{
B & = \displaystyle \frac{5}{30} - \frac{6}{8} + \frac{5}{9} \\
  & = \dfrac{60}{360} - \dfrac{270}{360} + \dfrac{200}{360} \\
  & = - \dfrac{10}{360} \\
  & = \boxed{ - \dfrac{1}{36} }
}{
C & = \displaystyle \frac{5}{x-1} - \frac{7}{x+1} \\
  & = \dfrac{5(x+1)}{(x-1)(x+1)} - \dfrac{7(x-1)}{(x-1)(x+1)} \\
  & = \dfrac{5x + 5 - 7x + 7}{x^2 -1} \\
  & = \boxed{\dfrac{-2x + 12}{x^2 - 1}}
}
\end{exo}

\begin{exo}[Somme de fractions(3)]
Écrire sous forme de fractions irréductibles.

\reponset{
A & = \displaystyle \frac{1}{n^2} - \frac{3}{2n}  \\
  & = \dfrac{2}{2n^2} - \dfrac{3n}{2n^2} \\
  & = \boxed{\dfrac{2-3n}{2n^2}}
}{
B & = \displaystyle \frac{1}{x^5} - \frac{x^4+1}{x^9} \\
  & = \dfrac{x^4}{x^9} - \dfrac{x^4 +1}{x^9} \\
  & = \boxed{- \dfrac{1}{x^9}} 
}{
C & =  \displaystyle \frac{1}{1+t} + \frac{1}{1-t} \\
  & = \dfrac{1-t}{(1-t)(1+t)} + \dfrac{1+t}{(1+t)(1-t)} \\
  & = \boxed{\dfrac{2}{1-t^2}}
}
\end{exo}

\newpage

\begin{exo}[Fractions]
Simplifier au maximum les expressions suivantes. 

\reponset{
A & = \displaystyle \frac{12}{42} \times \frac{7}{33} \times \frac{15}{21} \\
  & = \dfrac{3\times 4}{3 \times 7 \times 2} \times \dfrac{7}{3 \times 11} \times \dfrac{5 \times 3}{3 \times 7} \\
  & = \boxed{\dfrac{10}{231}}
}{
B & = \displaystyle \dfrac{\dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{4}}{\dfrac{4}{7} - \dfrac{3}{6}} \\
  & = \dfrac{8+15}{12} \div \dfrac{24-21}{42} \\
  & = \dfrac{23}{12} \times \dfrac{42}{3} \\
  & = \boxed{\dfrac{161}{6}}
}{
C & = \displaystyle \dfrac{4 \times \dfrac{3}{8}}{\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{7}} \\
  & = \dfrac{3}{2} \div \dfrac{21+4}{28} \\
  & = \dfrac{3 \times 28}{2 \times 25} \\
  & = \boxed{\dfrac{42}{25}}
}
\end{exo}

\begin{exo}[Simplifications]
\'Ecrire les fractions suivantes sous la forme $a + \dfrac{b}{c}$ où $b < c$. 

\reponset{ 
A & = \dfrac{29}{6} \\
  & = \dfrac{4 \times 6 + 5}{6} \\
  & = \boxed{4 + \dfrac{5}{6}}
}{
B & = \dfrac{k}{k-1} \\
  & = \dfrac{k-1 + 1}{k-1} \\
  & = \boxed{1 + \dfrac{1}{k-1}}
}{
C & = \dfrac{3x-1}{x-2} \\
  & = \dfrac{3(x-2) + 5}{x-2} \\
  & = \boxed{3 + \dfrac{5}{x-2}}
}
\end{exo}


\begin{exo}[Plus difficile]
\quad
\vspace{-10pt}
\newline
On donne $\displaystyle A = \frac{1}{1+t^2} - \frac{1}{(1+t)^2}$ et $B = (1+t^2)(1+t)^2$. 

\begin{align*}
A & = \dfrac{1}{1+t^2} - \dfrac{1}{(1+t)^2} \\
  & = \dfrac{(1+t)^2}{(1+t^2)(1+t)^2} - \dfrac{1+t^2}{(1+t^2)(1+t)^2} \\
  & = \dfrac{1 +2t + t^2 - (1 + t^2)}{(1+t^2)(1+t)^2} \\
  & = \boxed{\dfrac{2t}{(1+t^2)(1+t)^2}}
\end{align*} 
et 
\begin{align*}
AB & = \left( \dfrac{2t}{(1+t^2)(1+t)^2}\right) \times (1+t^2)(1+t)^2 \\
& = \boxed{2t}
\end{align*}
\end{exo}


\end{document}
